高考数学全真模拟试题第12655期

高考数学全真模拟试题

单选题（共8个，分值共：）

%心（吟］出g亚8s3=去R

1、已知12人5,00,则a—4=（）

万3兀%7tn

A.ZB.4c.4D.4或4

sinnx

3、魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率兀约为113,是当时世界上最精确的圆周率

Teos??。

结果，直到近千年后这一记录才被打破.若已知71的近似值还可以表示成4sin52。，则兀际丁的值为（）

1.1

A.8B.8c.8D.-8

4、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（）

2

----2-----

主视图左视图

俯视图

A.37rB.471c.2^+4D.4TC+4

5、己知函数/（*）/”,那么集合M=｛（K）'）="x）/eA｝c｛（x,），）|x=“｝中所含子集的个数是（）

A.OB.1c.。或ID.1或2

6、以下各角中，是第二象限角的为（）

肪1TVJjL5刀

A.3B.6c.6D.3

7、某儿何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1）,则该儿何体的体积为（）

A.°B.9C.18D.36

8、下列函数中，在2上递增，且周期为乃的偶函数是（）

Ay=sinxBy=cos2%cy=tan（-.v）Dy=|sinx|

多选题（共4个，分值共：）

9、己知不等式加+机+cN。的解集是国一1"42},则（）

A.（i+b+c>0

QC>OQa+b=0

10、已知复数z满足（3+4i）z=|3-4i|（其中i为虚数单位），则（）

A_

A.z的肉部为5i

B.复数］在复平面内对应的点位于第一象限

C.zz=l

D.当问0,2m时，|5z-cos3-isinB|的最大值为6

11、下列各组函数不是同一个函数的是（）

A/（"）=._］与g（x）=x+%〃”）=J-2/与g（x）=x./Z

C/（力=/+2与g（t）=yfp+2»f（x）=J%2_4与g（x）=4x^2-y/x+2

12、已知加，〃是互不重合的直线，。，0足互不重合的平面，下列四个命题中正确的足（）

A.若〃?ua,〃ua,mH。，〃〃夕，则a〃/?

B.若加〃a,机〃尸，=则〃

C.若〃?_La,m1nt,则〃〃夕

D,若冽〃,力，m1n,则a上力

双空题（共4个，分值共：）

2

斗呼，则

AC=2AB

13.在AABC中，ZZMC=60°,BD=2DC,;设

AE=XAC-AB^R^且以启=4,

则2的值为

/、-<B<-

14、在dBC中，aC+(c—助)cosA=0,b=2,4--5'则A

,边长。的取值范围为

15、某高中校为了减轻学生过重的课业负担，提高育人质量，在全校所有的1000名高中学生中随机抽取了100

名学生，了解他们完成作业所需要的时间（单位：h）,将数据按照1051）,口1.5）,[1,5,2）,[2,2.5）,

（如图所示）.

由图中数据可知a=:估计全校高中学生中完成作业时间不少于3h的人数为.

解答题（共6个，分值共：）

.A-（71

___s_i__n_a_-_4_s_i_n_（-2+a

16已知2sin（7t-a）+cos（27t-a）

⑴求画仪的值;

（2）若fvavO,求sina+cosa的值.

"、如图，在三棱锥4—BC。中，平面平面8c。，A8=AD,。为8。的中点.

（1）证明：OA1CD.

（2）若△08是边长为1的等边三角形，点E在楂人。上，DE=2EA,且二面角七-3。-。的大小为45。,

求三棱锥A-BCQ的体积.

71

/(x)=>/3sinfyxcos+cos2

18、已知函数周期是2.

3

c

D

5

高考数学全真模拟试题参考答案

1.答案।A

解析；

先利用平方关系求出cos。，si*1',再利用两角差的余弦公式将85（°-尸）展开计算，根据余弦值及角的范围

可得角的大小.

C0S/?=

9邛>

3

TlO

2x1+^x3

又..sina<sin/?,.a<[i

-y<«-/?<0

故选：A.

小提75：

本题考查两角和的余弦公式的应用，属于基础题.

2、答案：D

解析：

X--

确定函数图象关于直线2对称，排除AC,再结合特殊的函数值的正负或函数零点个数排除B,得出正确结

论.

<x\x^—_|0.1X-LV=1

函数定义域是I2J,由于、=|八-】|的图象关于直线2对称，y=smm•的图象也关于直线’2对称,

因此/R的图象关于直线5对称，排除AC,

»'=sinm有无数个零点，因此/“）也有无数个零点，且当斤—时，Ax）-。，排除B.

故选：D.

小提示；

思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

⑴从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的二卜位置.

⑵从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

⑶从函数的奇偶性，判断图象的对称性：

⑷从函数的特征点，排除不合要求的图象.

