第一学期杭州市教学质量检测数学模拟卷答案解析

2022学年第一学期杭州市教学质量检测

数学模拟卷参考答案

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中有且只

有一项符合题意，多选、错选、不选均不得分。

1.B2.B3.D4.C5.B6..17.AS.A

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题列出的四个选项中有多项

符合题意，选全得5分，漏选得2分，错选、不选均不得分。

9.AD10.4C11.BD12.BD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.314.9

—―/—1—5、~I+

15.[2臼1G.I2—、—2

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步噪。

17.解：I由〃m〃，)可得、ill\,、】.”，

即、in〃f(1:'siJIHui〃，

因为、inO/。，所以(•,，、「‘，因为「E，但：)，所以]

21

由Ad,53=一12可得-Bli=5xI・।4is(万-〃13贝1IcooB=:，因为8£“I，

□

AC5

所以、=在中，由正弦定理可得歹，=理.，即丁解得八r

5sinBsinCr5111Q3

5*>

(2)由余弦定理可得/・y+4‘-2•.「I•1：L解得「=屈.记?J■西J,

CM1=t('.\4-(!-/K7b则点V'在线段,4B上且M为(ir的中点，记.1〃的中点为。，.18

边上的高为人，必4AC,热力的iC■：*3x4x，SAXBC■：x45x则

6>/36两

SMJ77J=(57D--^3)(A7D+-^B)=I7Z5--/ffl=573--

2244

2・

ws}_13._6i,所以m的最小值为名

"13，45252

18.解：li因为“，",”，।aya.-Hi,所以k4a2log.a,因为山2,所以

h，叼川=I,所以｛lo咫*｝是首项为I,公比为2的等比数列，所以I，文凡-1x2"।=Tl.所

以h„2.由题意知*।>J，=k以所以门•ql即q’?,又J,,则Q\2■

所以仆=(6)“又b“=c4,则2""=(6)“'‘，则/E-3.

⑵,=4晨3=(An-3)x白

5,=1Xg+5xJ+9.,,1h/_31,.5^1»

抖=l[+5x1

12得，、1♦I-(扛呆…，)-山-⑶)X',

所以&=in

19.解：依题意，折痕有下列三种情形:

1折痕的端点J/,.V分别在边.18，.4。上；

2折痕的端点V，、分别在边.1〃，C。上；

3折痕的端点.1/,.V分别在边.1。，/*•上.

在情形2、3中V、小故当/I时，折痕必定是情形1.

设.1.\/=/C〃，-1.V->)4-):1,则/，+/=16.

因为J/2.1-v，当且仅当/。时取等号,

所以“"I,当且仅当j“2、B时取等号.

即、的最大值为L

I，由题意知，长方形的面积为、「h・、卜.

因为舟:、，12,S•所以S"UHS.32.

1QO

（i）当折痕是情形，1时，设AM=『,.LV=yrm,则:jy=16,即“二；.

(0CZC8,

由.得-3&X8.

所以I=义二+——{W»亍W*W8.

则W=1/，令”0,得1=32（负舍）.

256

t(32,64)

T仁”）3261

yf一0+

y\61/M)

所以的取值范围为川”，故/的取值范围是、.I、号;

（H）当折痕是情形2时，设.川rrm,DSi,

则，」*IF）x6=16,即0=7-.

/w

j04工（8,

由上）若7-得。CW丁16

所以1.q中♦（w■»尸■,1（i；）.36,0<zC

（iii）当折痕是情形（3时.设H,V一,“'.IV—八，〃.

则:.r-/•X16,即！/1:.

由1之I,得。CW，

所以/=一+（工一»尸=、/1（工一2尸+61，（KJr<I.所以/的取值范围为、g旬.

综上所述，7的取值范围为6人川.

