高考数学大题经典习题

1.对于函数回。

(1)若在处取得极值，且的图像上每一点的切线的斜率均不超过

试求实数的取值范围；

(2)若为实数集R上的单调函数，设点P的坐标为，试求

出点P的轨迹所形成的图形的面积So

1.(1)由，则

因为处取得极值，所以的两个根

—(。+2)i—2b,1+(tz-2)=0ci=—\

/./'(x)=—x2+4x-3

-(t?+2)-32-2/?-3+(t?-2)=O[b=-2

因为/(x)的图像上每一点的切线的斜率不超过

2sin；cosr-2\/3cos2/+>/3

所以恒成立,

而，其最大值为L

Ji2sin/cos/-2x/3cos2r+>/3>1

=>2sinf2/-->l=>k7r+—<t<k7r+—,kEZ

I3j412

(2)当时，由在R上单调，知

当时，由在R上单调恒成立，或者恒成立.

A=4b2+4(/-4)W0可得〃+〃<4

从而知满足条件的点P(a,。)在直角坐标平面〃M上形成的轨迹所围成的图

形的面积为S=4产

2.函数()的图象关于原点对称,分别为函数的极大值点和

极小值点，且=2,

(I)求〃的值;

(II)求函数/*)的解析式;

(IH)若恒成立，求实数的取值范围.

2.(I)=0

,?f(x)=ax3+ex

(H).•./'。)=3/+0=0的两实根是名尸

a+/?=0

则

=2n(a-02+-j=4n(a-02=2

—4._L=2=C=-3〃

2

f{a}-f(0)=0_a=aay+ca--cp=p-a

na(a2+叫+4?+c)=—1na[(a+fl)~-3ap+c]=-l

.c.,33

/.a(——+c)=-i=>-c+ac=-l=>—a——a2

a22

,_33

又。>0:.a=\f(x)=x-^X

(III)时，求的最小值是-5

,6(//7+6)(/7?-1)_

-5>m——=>----------------<0

tnm

m<-6或0<m<\

3.已知是定义在R上的函数，其图象交x轴于A,B,C三点，若点B的

坐标为(2,0),且在和［4,5］上有相同的单调性，在［0,2］和

［4,5］上有相反的单调性.

(1)求c的值；

(2)在函数的图象上是否存在一点M(x0,y0),使得在

点M的切线斜率为3b?若存在，求出点M的坐标;若不存在，说明理由；

3.(1)・・・在和上有相反单调性，

・•・0是的一个极值点，故，

即有一个解为0,・・・o

(2)•・・交x轴于点B(2,0)

84+4力+4=0,即d=-4(力+2”)

令，则

•・・/(X)在［0,2］和［4,5］上有相反的单调性

••

••,••

假设存在点y0),使得在点M的切线斜率为3b,则

即3aVo+2bxQ-3b=0

△=(2Z?)2—4x3ax(—3〃)=4b~+36ab=+9)

又,•••△VO

・••不存在点M(xO,川)，使得在点M的切线斜率为

4.已知函数

(1)求函数g(x)=f(x+l)-r的最大值;

(2)当时，求证；

4.(1)

^(.r)=ln(.r+l)-.r(r>-1)^r(.r)=—!—-1令g(r)=O,得x=0

x+1

当时,当时，又

0当且仅当日时,却仅得最大值o

(2)f{b)-/(«)=In/?-In«=in—=-In—=-ln(l+---)

abb

由(1)知ln(l+x)Wxf(b)~f(a)>----=---

bb

p八,22,2ab-a2b\b-a)

乂•.•()<〃<b,：.a~+hf~>lab：.->—---/.--->—；---—

ba2+b2hai+b2

2a(b-a)

f(b)-f(a)>

a2+b2

5.已知是定义在，，上的奇函数，当，时，（a为实数）.

（1）当，时，求的解析式；

（2）若，试判断在［0,1］上的单调性，并证明你的结论；

（3）是否存在a,使得当时，有最大值.

5.（1）设，，则，，是奇函数，贝］,,；

（2）,因为，，，即，所以在，上是单

调递增的.

（3）当时，在，上单调递增,（天含题意，舍去），当

，则，，如下表

00,（卡）^rr

X

/（X）+0

/（X）最大值\

所以存在使在上有最大值

6.已知在R上单调递增，记的三内角的对应边分别为，若

时，不等式恒成立.

(I)求实数幺的取值范围；

(II)求角cosB的取值范围;

(III)求实数的取值范围.

19.(D由知，在R上单调递增，恒成立，且，即

且，，

当，即时，，

瓯时团团时,团，即当团时，佬使团在R上单调递增，团.

