第07讲函数的单调性及其应用教师版

第07讲函数的单调性及其运用

【必备知识】

0函数单调性的判断

（1）,/（%）＜/（X,）QVx„x,/（X|）~/（X2）＞0o函数递增

（2）Vx1＜x2,/（x,）＞f（x2）oY%,々,八%）一/8）＜0o函数递减

X|一工2

（3）复合函数单调性判断：同增异减.

E函数的单调性常用结论

（1）增+增=增；

（2）减+减=减；

（3）增-减=增；

（4）减-增=减；

（5）负号和倒数改变单调性，根号维持单调性.

【题型一函数单调性的判断】

【题1】如果函数/（X）在句上是增函数，对于任意的再,当£[«肉（工产超），则下列结论中正确的有（）

A./（、）_/（，）＞0B.（苟一》2）[/（芭）_/（刈）]=0

X]-x2

C.f（a）＜f（Xi）＜f（x2）＜f（b）D./（x,）＞/（x2）

【答案】A

【分析】运用增函数的定义依次判断各个选项即可.

【详解】对于A项，因为/（外在上是增函数，

所以对于任意的为,x2（X）^x2）,

当国〉招时，/（再）＞/（心），所以x「x,＞0,/（芭）-/（右）＞0,所以/区）一〃占）＞0,

X]-X2

当天〈占时，/区）＜/（/），所以芭―々＜0,/区）一/（与）＜0,所以]（•止9＞o,

Xl-X2

综述："“）一,"、）＞（）,故A项正确：

对FB项，因为〃X）在［a,封上是增函数，

所以对于任意的为，（汗尸同2），

当国时，/（再）＞/。2），所以王一/＞0，/（再）-/（七）＞0，所以（再-%2）［/（芮）-/（%2）］＞。，

当$〈X2时，/■）＜/（/），所以王一工2＜0,/区）-/（/）＜0,所以＜-%2）［/（司）-/（々）］＞°，

综述：（占一超）［/（*）一/（々）］＞0,故B项不成立；

对于C项、D项，由于玉，巧的大小关系不确定，所以/（X）与/（与）的大小关系不确定，故C项不成立,

D项不成立.

故选:A.

【题2】下列函数在区间32）上为增函数的是（）

A.y=3-xB.y=x2+1

C.y=-x2D.y=x2-2x-3

【答案】B

【分析】根据给定条件，逐项判断函数在（。，2）上的单调性作答.

【详解】对「A,函数歹=3-x在（0,2）上单调递减，A小是；

对于B,函数y=f+l在（0,2）上单调递增，B是；

对于C,函数歹=-/在（0,2）上单调递减，C不是；

对于D,函数-法-3在（0.2）上不单调，D不是.

故选：B

【题3】函数.卜=-》2的单调减区间是（）

A.［0,+＜o）B.（一8期

C.（一8,0）D.（-co,+oo）

【答案】A

【分析】由二次函数的性质得出单调减区间.

【详解】画出y=在R上的图象，如图，

图象开口向下，且对称轴x=0,可知函数在［0,”）上递减.

故选：A.

【题4】下列四个函数中，在（0,+。）上单调递增的是（）

A./（x）=3-.rB./（X）=X2-3XC./（.V）=2XD./（X）=-

X

【答案】c

【分析】根据一次函数、二次函数、反比例函数的单调性判断各项即可.

【详解】对于A,/（X）=3-X,在区间（0,y）为减函数，故A不符合题意；

3

对于B,/（x）=1-3x的对称轴为直线x=5，且开口向上，

所以函数/（x）=x'-3工在（og上单调递减，在看田）上单调递增，故B不符合题意：

对于C,/（x）=2x在区间（0,+oo）上单调递增，故C符合题意；

对于D,/（x）=L在区间（0,+8）为减函数，故D不符合题意.

X

故选：C

【题5】（多选）下列说法中，正确的是（）

A.若对任意外,小E/,当玉＜当时，，（%）一/（叽0,则y-/（x）在/上是增函数

%一三

B.函数了=/在R上是增函数

C.函数y=-'在定义域上是增函数

x

D.函数y的单调减区间是（-ooQ）和（0,+8）

X

【答案】AD

【分析】根据函数的单调性定义判断A,由二次函数和反比例函数性质判断BCD.