20.解：I由散点图可以判断，1y，，更适宜作为平均产卵数“关于平均温度厂的回归类型,

对VCT"两边取自然对数得In"hlf'*<lr,令：=hiy,“hir,一d,则“十，〃，

£(x.-x)U-T)

因为^0272,a=I-to=3.612-0.272x•=-3.HI9,

£，HL7H

I

所以:关于/的回归方程为(L272/-3.、内,所以“关于，的回归方程为〃

(2XD由"P)=c2一力

/(P)=MMl-P广'-S—2)C•/(1一P广'=C：PU-P广'.[2(l-p)-(n-2)p|

=Cj-p(1-/»)"3(2-np),

22

“'，且”-V,0<p<一时，/(p)>0,当一V『<I时，f(p)<o.

nn

所以函数〃”)在区间(6：)上单调递增，在区间上单调递减，

22

所以函数。川在〃处取得极大值，即最大值，故2；

nn

Z由①可知，当”■?时，〃川取最大值，

又”6,则〃»由题意可知、~16」，

•1«1

故E(.V：I=6x1-2,n(X)=6-1x1.

«So«>

由题意，直线/的斜率存在且不为()，设过点MJ)的直线1的方程为!’4.I,设.1人…，

〃(・3.如)，联立方程组可得，；=和1],消。可得―r」+(2k-山+1=U,

/.A=(2A«-I)2-H-X),且，川，解得(Yl，且人*，则二+『2=—?^,/心=:

八A

又,P.U/»8要与“轴相交，，直线/不能经过点11.2),即"3,故直线/的斜率的取值范

围是(x,-3)(-3.01ll.li；

(II)证明：设点A"”.!/”"\。..八3则初。=I",-1),03=(0,-1),因为初口XQ(K

所以!/.“一1；一八，故八[1一1/M，同理〃1-1/、，

直线PA的方程为1/一2=-1)=.=2节严一”，

1—Ji1——

令.r—I),得力/「“，同理可得。、,「'，

2+加2+火

因为

J+L[+]=2+劭+2♦出=8.2VM=8-2仕孙+1)(及”+1)

A“1-y.u1一”一2一的2-6—(2-〃1)(2-加)―1一人(工|+12)+收1*112

M4-2(.、..4-2*

=S--Kzin+MTi+nj+l]=+1)==

I-k(xi+n)+百|工？一—]4一小—-2k'

kk

.*->t*为定值.

A/JAp

22.解：V/(AJisinx♦uosx♦c[-<,<],aeR),/.f(x)=f(x)

即/(1)为偶函数.

(1)当a0时，f(x)xsinx4cosj(xe|<.<|h

当xw[o同时，，(x)=jrsinx+8tx,所以八x)=iinx♦jrcosx-sinx=jr8、i，

所以当xdo「；时，Ax)0；当JU；/时，/(x)0；

所以函数在[o,；]上单调递增，在单调递减：

又根据偶函数的图象关于，轴对称知，函数在心:上单调递增，在；,0上单调递减;

2

；,0卜［卜上单

所以/(x)=x$inx+和0.”上单调递增，在

2

调递减；

（2）因为/（*＞=4由”+©01“+；«»’,所以八jr）=xcMjr+a=x（atcotX）,

当a1时，「（x）0对任意“£［0.力恒成立，此时在［0.“上单调递增，

又〃0）I,所以关于x的方程〃幻：0无实数根；

当0＜。＜1时，X€（0,不）使得*C+8t&）=0,即"A

且当一征勺）时，/v）＞o；当x£（、E）时，r（x）＜o；

所以函数在（0.&）上单调递增，在（%,理）单调递减；

/（0）I,/（＜）1"用I,

①当卜斤1＞0,即时，关于x的方程/（X）0在区间［0.斤］上无实数根，

又/”）为偶函数，所以关于X的方程/（X）o在［工工］上无实数根；

②当|sr-K0,即0＜，与时，关于x的方程/（外：0在区间［0M］上有1个实数根,

又/3为偶函数，所以关于x的方程/⑶0在［rR上有2个实数根；

综上，当。＜小；时，关于x的方程/（幻0在卜（村上有2个实数根；

当心二时关于x的方程/（外。在卜不闭上无实数根.

数学模拟卷小题解析

1.【分析】

本题考查补集以及集合之间的关系，属于基础题.

根据题意画出图，由图即可得到IC,/r

【解答】

解：二集合.1,〃，f满足：c、工明「，

.11C.B.

故选：B.