(2),由余弦定理：，，5分

(3)在R上单调递增，且，所以

mio分

故，即，，即，即

7.已知函数

(I)当时，求函数的极小值

()试讨论曲线)，=/(”)与x轴的公共点的个数。

7.(I)

当或时，；当时，

在，(1,内单调递增，在内单调递减

故/(x)的极小值为/(I)=-j

()①若4=0,则/(2=-3(X-1)2.•./*)的图象与X轴只有一个交

点。……6分

②若则，当时，，当时，

/(-V)的极大值为/⑴=-|>0

•//(X)的极小值为/(2)<0/./(X)的图象与X轴有三个公共点。

a

③若，则。

当时，，当时，

.•・/(x)的图象与X轴只有一个交点

④若，则的图象与轴只有一个交点

⑤当，由(I)知的极大值为

综上所述，若的图象与轴只有一个公共点：

若，的图象与轴有三个公共点。第二组：解析几何

1.已知点C(-3,0),点P在y轴上，点Q在X轴的正半轴上，点M在直

线上，且满足

(1)当点P在y轴上运动时，求点M的轨迹C的方程；

(2)是否存在一个点H,使得以过H点的动直线L被轨迹C截得的线段为

直径的圆始终过原点0。若存在，求出这个点的坐标，若不存在说明理由。

6.(1)设M(),P(0,t),Q(s,0)

贝而=(3j)质=(S,T)

由而•而一0得3s—12=0.................................................................................①

又由丽二」而得(x,)，T)='(s—元―y)

2

,.......................②

把②代入①得=0,即y2=4x,又xNO

・••点M的轨迹方程为：y2=4x(xWO)

_(2)呼示」I型产在点H,满足题意，则

苏J.丽即丽•丽=0

设，则由可得

片2~+其必=°解得力％=T6

Io

4

又k.-

Ky+必

44

则直线的方程为：

即把代入，化简得

(4x-16)-(y1+y),V=0

令0代入得4,・••动直线过定点(4,0)

答，存在点H(4,0),满足题意。

2.设为直角坐标平面内轴正方向上的单位向量，若向量.

(1)求点M()的轨迹C的方程；

(2)过点(0,3)作直线与曲线C的交于A.B两点，设，是否存在这

样的直线，使得四边形为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存

在，说明理由.

2.(1)

即点MO到两个定点F,(02)、F2(0,2)的距离之和为8,

点M()的轨迹C为以F1(C2)、F2(0,2)为焦点的椭圆，其方程为.

(2)由题意可设直线方程为，

由消去y得：(4+3k)x2+1821=0.

此时，△=(18k)2-4(4+3k2(-21)>0恒成立，且

由知：四边形为平行四边形.

假设存在直线，使得四边形为矩形，则.

因为，所以，

而，

故，即.

所以，存在直线：，使得四边形为矩形.

3.一束光线从点出发，经直线上一点反射后，恰好穿过点.

(I)求点居关于直线/的对称点灯的坐标；

(H)求以々、正2为焦点且过点P的椭圆C的方程；

(III)设直线与椭圆的两条准线分别交于、两点，点为线

段上的动点，求点到的距离与到椭圆右淮线的距离之比的最小

值，并求取得最小值时点的坐标.

12.(I)设的坐标为，则且.

解得，因此，点的坐标为.

(II)，根据椭圆定义，

得，

，所求椭圆方程为.

(III),椭圆的准线方程为.

设点的坐标为，表示点到的距离，表示点到椭圆的

右准线的距离.

则，.

令‘，则，

当，，，.

・•・在时取得最小值.

因此，最小值=,此时点的坐标为.

注：的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得.

说明：求得的点即为切点，的最小值即为椭圆的离心

4.己知椭圆的一个焦点，对应的准线方程为，且离心率满足，

成等比数列.

(1)求椭圆的方程；

⑵试问是否存在直线，使与椭圆交于不同的两点、，且线段

恰被直线平分？若存在，求出的倾斜角的取值范围；若不存在，请

说明理由.

4.(1)・・•成等比数列・・・

设是椭圆上任意一点，依椭圆的定义得

即为所求的椭圆方程.

(2)假设存在，因与直线相交，不可能垂直轴

因此可设的方程为：由

"7〃消去乃得91+(kx+=9整理得

9r+)广=9

伏2+9)x2+2krm+(m2-9)=0①

方程①有两个不等的实数根

,A=4227n2-4伏2+9)(〃/_9)>0即62d2_9<0②

设两个交点M、N的坐标分别为(内,兄)(.0,%)••匹+心=一产利

~k+9

・・•线段MN恰被直线工=-4平分，=止乜即一孕!_=_]

222k~+9

,/.•.〃?=幺三③把③代入②得(幺二2)2一(/+见

2k2k

k2+9>0：.k2>3解得女>有或女<—有

4K

，直线，的倾斜角范围为学

5.已知向量.