【详解】对于A：若对任意为，X2G/,当王＜々时，小）二/㈤＞（），则有/（占）＜/（/），

玉一电

由函数单调性的定义可知y=/（力在/上是增函数，故A正确.

对于B,由二次函数的性质可知，旷;/在（—,0）上单调递减，在（0,+8）上单调递增，故B错误;

对于C,由反比例函数单调性可知，y=-L在（-8,0）和（0，+8）上单调递增，故c错误；

X

对于D：由反比例函数单调性可知，＞=：单调减区间是（T»，0）和（0，+8）,故D正确.

故选：AD.

【邈6】（多选）下列函数中，在（-8,0）上为增函数的是（）

1.x2

A.y=|x|+lB.k一同

C.…+百D.…国

【答案】BCD

【分析】因x＜0得|x|=-x,可化简各函数解析式，转化为基本初等函数的单调性判断.

【详解】在A中，当x＜0时，》=N+l=r+l在（YO,0）上为减函数；

厂

在B中，当XV。时，y=一1=X在（T»,0）上是增函数；

X

在C中,当x＜0时，P=x+&i=x-l在（-8,0）上是增函数：

在D中，当xvO时.V=x=-/在(一8,0)上为增函数.

故选：BCD.

Q

【题7】函数/("=.1+2(彳42,8])的值域为.

X

【答案】[4x历,9-

【分析】利用对勾函数单调性可知函数/(x)在x=2及时取得最小值4及，比较端点处的函数值可得

/(8)=9最大.

【详解】由对勾函数的单调性可知，

/(x)=x+g在[2,2a]上单调递减，在[2&,8]上单调递增，

所以当x=20时，函数有最小值/(2&)=2应+泰=43,

又/⑵=6J⑻=9

所以当x=8时，函数有最大值/⑻=9,

故函数的值域为[469：.

故答案为：[4拉,9].

【题8】函数/(力=\，,》€[1,2]建(力=*+如-5,对任意的刈w[l,2],总存在七«2,4],使得

X

g(X2)K/(K)成立，则Q的取值范围为.

【答案】(9,5]

【分析】本题的含义是/(%)在口，2]上的最小值大于等于g(x)在[2,4]上的最小值,分别求/(I)和g(x)在

对立区间上的最小值即可.

【详解】对于/(x)=x——,显然是增函数，.・・/(x)e[/(l),/(2)]=卜1",最小值为-1；

X

对于g(x)=-x?+ax-5,

当^43,046时，g(x)m.n=g(4)=-21+4^7<-1,.\<5,即〃K5；

当时，g(A-)min=g(2)=-9+2a<-[,a<4,无解；

综上，a的取值范围是a<5；

故答案为：(-00，5].

【邈9】己知函数/(x)=x+2过点(1,2).

x

(1)求/*)的解析式;

(2)判断/(X)在区间(1,+8)上的单调性，并用定义证明.

(4)求函数，(x)在［2,7］卜的最大值和最小值.

【答案】⑴/a)=x+,

X

(2)/(x)在区间。,+8)上单调递增：证明见解析

(3)最小值为最大值为?.

【分析】(I)把点。,2)代入函数解析式，求出的值，可得/CO的解析式;

(2)利用定义法证明函数单调性；

(3)利用函数单调性，可函数在区间内的最值.

【详解】(1)由函数/(x)=x+2过点。,2),<1+1=2,

x1

解得b=l,所以f(x)的解析式为：f(x)=x+-.

X

(2)/(X)在区间(1,+8)上单调递增.

证明：V再/2C(l，+8),且再<彳2,有

・，、/1/+口=&川卜忙

/(/vl)-/(x2)=^,+—J-.

中2

由再,％2e<x2,得X[%2T>°内-x2<o.

则区24空别VO,即/6)</(超).

X\X2

所以/(X)在区间(1,—)上单调递增.