3、答案：B

解析；

l-2cos27°

将zi=4sin52。代入小/16-72中,结合三角恒等变换化简可得结果.

1-乎s」7°

将K=4sin520代入小伍二/中，

I-2cos27°_-cos14°_-cos140_cos14°_cos140cos140_

得小l\6-乃24sin52OV16-I6sin252°16sin52°cos52°8sin104°8sin(90°+14°)8cos14。8

故选：B

4、答案：C

解析：

6

把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的侧面枳.

根据几何体的三视图，可知该几何体为半圆柱，

如图所示：

该几何体的高为2,底面为半径为1的半圆形，

Sg=—x2nxix2+2x2=271+4

该几何体的侧面积为：2

故选：C.

5、答案：D

解析：

根据函数的定义，可得集合加的元素的个数，即可判断集合加的子集：

解：由已知可得函数=A）的图象与x=”这条直线至多有一个交点,

故集合｛（x，y）|y=f（x）"”｝c｛（*，y）k=a｝中所含的元素个数为。个或I个，

所以集合M的子集个数为1或2，

故选：D

6、答案：B

解析：

将各选项中的角表示为a+2M■（OWav?阳上eZ）,

利用象限角的定义可得出合适的选项.

4/r4〃

84_------4星

对于A选项，33,3为第三象限角，则3为第三象限角:

75不_7£

----7T=------27r

对于B选项，66,6为第二象限角，则6为第二象限角;

74

对于C选项，6为第三象限角；

5n

对于D选项，了为第四象限角.

故选：B.

7、答案：C

解析：

由三视图还原几何体为三极锥，确定极锥底面积和高之后，根据校•锥体枳公式可求得结果.

由三视图知，原几何体是棱长为6的正方体中的三棱锥。-A8C,且"=3,

S=~~x3x6=9

由正方体的性质可知：“此一2_,三棱锥O-A8C的底面48c上的高为6,

V=ix9x6=18

,该几何体的体积为2

故选：C.

7

8、答案：D

解析；

由三角函数的单调性、奇偶性、周期性逐一判断即可.

对于A,)，=sinx是奇函数，故A不符合题意：

7=二=乃[()£j

对于B,>'=8S2'为偶函数，周期一彳一'，但其在।'于上单调递减，故B不符合题意；

对于C,y=tan(-x)是奇函数，故c不符合题意：

对于D.是偶函数，周期7=万，在2单调递增，故D符合题意.

故选：D

9、答案：BCD

解析：

根据己知条件，利用二次不等式的解集与二次函数的的图象的对应关系，借助韦认定理和不等式的基本性质作

出判断.

由已知得"°，浸+尿+。=°的两根为7和2,

b=-a,c=-2a.

.b>(),c>0,a+h=0,

,••a+A+c=c>0?

故选：BCD.

10、答案：BCD

解析：

根据给定的复数等式求出复数z,然后对各选项逐一分析、推理计算而作答.

|3-4i|j32+(-4)2.(3-4i)5(3-4i)34.

z=------=-----------------=---------=----1

22

由(3+4i问3-4”得：3+4i(3+4i)(3-4i)3+(-4)55,

_4

z的虚部为G,A不正确：

'-5+5',复数)在复平面内对应的点坐标为I'M,它位于第一象限，B正确：

-3434

z-z=(-——i)(-+—i)=1

5555.c正确：

因6团0,2乃)，|cos'+isin例=1,于是有复数cos〃+isin〃在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心的单位

圆，

而|5z-cos。-isin0|=|(3-4i)-(cos0+isin〃)|,它表示上述单位圆上的点到复数3-4i所对应点的距离，

从而得I5z-cos0-isin0|的最大距离为复数3-4i所对应点到原点距离加上半径，即：

|5z-cos^-isin<9|mux=|3-4i|+l=6r口正确.

故选：BCD

11.答案:ABD

解析：

从定义域和对应法则两方面来判断是否是同一函数

对于A项，/W的定义域是«(力的定义域是必定义域不同，故不是同一函数：对于B项,

=T•/石与g(x)的对应关系不同，故不是同一函数；对于c项，经过化简可知两函数的解析式与定义

域都一样，所以为同一函数；对于D项，“X)的定义域是(―TU[2,M),屋村的定义域是[2，*0),定义

域不同，故不是同一函数.

故选：ABD

12、答案：BD

8

解析：

根据空间直线与平面间的位置关系判断.

解：对于A,若机＜=a,〃ua,，〃〃夕，则a与夕相交或平行,故A错误：

对于B,若加/a,加甲,an/=〃，则由线面平行的性质得加/〃，故B正确；

对于C,若m,a,机1〃，3甲,则〃〃/或〃u〃，故c错误；

对于D,若〃?心0,则由面面垂直的判定定理得0■1■尸，故D正确.

