高考数学 应考能力大提升81

备战数学应考能力大提升

典型例题

例1已知一四棱锥2-ABC力的三视图如下，E是侧棱PC上的动点。

(1)求四棱锥P-ABCD的体积；

(2)是否不论点E在何位置，都有8O_LAE?证明你的结论；

(3)若点七为PC的中点，求二面角。一A£-6的大小.

解：由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，

侧棱PC_L底面ABCD,且PC=2.-----------------------------------2分

•'^P-ABCD=§SABCD'PC=-4分

(2)不论点E在何位置，都有BD_LAE-----------------------------------------5分

证明如下：连结AC,•「ABCD是正方形

.•.BD1AC，"(:，底面ABCD且8Du平面A6coABD1PC7分

又•.•AC'PC=C/.BD_L平面PAC

,•,不论点E在何位置，都有AEu平面PAC

••・不论点E在何位置，都有BD1AE一9分

(3)解法1：在平面DAE内过点D作DGJ_AE于G,连结BG

•・•CD=CB,EC=EC,RtAECDgRt\ECB

:.ED=EB,VAD=AB，AEDA^AEBA

/.BG±EANDGB为二面角D-EA-B的平面角12

分

VBC1DE,A3/7BCAADIDB

RtAADE^DG=ADDE=BG

AEV3

22

F\D2ID/^_Rf)2x——2

在△DGB中，由余弦定理得cosZDGB=--------———=—三一

2DBBG2x22

3

...ZDGB=—14分

3

［解法2:以点C为坐标原点，CD所在的直线为X轴建立空间直角坐标系如图示：

则0(1,0,0),41,1,0),5(0,1,0),E(0,0,l)x站)而

C

。E=(一1,0,1),DA=(0,1,0),=(1,0,0),BE=(0,-1,1)1分

7R

设平面ADE和平面ABE的法向量分别为m=(a,b©,n=(a\b\c')

由法向量的性质可得：—a+c=0/=0,优=0,—»+6=()

令c=l,c'=-1,则a==/.m=(1,0,l),n=(0,-1,-1)--------13分

设二面角D-AE-B的平面角为。，则cos6=尸〃-=」

\m\-\n\2

:.0=—

3

例2如图，在五面体ABCDEF中，FA_L平面ABCD,AD//BC〃FE,AB_LAD,M为EC的

中点，AF=AB=BC=FE=-J-AD(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小；

2

(II)证明平面AMD_L平面CDE；

(III)求二面角A-CD-E的余弦值。

解：(1)如图所示，建立空间直角坐标系，

点4为坐标原点。设A8=1,依题意得B(1,O,O>C(1,1,O),。(0,2,0)£(0,1,1),F(0,0,l),

所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.

(II)证明：由市CE=(-1,0,1),⑥=(0,2,0)^gCE*AM=0,

江・石=0.因11匕，CE±AM,CE_LAD.又AMf]AD=A,故CE_L平面AMD.

而CEu平面CDE,所以平面AMD±平面CDE.

■

(III)解：设平面CDE的法向量为J=(x,y,z),则'

u•DE=0.

■X+Z=()'人一/口、

于是4令x=L可得〃=(1,1,1).

-y4-z=0.

又由题设，平面AC。的一个法向量为y=(0,0,1).

w•v_0+0+1_V3

所以,co&〃,V)=

|硼V3»l3

创新题型

1.如图，在棱长为1的正方体-中，P是侧棱CG上的一点，CP=m。

(I)、试确定〃?，使直线AP与平面8。。用所成角的正切值为3&;

(II)、在线段AG上是否存在一个定点Q,使得对任意的〃?，RQ在平面APR上的射影

垂直于AP,并证明你的结论。

参考答案

1•【解析】本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识及空间想像能刀和推

理运算能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。

解法1：(1)&C,即C「BO二。，

AP与面BDD出交于点G,连OG.

因为PCH面30〃B1,面BORB,。面APC=OG,

Im

故OGHPC。所以。G=^PC=彳。

22

又40_1。8,401.8月，所以40，面8。94.

故NAG0即为AP与面BDR4所成的角。

也

在放△40G中，tanAGO=-2-=3&,即m二1.

m3

故当m=1时，直线AP与平面BDDR所成的角的正切值为3>/2。

(II)依题意，要在4G上找一点。，使得。。

可推测AG的中点。即为所求的Q点。

D

因为AaJ.AG•\LAAt,所以°Q_L面ACCA•

又APu面ACGA.，故±AP0

从而DQ在平面A。P上的射影与"垂直。

解法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则

A(l,0,O),B(1,1,O),P(O,1,m),C(0,1,0),

D(0,0,0),B4，1,1),D)93,1).

所以==(0,0,1),

AP=(-l,l,/n)MC=(-1,1,0).

又由4c•BO=0,ACBB.=0知平面BB】RD的一个法向量.

设AP与面3。。隹所成的角为0

\AP-AC\_2

贝Ijsin9=cos(——0)=

2|”|.|AC|一行企+〃/

2_3x/2解得"?=；.

依题意有：