(3)由/(x)在(l,*o)上是增函数，

所以“V)在区间［2,7］上的最小值为/(2)=3,最大值为/(7)=三・

【题10］已知函数/卜)=一/+2)|+3.

(1)作出函数/(x)的图象；

(2)根据图象写出/(》)的单调递增区间.

【答案】(1)见解析

(2)(f-1),(0,1)

【分析】(1)分类讨论去掉绝对值，转化为分段函数，根据二次函数画出图象;

(2)由图象写出函数单调区间.

【详解】⑴由/(力=-/+2卜|+3=二+'

-x*-2x+3,x<0

作出函数图象，如图，

(2)由图象可知，函数单调增区间为(-8=1),(0,1).

【题型二已知函数单调性求参数的取值范围】

【题1】“函数/（x）=（"2）x+3在R上为增函数”是“。«2,3尸的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】由函数的单调性，结合一次函数性质求参数范围，根据充分、必要性定义判断条件间的关系.

【详解】由/'（x）=（a—2）x+3在R上为增函数，则a—2>0=G>2,

所以“函数/（x）=（a-2）x+3在R上为增函数”是“ae（2,3）”的必要不充分条件.

故选：B

【题2】若/（力=12-2（。-1）工+2在（9,5]上单调递减，则实数。满足（）

A.a>6B.a>6C.a<6D.a=6

【答案】B

【分析】函数/（力=--2（。-1卜+2的图象是开口向上，且以x=1为对称轴，则”125,解不等式

即可得出答案.

【详解】函数/（力=/-2（。-1"+2的图象是开口向上，

且以x=a—1为对称轴，若/（耳=/-2（。-1）、+2在（-00,5]上单调递减，

所以。一125,解得：a>6.

故选：B.

【题3】若函数/（》）=/+（2。-1）4+1在区间（-00,〃）上是减函数，则实数。的取值范围是（）

A.一*）B,卜8）C.1*D.1

【答案】D

【分析】根据二次函数的性质即可求解.

【详解】已知/（X）是二次函数，其对称轴为X=开口向上，

要使得函数在区间（FM）上是减函数，

则必须一2二1之。，即4

24

所以实数。的取值范围是.

故选：D.

【题4】若函数/（工）=4/-8在[5,8]上单调函数，则攵的取值范围是（）

A.S，40]B.[64,+oo）

C.（一8,40]u[64,+（»）D.[40,64]

【答案】C

【分析】求出函数的对称轴，讨论对称轴与区间的关系，从而得出k的范围；

【详解】函数/（x）=4X2—履一8的对称轴是X=）,

O

若/G）在区间［5,8］上是单调函数，则可能单调递增或者单调递减，

则即〃264时，/⑸在［5.8］上单调递减，

O

当即女440B寸，/（x）在［5.8］上单调递增.

8

于是kw（-e,40］u［64,+8）

故选：C

【题5】若函数｝，=/+23•在区间（-8,3］上是减函数，则实数用的取值范围是（）

A.m<3B.m>3C.m<-3D.m>-3

【答案】C

【分析】求出给定二次函数的单调递减区间，再利用集合的包含关系求解作答.

【详解】函数尸产+2g的单调递减区间为（-8,-刈，

因为函数丁=>2+2根¥在区间（-8,3］上是减函数，则（-8,3］q（-8,-刈，

因比一切23,解得〃三一3,

所以实数m的取值范围是加<-3.

故选：C

【题6】函数/（幻=/-4工+3在区间上单调递增，则。的取值范围是（）

A.（2,+8）B.［2,-f-oo）

C.（一8,2）D.（一8,2］

【答案】B

【分析】令二次函数对称轴大于小于。即可求解.

【详解】-4x+3的对称轴为：x=-y=2,

要使函数在区间3+0。）上单调递漕，则。之2,解得aw［2,+oo）.

故选：B.

【题7】已知/（力="-（勿+2））+2在区间［1,3］上是单调函数,则实数冽的取值范围是（

A.（一%。）B.［4,+oo）C.（-co,0）u（4,+-»）D.（-co,0］U［4,+oo）

【答案】D

【分析】先求出二次函数的对称轴，再结合单调性列式即可求得结果.