故选：BD.

27

13、答案：311

解析：

f]f2f

；AD=-AB+-AC

由出）=2亦可得33，然后两边平方处理，结合平面向量的数量积运算，解方程即可；

—1f2f

把33和AE=/IAC-AB代入AQAE=4,化简整理后，代人已知数据，解关于义的方程即可得解.

解：•.・BO=2DC,,8、/)、°三点共线,

TIT0一

4。=-A8+二AC

33,

->1->A12.T

|AOF=一|A8|2+-MC|2+2X-X-|ABHAC|cos60°

两边平方得:

371f44r

-=-\AB^+*x4+-x2x|4B|xl

.•.99992,

=3或一7

H(舍去).

AD,AE=4,

[r2f——

二(，曲±AC)4xAC-AB)=4

33

I->27J->22

~AB+—AC+土，4&4C=4

化简整理，得333

2z:一227

--x9+4+-------x3x2xcos60°=42=—

3T3,解得11

27

IT

故答案为:3,

小提小：

本题考查平面向量的模、向量的加减法运算以及向量的数量积运算，利用到了平面向量基本定理，还采用了平

方法解决模长问题，考查学生的分析能力和运算能力.

14、答案：5[2,6+1]

解析：

首先根据正弦定理边化角公式得到sinAcosC+(sinC-2sinB)cosA=0,再利用正弦两角和公式即可得到

.I4乃2sinC\/31

cos/i=-A=-c=----------=--------+1

2,从而得到3,利用正弦定理得到sinBtan8，再求边长c的取值范围即可.

因为^/cosC+(c-2b)cosA=0所以sinAcosC+(sinC-2sinB)cosA=0

即sin/4cosC+cosAsinC-2sinBcosA=Of

sin(A+C)-2sinBcoaA=0,sin^_2sinBcosA=0,

coSiA=—A=—

因为sinB>0,所以2,OcA”，所以3.

9

2c

由正弦定理得：sinBsinC,

2sinC2曲序-可8

c=______=_____:________二_____________-_____jI

解得sinBsinBsinB(anB

6r

因为广85,所以IWtanBW62<-^-+l<V3+l

tanB

故答案为：孑：［2,6+口

15、答案：0.150

解析：

利用频率之和为1可求”，由图求出完成作业时间不少于3h的频率，由频数=总数x频率可求.

由0.5x（2a+0.3+0.4+0.5+0.6）=l可求«=0.1.由图可知，全校高中学生中完成作业时间不少于3h的频率为

0.5x0.1=0.05,则对应频数为1（XX）x0.05=50.

故答案为：0J;50

16、答案：（l）tana=-2

—正

（2）5

解析：

（1）根据诱导公式化简题干条件.得到sina=-2cosa.进而求出tana的值：（2）结合第一间求出的正切

值和一兀<。<°,利用同角三角函数的平方关系求出正弦和余弦值，进而求出结果.

（1）

___s_i__n_a_-_4_s_i_n_（—2,+a）=2

..2sin（7t-a）+cos（27t-a）

sina-4coscr.

------------=2

2sina+cosa,化简得：sina=-2cosa

tana=-2

（2）

-n<cr<0,tana=-2<0

为第四象限，故sinavO,cosa>0

sina=-2cos«2旧6

.sina=-----cosa=—

由（sin2a+cos21>=1得5,5

2何石—6

sina+cosa=

故555

正

17、答案：（1）证明见解析；（2）6.

解析：

⑴由题意首先证得线面垂直，然后利用或面垂直的定义证明线线垂直即可：

⑵方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计匏三棱锥的体积即可.

（1）因为A3=AD,。是8。中点，所以OA_L〃Z）,

因为Q4u平面.，平面A5D_L平面BCO,

旦平面A8QC平面BCD=BD,所以OA_L平面BCD.

因为CDu平面BCO,所以OAJ.CQ.

（2）［方法一］:通性通法一坐标法

10

如图所示，以〃为坐标原点，(％为z轴，。。为y轴，垂直°。且过〃的直线为*粕I,建立空间直角坐标系

Of"

I?

A(O,O.m),E(O,-,—/??)

，设

2,

设0=(x,yz)为平面E8C的法向量，

EBn=Q

同—)

则由【或.”二°可求得平面£8C的一个法向量为m

又平面8c。的一个法向量为。＜=(0。，叽

立

3伍。4)

2

所以，解得利=1

V=V=­x-x2x\x—=

又点C到平面A用)的距离为2,所A以BCD…cBl3226,

所以三极锥A-8CO的体积为6.

