高考数学总复习《空间向量及其应用》专项测试卷及答案

高考数学总复习《空间向量及其应用》专项测试卷及答案

学校:进级：姓名：考号：

一、单项选择题

1.下列说法正确的是()

A.若P=M+>力，则p与明)不一定共面

B.若。与a,b共面，则p=xa+yb

-►-►―>

C.若M0=xM4+,，M8,贝l|P,M,A,8共面

―>—>—>

D.若匕M,4,8共面，则

2.设平面a的一个法向量为〃=*/，-2),平面/?的一个法向量为相=(2,-2,>'),若a〃尸，则盯

=()

A.2B.4C.-2D.-4

3.已知空间四边形。48C,其对角线为03,AC,M,N分别是线段。A,CB的中点，点G在线段MN

—>—>­►—>

上，且使MG=2GN,如图，则正确用向量0A,OB,0C表示向量0G的是()

22

A.OG=OA+g03+1OC

―>—►-►―>

122

OG=^OA+^OB+^OC

B.4JJ

―►―►―►―►

C.OG=\oA+(OB+goC

―>—>―>—>

D.OG=%A+4O3+%C

o33

4.已知向量。=(2,-1,3),*=(-1,4,-2),c=(7,5,2).若叫b,c三个向量共面,则实数『=()

A6263r6065

77i/・7L^・7

—>—>―>―>—>—>

5.已知正四面体A-8CQ的枚长为1,且AE=2E8,AF=2FDf则石FOC=()

2|21

A-3B3C--3D--3

第1页共14页

311

6.若A,B,C不共线，对于空间任意一点0,都有OP=4OA+WOB+ROC,则匕A,B,。四点（）

A.不共面B.共面

C.共线D.不能确定

7.（2024.河北石家庄模拟）如图,正方体ABCZ）-4BiG模中,7-=2%,点M在侧面44B4内.若

DMLCP,则点M的轨迹为（）

A,线段

C.抛物线的一部分D.椭圆的一部分

8.（2024•四川内江、眉山等六市月考）如图，平行六面体A8O4向中，AB=AD=AAl=lf乙BAD

Dp

二、多项选择题

9.（2024•广东梅州模拟）如图,在正方体A5CD-4向G5中,A4=3,点M,9分别在棱和8场上

（不含端点）运动.若则下列命题正确的是（）

A.MNkAiM

B.MN_L平面D\MC

C.线段8N长度的最大值为:

D.三棱锥G-AQiM体积不变

三、填空题与解答题

第2页共14页

10.已知空间三点4023),比一24,6),C(l,-1,5),则以A'AC为边的平行四边形的面积为.

11.已知ci,02是空间单位向量，ere2=1,若空间向量〃满足万d=2,“=|,且对于任意x,3

\b-(xe\4-ye2)|>|Z>-(xoei+>'oe2)|=l(.r0,Vo^R),则xo=,yo=,\b\=-

12.如图，在四棱锥P-ABCQ中，%_L底面48C。，底面A8C。为梯形，AD//BC,CD1BC,AD=2f

AB=BC=3tM=4,M为A。的中点，N为PC上的点，且PC=30N.求证：MN〃平面以反

13.(2024.山东济南质检)如图，在三棱锥2ABe中，AB=ACt。为8c的中点，PO_L平面48G垂

足。落在线段A。上.已知8c=8,PO=4,40=3,OD=2.

(1)证明：APLBC\

(2)若点M是线段AP上一点，且AM=3,证明：平面AMC_L平面8MC.

14.(2024.河南洛阳模拟)如图，正方形人。灯所在平面和等腰梯形A8CQ所在的平面互相垂直，已知

BC=4,AB=AD=2.

第3页共14页

FrE

B

(1)求证:AC1BF.

(2)在线段BE上是否存在一点匕使得平面以C_L平面8CEF?若存在，求出而的值；若不存在，请说

明理由.

而分推荐题

15.如图，在四棱锥RA8CQ中，。。_1底面48。。，底面A8C。为正方形，PD=DCtE,尸分别是

AB,尸B的中点.

(1)求证：EF1CZ);

⑵在平面附。内求一点G,使GF_L平面PCA

解析版

一、单项选择题

I.下列说法正确的是()

A.若〃=.铉+)九则p与明方不一定共面

B.若p与明|共面，则p=xa+yb

—>—►­►

C.若MP=xM4+)，MB,贝M,4,B共面

—>—>—>

D.若匕M,A,8共面，则MP=xMA+.vM8

第4页共14页

解析：A项，若。=必+)力，则〃与明力一定共面；B项，若0,力共线，〃与。不共线，则〃=.皿+

财就不成立；C正确；D项，若W,A,8共线，点P不在此直线上，则MP=xAM+yM〃不成立.故选C.