【详解】因为/（x）=--（〃?+2）x+2的对称轴为x=等，

又因为/（%）=/_（机+2口+2在［1,3］上是单调函数，

所以当2G或午2之3,解得〃10或，〃之4,

所以加的范围是（-8,0]U[4,+OO）：

故选：D.

.、X,x<0

【题8】函数/（x）=1-x在R上严格增，则实数〃的取值范围是（）

X2-（a+l）.r-2a-3,x>0

（3]r31

A.I—>——B.——1C.（—8,—1）D.（—co,-1]

【答案】A

【分析】由函数的单调性列式求解.

X

【详解】4=7+丁1।一在（-8,0]上单调递增，

l-x1-X

要使得〃幻在R上单调递增，则丁，解得

-2a-3>02

故选：A

-f—cix—7,x«1

【题9】（多选）设函数/（x）=〃，当/（x）为R上增函数时，实数。的值可能是（)

—,x>1

1X

A.—1B.—2C.-3D.—4

【答案】BCD

【分析】等价于函数y=r2-ar-7,），=色分别递增，且函数y=-/一公一，在x=1处的函数值小于等

于函数），=q在x=1处的函数值.据此可得答案.

X

【详解】由题，函数^=一/一4丫—7对称轴为》=-1,

要使其在（―』上递增，则-■^1=。4-2；

要使y=g在。,+8）上递增,Ma<0；

X

要使/（X）为R上增函数，则函数），=-/-ax-7在x=l处的函数值

小于等于函数y=色在x=la>-]-a-l=>a>-4.

x

综上，-4^a<-2.

故选：BCD

【题10]（多选）已知函数/（x）=/-4x在[0,向上的值域为[-4,0],则实数〃?的值可以是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】BCD

【分析】配方后得到当、=2时，/（X）取得最小值-4,结合/（0）=/（4）=0,求出〃”[2,4],得到答案.

【详解】/（.r）=x2-4x=（x-2）2-4,当xc（-oo,2）时，单调递减，当xw（2,+8）时，/（x）单调递增,

故当x=2时，/（X）取得最小值7,

又/（0）=/（4）=0,

故要想/（x）=f-4x在[0,向上的值域为卜4,0],

则要〃?e[2,4],

故实数小的值可以是2,3,4.

故选：BCD

【邈11]若函数/（力=2/-〃a+3在（,，-可上为减函数，在卜2,也）上为增函数，则/⑴=.

【答案】13

【分析】根据条件求得函数/（X）的对称轴，从而得到〃?的值，进而求得/（1）.

【详解】因为函数/（x）=2/〃比+3在（TO,2]上为减函数，在[2,18）上为增函数

所以/（切的图象的对称轴为x=：=-2,解得：m=-8,

则/（x）=2/+&t+3,

所以/（l）=2xf+8xl+3=13,

故答案为：13.

【题12】函数/（x）=/_2〃*+5在区间（-8,1]单调递减，则实数用的取值范围是.

【答案】m>l

【分析】根据二次函数的开口方向及对称轴，可确定函数的单调区间，从而列出不等式求解即可.

【详解】函数/（》）=，-2〃d+5为二次函数，开口向上，且对称轴方程为'=机，

则/⑴的增区间为（叽+℃）,减区间为（一8,加），

故若函数/。）=.--2必+5在区间（-8,1]单调递减，则有mN」'.

故答案为：/〃之/

【题13】若函数/3=[?+3。尸一尸>1在R上单调递增，则实数°的取值范围是___________

4ax-x~,x<\

【答案】；,2

【分析】要求分段函数每一段上均单调递增，且分段处，右端函数值大于等于左端函数值，从而得到不等

式组，求出实数。的取值范围.

2+3a>0

【详解】根据题意得,解得

2+3tz-1>4t/-1

所以实数。的取值范围是1,2.

