初中数学60个几何模型专题复习：模型36相交弦定理

模型36相交弦定理

模型展现

基轴模型

特点。。内任意弦AB与弦CD交于点E

结论EAEB=ECED

结论分析

结论:EAEB=ECED

证明:如图，连接AC,BD.

ZAEC=ZDEB,ZA=ZD,

.,.△AEC^ADEB,

EAEC

E一D=一EB,

.\EAEB=ECED,

?怎么用

L找模型

圆中两弦相交于一点

2用模型

圆中两条弦交于圆内一点，且要解决线段问题，则连接线段端点，构造相似三角形，从而得到线段之间的数

量关系

模型典例

例如图，在。0中.弦AB_1_弦CD于点E,连接AD.BC.若AD=CD=5,CE=则弦AB的长为（）

4

例题图

A.4B.-C.-D.5

33

思路点拨

遇见相交弦，一找已知线段，二列比例关系即可求解.

针对训练

1.模型叠加如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点E,CB=CA=CD=10,AE:CE=2:3,则BEDE的值为（）

A.46B.64C.68D.72

第1题图

2.如图.△ABC内接于一圆中，点D是BC的中点，连接AD交BC于点E,若CE=1,BE==百,,则线段BD的

长为

第2题图第3题图

3.如图.正方形ABCD内接于。。，点E是对角线BD上的点,连接AE并延长交劣弧BC于点F,若OE=EF=I厕

器的值为一.

4.（创新题型-阅读理解试题）阅读下面的材料，并完成相应的任务：

圆幕定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了圆的切割线定理、割线定理、相交弦定理，欧几里得

《原本》中对它们的证明是基于毕达哥拉斯定理（勾股定理）的，简单而自然.

其中相交弦定理的证明过程如下：

已知:如图①，若弦AB,CD交于点P.求证:PA-PB=PCPD.

证明:如图②，连接OBQP,过点O作OELAB于点E,

，AE=BE.

设30的半径为R,

工PAPB=(AE-PE)(BE+PE)=(BE-

+PE)=BE2-PE2=(OB2-

0E2}-(。户一谱)=R2-OP2,

同理，PC^PD=R2-OP2,

••・PAPB=PCPD.

图①图②

第4题图

彳弗：

(1)如图③，已知,AB为。0的直径,AB=4,弦CD交AB于点E.且点E为OB的中点，若CE=2,求线段DE的长:

(2)如图④.从。0外一点P向圆弓割线PBC和切线PA,求证:PAZ=PB•PC.

第4题图

模型36相交弦定理

模型典例

例B【解析】VAD=CD=5,CE=-DE,：.DE=4,CE=1,VAB±CD,.\ZAED=90°,ffiRtAAED中,AE=

4

y/AD2-DE2=V52-42=3,VZAED=ZCEB,ZEAD=ZECB,AAAED^CEB,：.=器，贝!JAEBE=CEDE,•••BE

=C^DE=2..as=AE+BE=3+±=N

AE333

针对训练

1.B【解析】如解图.,・・CB=CA=CD,・,.点A,B,D在同一个圆上（定点定长作圆模型见P121）,以点C为圆心CB

长为半径作。C,延长AC交。C于点F,VCB=CA=CD=10,AE:CE=2:3,AE=4.CE=6,EF=16［相交弦定理］,/.BEDE=A

2.V6【解析】由相交弦定理可得,AEDE=CEBE,:/.显DE=1x3,解得.DE=V3//AB为。。的直径,，NA

DB=90。,.••在RsBDE中.BD=7BE?-DE?=V6.

3.2+百【解析】如解图，连接OA,设。O的半径为r,V四边形ABCD为正方形.JNAOE=90。(正方形对角

线互相垂直),・・・0E=EF=1,AE=Vr^TT,DE=r+l,BE=r-1,日相交弦定理得AEEF=BEDE,gpVr^TT=(r

十1)(r-1).解得r-同可将产看作个整体t,先解出t,再求r)(负值舍去)，二胎-职二2十后

DCVO-1

AD

B

第3题解图

4.(1)解:VAB是。O的直径,AB=4,且点E为OB的中点,

AAE=3,BE=1.

由相交弦定理得CEDE=AEBE,

：・2DE=3xl,・・・DE=|;

(2)1正明:如解图.连接OA,OB,OP,过点。作OD_LBC于点D,则BD=CD.

第4题解困

•・•PA与。。相切于点A,

r.ZOAP=9