2.【分析】

本题主要考查函数的单调性问题及充分、必要条件，属于基础题.

根据为单调减函数解出〃的范围，即可判断得结果.

【解答】

解：由题意可得/】为减函数，则“1。，解得“、1.

故选：B

3.【分析】

本题考查排列组合问题中简单的分组分配问题，属于基础题.

根据题意可知其中一名同学分得两本书，其余两名同学各分得一本书，利用排列组合数进行计算.

【解答】

解：根据题意可知其中一名同学分得两本书，其余两名同学各分得一本书，不同的分发数为

7：=36种，

故选D.

4.【分析】

本题主要考查双曲线的基本性质，属于中档题.

利用双曲线的定义建立〃，的关系即可解得答案.

【解答】

解：由题意可得焦点人到渐近线的距离为人，又因为入户2/〃，

所以/73，则/7i-2a♦%,hF,二匕，

WW

在'/，/"中由余弦定理得/JPL2/7/"<«⑵，代入化简得:-；

则渐近线方程“一：『.

故选：C

5.【分析】

本题考查了两角和与差的三角函数，以及正弦定理，属于中档题.

先利用两角差的正弦公式将原式变形，再利用正弦定理化角为边•可得答案.

【解答】

96

解；因为OCOBH-次，'

NIII〃"椒

则Nin(/J-4)sinHn^i4-(xm//AA-accibB

sinCsinC

9

尺A—311

故选：B.

6.【分析】

本题考查由数列的递推公式求通项公式及分组求和，属于综合题.

由递推公式确定通项公式后，再求

【解答】

An田%4cQgr-pj0»»*I_2**13-2n—fl„—2***12*—<I

解：因为",I♦”-,所以-W-1

0,1-2*a,,-2*a„-2"

又小-2二-1,所以｛册一2”｝是首项为-1,公比为一】的等比数列.

所以“n=(-1)**4-2",则S"■〃]+“？♦・・,+,川,一|+21+I+2?+—・+2”

2x("2")

=■]+-J_i=JWI3

1—52

故选：A.

7.【分析】

本题考查分段函数的最值问题、恒成立问题及分类讨论的思想，属于综合题.

先求出」】的最小值为1,再将，】时转化为恒成"•问题.

【解答】

解：因为当/・I时，门，“，令/'仃，二()，得.rII,则/I一在；、.山上单调递减，川」1

上单调递增，即函数/I”在/()处取得最小值1,

所以问题转化为〃」-/卜1-？-1在11.・x)上恒成立，令gu"JJ-2a,r>1

I当I)时，不符合.

当〃时，对称轴:,则<

2>1)J2a>或2J

20(g⑴=吁1+20A=I-4n(2-a)40

解得“兵守一持所以一三

故选：.4.

8.【分析】

本题主要考杏利用导数研究函数的单调性，意在考杳学牛对该知识的掌握水平和分析推理能力,

难度适中.

解答本题的关键有两点，其一是转化得到sinxf(x).cosx/(x)>0,其二是构造函数g(x)=cosxf

(x)即可.

【解答】

解：：因(0,，)，故tanx，(x)>/(x),

sinxf(x)>/(x)cosx»BPsinx/(x)cosxf(x)>0,

令g(x)=cosx/(x),

则g(x)=cosx/(x).sinA,/*(x)VO,

所以函数g(x)在(0,：)为减函数，

nKirIT

/•cos/(-)>cos/(),

()b3.1

一IFir

・・・VV(7)>/(*),

O41

故选4

9.【分析】

本题考查构造新函数，由函数图象判断自变量的大小，属于综合题.

等式两边取对数，构造函数函数/(，="一，结合图象得到「与”的范围.

【解答】

解：两边取对数，得,“4"，构造函数/㈤・学，则/出■/（“

・・・/（工）并，则/"）在川.，上单调递增，在I1.+X）上单调递减，且/1）=0,

又了>》>0,所以1<g<€.

故选：.1。

10.【分析】

本题考查了复数的运算以及几何意义，属于简单题.