答案：C

2.设平面a的一个法向量为〃=(%1,-2),平面”的一个法向量为6=(2,-2,)，)，若a〃尸，则个

=()

A.2B.4C.-2D.-4

x=2z,

解析：因为a〃乩所以山分，所以存在实数儿使得〃=加，所以1=-2>.,解得4

-2=Ayf

所以冲=一4,故选D.

答案：D

3.已知空间四边形0A8C,其对角线为。8,AC,MfN分别是线段OA,C8的中点，点G在线段MN

—>—►—►­►

±,且使MG=2GN,如图，则正确用向量CM,OB,0C表示向量。G的是()

A.OG=OA+l(9B+10C

―>―►—>—►

122

B.OG=5OA+QO8+QOC

2JD

—>—►—>—►

C.OG=/4+；O8+Woc

―►―►―►―>

112

0G=T-^OB+\0C

D.oOA43-3

解析：连接。M图略).

―►―>―►

OG=()M+MG

—►—>

=；OA+'MN

—>—>—>

=|OA+|(ON-OM)

第5页共14页

i2\।I

=即+■08+方0C-2OA

=Q/1+*B+；OC.故选c.

答案：C

4.已知向量。=(2,-1,3),*=(-1,4,-2),c=(7,5,1).若叫瓦。三个向量共面,则实数2=()

A/636065

7Du・7、C_*・7JLX.7

(33

1=

0=2一4,不

解析：由题意，设c=/a+")=(2/—4，一/+4〃，3/-2/Z),所以｛5=-/+4〃,解得<〃=¥，

U=3/-2//,

._65

1/=7

故选D.

答案：D

-►—>—>—>—>―►

5.已知正四面体48CO的棱长为1,且AE=2EB,AF=2FDf则EFOC=()

A.；B.gC.一,D.

―>―►―►­►―►―>

22

解析：因为AE=2EB,AF=2FDt所以EF=qBD,即石尸=18。，

―>—>—>—>

9

则上"

―►-►

=T|/?D||DC1COS子=-T.

JJJ

答案：D

—>—>―►-►

311

6.若A,B,C不共线，对于空间任意一点0,都有。P=zOA+gOB+gOC,贝I」P,A,B,。四点()

A.不共面B.共面

C.共线D.不能确定

解析：由已知可得

―►—►—>—►—►

OP-OA=-^OA^OB+^OC

-►—>—>―>

=-JoA+JoB+JoC—JoA,

oooo

第6页共14页

―►―>―►—>—►—>―►

可彳导AP=~^(OA-OB)+|(0C-OA)=-|BA+|AC,

―►—►―►

所以AP,ACt48共面但不共线，

故P,4B,C四点共面.

答案：B

7.(2024•河北石家庄模拟)如量，正方体A3C0-A出iGA中，AP=2PA],点V在侧面AA|G山内.若

_LCP,则点例的轨迹为()

A.线段

C.抛物线的一部分D.椭圆的一部分

解析:如图，建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为3,则尸(3.0,2),C(0,3,0),D,(0.0.3),M(3,y,

―►—►-►

z),DiM=(3,yfz-3),CP=(3,-3,2),所以。[MCP=9-3y+2(z-3)=0,整理为3y-2z-3=0,即点

M的轨迹是平面A/出内，直线3y—2z-3=0上的一段线段.

答案：A

8.(2024.四川内江、眉山等六市月考)如图，平行六面体用iG。中，AB=AD=AA\=\fZBAD

=N8A4i=l20。NOA4=60。，则AG=()

A.1B.2

C币D.也

―>—>—>—>

解析：*：AC[=AB+AD+AAf

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-►—>—>—>—>—>—>—►­►—>

：.ACi2=AB2+/^D2+i2+4-2ABAAi+2AD/AA1=1+1+1+2x]xlx(—§+2乂以以(一§+

：.AC\=y[2.

答案：D

二、多项选择题

9.（2024•广东梅州模拟）如图,在正方体A68-州61CQ1中,A4=3,点M,N分别在棱45和B场上

（不含端点）运动.若则下列命题正确的是（）

A.MN_L4M

B.MN_L平面QiMC

C.线段团V长度的最大值为］

D.三棱锥G-AQiM体积不变

解析：在正方体ABCD-ASGn中,以、点D为原点,射线DA,DC,。。分别为x轴、y轴、z轴非负

半轴建立空间直角坐标系，如图,

则4(303),。|(0,0,3),C(0,3,0),8(330),

设M(3,y,O),M3,3,z),yfz50,3),则"用=(3,y,一3),MV=(0,3—y,z),而

­►―>

则£)iMMN=y(3—y)—3z=0,即z=；y(3—y).