故答案为：；,2

£v>2

【题14］已知/（x）=jX”'在区间（-8,+8）上是单调减函数，则实数”的取值范围

x2-ar+1l,x<2

为.

【答案】［4,6］

【分析】根据单调性分别列不等式;计算即可.

a>0,

【详解】由/（、）在区间（-QO,包）上是单调减函数，有<多>2,

4-2«+11>-,

2

解得4«。<6,则。的取值范围为［4,6］.

故答案为：［46］.

【题15］已知函数/（力=/-2h+3在［2,5］上具有单调性，则实数A的取值范围是

【答案】（一叫2］u［5,+8）

【分析】根据二次函数的对称轴，结合已知可得.

【详解】函数/（x）=--2b+3关于一对称,

因为函数/（切=--2依+3在［2,5］上具有单调性，

所以，k>5^k<2.

故答案为：（-8,2］D［5,+8）

【题16】已知/（力=三在区间（-吟-2）上是严格增函数，贝］。的取值范围是.

【答案】八:

【分析】先对函数解析式变形，结合反比例函数的单调性可得答案.

【详解】l-2a

7+2

因为f（x）在区间（70,-2）上是严格增函数,

所以l—2a<0,即a>।.

2

故答案为…w

【题型三利用函数单调性解不等式】

【题1】函数/(X)的定义域为R,且对于任意产W)均有成立,若

X2一玉

则正实数。的取值范围为()

A.(-O9,0)uf-|,+ooB.停+8)

C.阐D.(0,||

【答案】B

【分析】由题意以土匕3<0,X，X2eR(菁HX2)可知/a)在R上单调递减，又/(1-1),

工2-X]

所以解不等式即可得解.

【详解】由题意"工)一,(VJ<0J£eR(*工工2)，不失一般性不妨假设王<占，贝|J/(XJ>/'(X2)，所

9一王

以/(x)在R上单调递减，

又所以1一”2〃一1,

解不等式得则正实数〃的取值范围为(：,+8).

故选:B.

【题2】已知/(x)是定义在(-8刈上的增函数，且/(-2)=3,则满足/(2x-3)<3的x的取值范围是()

C.(-8,3)D.

【答案】A

【分析】根据函数的单调性进行求解即可.

【详解】因为/(—2)=3,所以由/(2x—3)<3n/(2x—3)</(—2),

因为/(x)是定义在(-8期上的增函数，

卡一⑵」3W01

所以有《nxvj,

[2x-3<-22

故选：A

【题3】已知函数y=f(x),xG[-2,2]，且当〃力e[-2,2]时，总有‘⑺一，)>0伍")，若/(m+1)>/(2〃?)，

a-b

则实数〃?的取值范围是.

【答案】11,1)

【分析】由题意/(X)在［-2,2］是单调增函数，再利用函数的单调性解不等式即可.

【详解】由题意在卜2,2］是单调增函数，

m+\>2m

则/。〃+1)>/(2加)转化为,一24加+142,解得：-l^w<l,

-2<2m<2

所以实数机的取值范围是卜1,1),

故答案为：卜1,1).

【题4】已知函数y=/(x)的定义域为R,对任意的为、巧，且演。X?都有［/(%)-/(%)］(%—七)>0成

立，若对任意xeR恒成立，则实数f的取值范围是.

【答案】(-1,2)

【分析】由题意可得函数/")在R上为增函数，从而可得对xeR恒成立，进而得到

户-_］<［2+］)2从而求解即可.

【详解】对任意的片内，且演£占都有［/(阳)-/(々)］($-上)>0成立，

不妨设x,<x2,则/(演)</(七)，故函数/W在R上为增函数，

由+对xeR恒成立，所以-+］>/__］对xeR恒成立，

所以「一/一1<，+1),即/_/_2<0,解得Tv/<2.

所以实数r的取值范围是㈠,2).

故答案为：(T,2).

【题型四复合函数单调性】

【题1】函数/")=&?二7二i的单调递增区间为()

(11/11「31「1、

A.，］B.(f,TjC.5'+8)D.屋+8

【答案】C

【分析】先求出函数的定义域，再根据二次函数及复合函数的性