［方法二)【最优解】：作出二面角的平面角

如图所示，作EG_L5。，垂足为点G.

作G尸J_BC,垂足为点E连结口"则。A〃EG.

因为Q4_L平面3CQ,所以EG_L平面BCD,

DEFG为二面角E—8C—。的平面角.

因为NER；=45。，所以EG=R7.

由已知得。3=。。=1,故OB=OC=1,

又/OBC=NOCB=3(f,所以BC=6

24222

GD=-,GB=-FG=-CD=-,EC=-,OA=\

因为33y333,

匕w=gs即xOA=gx2S.cX°A=gx2xgxVxlxl)xl=V

［方法三］:三面角公式

考虑三面角B-EDC,记NEBO为a,NEBC为P,ZDBC=3(F,

11

记二面角£-8C—0为火据题意，得e=45°.

对夕使用三面角的余弦公式，可得cos或=cosa•cos30。，

代网

cosp=——COS(7

化简可得2.①

.._sina

使用三面角的正弦公式，可得s,"一焉方，化简可得sin/?=Jisina.②

3,、

—cos2a+2siira=1

将①②两式平方后相加，可得4，

.1上1

sin2a=—cos2atana=±-

BG=-

根据三角形相似知，点。为°。的三等分点，即可得3,

结合。的正切值，

"2]亚

£G=_,QA=]八——

可得3从而可得三棱锥A-8co的体积为6.

【整体点评】

⑵方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数

化，适合于复杂图形的处理；

方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的儿何特征有更加深刻

的认识，该法为本题的最优解.

方法三：三面角公式是•个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直

观、迅速.

以答案：⑴小卜

解析：

_J_兀

/(•%)=sin2（t）x+—+

2,再根据周期是5.求得其解析式，然后利用

(1)利用三角恒等变换减函数转化为I6j

正弦函数的性质求解；

g(x)=sin卜x+当+

2，再根据卜⑴一41成立的充分条件是反转化当

(2)利用图象变换得到1°)

xe0.—

L12」时,g(x)T<_<g(x)+l恒成立,由[Q)7]2＜，"口(力+L求解.

I（X）=石Sin6XYCOScox+cos2cox

（1）

.直sin2（yx+^（cos2（ox-\-1）

2

.（c71I

=sin2。％+—+—।

I62

12

T=In_n

由2.(1)2,解得"=2,

所以函数"sinl4x+-j+\_

2

兀In

XS12,24

因为

兀，“兀，4兀

——<4x+—<—

所以663,

所以2622

nIn■|-V33一

即函数/（"）在"22

12'24」上的值域是L

sin(2x+^)+2

g（”二

（2）由题意得

因为|g（x）-可＜1成立的充分条件是°瓦

XG0,—

口时,)恒成立,

所以当g(%T<m<g(x)+l

所以只需[gGZLx＜利＜[g（x）+CL,转化为求g（%）的最大值与最小值,

_5TI57t5n

0,—

xe12」时,2x+—€—,——

当663

g(0)=:+2=|gCL=，+2=1

所以"(i)-

33

J,[4)+L=2,即大〃,<2

从而L一Imax2,

所以〃，的取值范围是

小提小：

方法点睛：双变量存在与恒成立问题：

若“AW,/&）＞«&）成立,则“X）而/《（孙加；

若犯€外加eD2,f&）＞g（s）成立,则/（%）g＞g（x）*.

若叫，a）＞g（s）成立则〃x）i＞g（x）z；

若%€A,训e2,/（百）＞g（/）成立,则八x）“＞g3mm.

若片川,叫e%〃xJ=g（N）成立,则的值域是g（—的子集:

3出

19、答案：（1）2.（2）-1

解析：

（1）先求任意角的三角函数的定义求出⑷的值，然后利用诱导公式化简，再代值计算即可,

（2）利用诱导公式化筒即可

•.•角a的终边经过点尸卬⑹，

V3I

彳

・sincr=——cosa=—

••292，tana=73・

13

=sina-tana=-

(1)原式22.

-cosacosa,

=--------;------=-l

(2)原式cos-a

20、答案：⑴”"/

⑵-51n2

解析：

(1)由题设知/*)a=l,根据不等式恒成立即可求切的取值范围.

(2)由(1)可得2,应用对数的运算性质及基本不等式即可求M〃+皿4的最大值，注意等号成立

的条件.

(1)

由/(-^)=一3-1尸+1,则f(幻皿=1,

若不等式/(幻金〃在XWR时恒成立，即/CDmax工机成立，

•••m>l•

⑵

由题意，当〃9>°时，2p+4c/-l=0,

当〃>。，。>0时，"-"5,

.+2.2

.....p(2q)八I2J.Io「I