【解答】

解：对于.1选项，|西+丽|=|西-丽|，平方可得两万Z=U，/I项正确；

对于〃选项，取.1.­J，则“•上：|二，当T,/）,〃项错误；

对于c选项，|'+425|・|词卜|巩|,平方可得叫口石=|两M衣I，即防〃应，

因此存在实数3使得：2=6，0项正确；

对于0选项，取，2.；-,14-/,但：||/|:>|,。项错误.

11,【分析】

本题考查新定义背景平面向量向量的线性运算，以及点到直线的距离公式，属于综合题.

根据题目的新定义对选项逐一判断即可.

【解答】

解：对于.1选项：若*5：，（乂>J_>.I；-1»

则司•丽=（j•［行+M百卜（劭。+i/je?）=内及+跳的+（工|孰+x2yi）n-Q；

因为万•匚：”，所以.<t,；故力错误；

对于。选项：设以。为圆心、半径为I的圆上任意一点为Huy）,因为。，=1,所以

（xFj+f=1>得d+d+ZruFTG1=（）,.”1/,，：,万=?’

即/•力•」y1=U故6正确;

对于。选项：5?="1.0），53=（心血，则的-0?=（小71,血-的），

即可I'耽一切），司二（小一工I质+（物一"

，Q|\Ir.rj-II7j-V：r♦2,--加1〃，力仆…，，故。错误；

对于〃选项：若415,斜平面内直线/的方程为,-。,15则在直角坐标下的直线/'的方

程为“】、则原点到直线r的方程为」"=?*故A正确.

4+2,5

故选：BD

12,【分析】

本题考台直线与椭圆的位置关系及应用，属于综合题.

通过设直线方程联立方程组，再借助韦达定理表示出所需验证的代数式是否为定值.

【解答】

n♦X?=rnpi+1+ms+1=m(yi+8)+2=■」片，+2=尸二

3mJ+I+I

.〜・、//X.-9m2-6，，产.-12m24-4

1rM2=(mM++1)=m。1吃♦用(幼+物)+1=毋.+♦1=3nB

一+4—9-12ni^―5

则一一协力:，宓%与m有关,不是定值)，故选项4错误.

Jmz+13m2+*13m2+4

、.、40,、-12"1+12JrM+32旦士估钻出mDP服

5(*1+-JJ▲—2X.、是定值，故选项8正确•

+J3m'+43m7+I

.上.W工如的人加2mM火.（M♦♦）

牙1-21*2-2tnyi—1〃t收—1"1为i如-ni（i/i+酰）+I

-9-6m

加।*QE2"…J]

・!，〃・+43所+4

:打〃与有关,不是定值）故选项。错误.

-9-6m“i

।.・,-ffl•.―1

3rnJ+43ma+I

__________机」

"共M例-m（和+次）+।

-9

3,M+4__________2?_______:定值J故选项。正确.

一9-6rn"--9m24-6m2+3m2+44

二—m•人+1

3m2+43m2+4

故选：BD

13,【分析】

本题考查正态曲线的性质，属于基础题.

利用正态曲线关于/I对称，得到2，〃1与“，的关系.

【解答】

解：因为工.V1.11,所以正态曲线关于1I对称，且川工・2m-1）二”（工•“〃，

所以2m1-in-2-1,所以“I3.

14,【分析】

本题考查等差数列的通项公式及基本不等式的应用，属于中档题.

先根据2亿.】得到勺I,再借助基小不等式求।-；的最小值.

<1|<1

【解答】

解•：因为犯“=2。““-】，则5+[2〃-l）d2（（i|•mil>1,化简得“i-d—l

因为数列｛〃.）的各项均为正数，则a.-U,d>0,则

乙〉仁.执町”）=容/+5?2^1.5=9

。1a\<j|a/d"jVd<1）

当且仅当*-,即,“=:/=：时取等号,所以:的最小值为9.

d<>|33flj«

15,【分析】

本题主要考查了圆的方程的综合运用，与圆有关的轨迹问题，两点间的距公式，中点坐标公式运

用，考查了分析和运算求解能力，属于较难题.

设.1人.”、//.।，.V.1,由条件可得.1夕132/…为〃，结合.1.1/8T川可得

5n\TBin代入坐标运算可得小。♦-门・八I，即

.l〃『=13-2（工1