(I)求点Q(x,y)的轨迹C的方程；

(II)设曲线C与直线相交于不同的两点M、N,又点，当时，求实数的取值范

围。

5.由题意得：

a+^^=5+a-=G-币，币y),......2分

V(a+V35)±(5->/3K),

二G+A)0-gl)=O.即(x+/)(x-V5)+岛岛=0.

化简得［+y2=1...............4分

：.。点的轨迹洲方程为1+V=1.........5分

y=kx+in

()由《/得(3/+1)X-+6〃依+3(〃/-1)=o,

y+/=1

由于直线与椭圆有两个不同的交点，，即①

(1)当时，设弦的中点为分别为点M、N的横坐标，则

%=空二-熟从而%=履.+〃7=典3Vm+3k2+\

4十1十1人〃3mk

6+3&?+1_1

又|=1训,AP_LMN,则即2，〃=3k2+1②.

3mkk

将②代入①得，解得，由②得

故所求的加取值范围是己,2)

2

(2)当时,

当分了0时，沈的取值范围是(1,2)

2

6.设直线与椭圆相交于A.B两个不同的点，与x轴相交于点C,记0为坐标原点.

(I)吧：；

O若衣=2而，求AO48的面积取得最大值时的椭圆方程.

6.依题意，直线1显然不平行于坐标轴，故

将，得

2

d+3）y2-—y+\-G=0.

k''k'

由直线1与椭圆相交于两个不同的点，得

即/>

1+3尸'

解：设由①，得

因为，代入上式，得

于是,△的面积

3|&|3|。二百

1+3抬273-2

其中，上式取等号的条件是

由)—Fflv，可得)…挛

将这两组值分别代入①，均可解出

所以，△的面积取得最大值的椭圆方程是

7.如图，已知。：与点A,在。上任取一点A，,连'并作'

的中垂线1,设1与直线A'交于点P,若点A'取遍。上的点.

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)若过点。，的直线加与曲线。交于M、N两点，且OW=2O，M,则当

206,+oo)时，求直线用的斜率A的取值范围.

7.(1);I是线段A的中垂线，・・・,

.即点P在以、A为焦点，以4为焦距，以为实轴长

的双曲线上，故轨迹C的方程为.

⑵设N®M，则直线加的方程为y=%(x+2),则由O'N=2O，M,

七=4玉+2）-2,%=不小由":"?+2），得（l-〃）y2-46+2公=0.

凶+必=々，)'跖=占，"-8/(1-，)=8/(1+1)>0

消去，得・•・•，函数在上单调递增.J,，所以或.

故斜率£的取值范围为(_[,」]U「,1).

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8.如图，已知。：与点，在。上任取一点‘，连

'，并作'的中垂线L设1与'交于点P,若点'取遍

O上的点.

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)设直线与轨迹C相交于A.B两个不同的点，与x轴相交于点D.若

的面积取得最大值时的椭圆方程.

8.(1)•门是线段的中垂线，・•・，

・•・2m.即点P在以、M为焦点，以为焦距，以为长

轴长的椭圆上，故轨迹C的方程为，即.

(2)由),=k(x+l)(k=0)得x=-1.

将代入消去，得①

由直线1与椭圆相交于两个不同的点，得

整理得，即

设由①，得.

而点，六，所以，

代入上式，得

于是，△的面积

其中，上式取等号的条件是即

由为■•可得必=±石­

将与这两组值分别代入①，均可解出

・・・△的面积取得最大值的椭圆方程是3/+丁=6

第三组：数列不等式

一.先求和后放缩

例1.正数数列的前项的和，满足，试求：

(1)数列｛4｝的通项公式；

(2)设，数列的前项的和为，求证：

解：(1)由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正

数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以

(2),所以

1J_______111

<

23352n-\~2n+V2~2(2n+\)2

注：一般先分析数列的通项公式.如果此数列的前项和能直接求和或

者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式.求和的

方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列

满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和.

二.先放缩再求和

1.放缩后成等差数列，再求和

例.已知各项均为正数的数列的前项和为，且.

⑴求证：；

（2）求证：

解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式

相减，注意到得

（《川+勺）（〃向一%一1）=0<%°4川+%>°4向一/=1

所以，，

所以S=〃5+D:1/2+（〃+］）2=4：+%/

"-2224

（2）因为，所以，所以

—.而=栏+存+……

=需二%:百+病+…病〉鬓+专…刊符/

2.放缩后成等比数列，再求和

例.(1)设a,nGN*,aN2,证明:

(2)等比数列。中，，前n项的和为，且A7,A9,A8成

等差数列.设，数列。前n项的和为，证明：V.

解：(1)当n为奇数时，2a,于是，.

当n为偶数时，a—121,且，a2,于是

回.

(2)•・•，