——►―►—►―►―►

对于A选项，连接4M,4M=(0,y,-3),则4M.MN=.v(3-y)-3z=0,则AiMJLMN,MNLAiM,

A正确；

―►—>―>

对于B选项，连接CM,CM=(3,_y-3,0),CMMN=(y-3)(3-y)=-(3-y)2<0,即CM与MN

第8页共14页

不垂直，从而MN与平面QMC不垂直，B不正确；

—>—>

对于C选项，3N=(0,0,z),则线段4N长度|网=2=,一5一1)+翡，当且仅当泻时等号成立,

C正确；

对于D选项，连接AG,MG,不论点M如何移动，点M到平面ASG的距离均为3,而丫©-4回用

IQ

=YM-4AG=『3-SA4GG=5,所以三棱锥G-AQM体积为定值，即D正确.

答案：ACD

三、填空题与解答题

—>―>

10.已知空间三点A(0,2,3),砍-2』,6),。(1,-1,5),则以AH,AC为边的平行四边形的面积为.

解析：由题意可得

AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),

ARAC

所以cos<ABtAO=_：

\AB\\AC\

—2+3+6]等，

=而衣=》所以疝<4&AC)

所以以A8,AC为边的平行四边形的面积S=2x；|A8||AC|sin<A8,AG=14苗=7小.

答案：7<3

11.已知ci,及是空间单位向量，右9==若空间向量〃满足万幻=2,beg旦对于任意x,)，£R,

G

-(xe\4-ye2)\>\b-(x()ei+>'oe2)|=1(.r0,VoR),则xo=,yo=,\b\=.

解析：问题等价于他一(•阳+”2)|当且仅当x=xo,>=和时取到最小值1,左边平方，得伊F+f+)，-4x

Ty+孙，

在x=xo,>=为时取到最小值I,

即|肝+f+『-4x-5y+xy

=『+(y-4)x4-/-5y+=2

I抑一4

x()+-2-=0,b0=1,

解得《川=2,

所以计2=。，

Ml=26.

、一7+|例2=1,

第9页共14页

答案：I22<2

12.如图，在四棱锥PX8CO中，B4_L底面/WC。，底面人BCQ为梯形，AD//BC,CD1BC,人。=2,

4B=8C=3,PA=4fM为人。的中点，N为PC上的点，且PC=3PN.求证：MN〃平面小B

解：方法一（几何法）：如图，在平面P8c内作M/〃BC交于点〃，连接人/在△P8C中，NH//

BC,且NH与C=1,AM=^AD=1,

又AD//BC,:.NH//AMaNH=AM,

・•・四边形AMNH为平行四边形,

:.MN"AH,

乂A”u平面以B,平面%B,

・・.MN〃平面PAB.

方法二（向量法）：在平面4BC。内作4E〃C。交于点E,贝ljAE_L4O.

以AE,AD,八夕所在直线分别为x轴、），轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则P(0,0,4),M(01,0),C(2<2,40,0,0),

板MN=AP=(0,0,4),AB=(2吸,-1,0).

设MN=〃M8+/泊P,

第10页共14页

18

,一i,o)+mo,o,4),

y5

\2

.*./??=j,n=j,:.MN,AB,AP共面.

・・・MN〃平面B4B.又MNQ平面PAB,

・・・MN〃平面PAB.

方法三（法向量）：建系写点坐标如方法二.

4zi=0,

设机=3,V，zi）为平面%B的一个法向量，则由皿_LAP,mLAB得，

f2V2n-yi=0,

Z1=O,

•<

卜=2也.叫.

令即=1,则〃?=(1,26，0).

2、QIo

:・MN.m=+x\--X2V24-5X0=0.m±MNt，MN〃平面PAB.

又MNQ平面%B,〃平面布及

13.（2024•山东济南质检）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=ACt。为8c的中点，。。_1平面48。，垂

足。落在线段4。上.已知8C=8,PO=4,AO=3,。。=2.

(1)证明:CPJLBC;

（2）若点M是线段A尸上一点，且4M=3,证明：平面AMUL平面8MC.

证明：（1）如图，以。为原点，以射线。。为）,轴正半轴，以射线OP为z轴正半轴，建立空间直角坐

标系O-QZ

M0(0,0,0),A(0,-3,0),3(420),

”=(0,3,4),BC=(-8,0,0),

第II页共14页

由此可得4PBe=0,

―►-►

所以AP_L8C,HPAP±BC.

(2)由(1),知4尸=5,

又AM=3,且点M在线段4P上,

・,.AM=|AP=(O,券)

―>

又B4=(-4,—5,0),

―►―►―►

・・・8M=84+AM=(-41612A

5，5?

­►—>

・"PBM=(034)(-4,1612、

7，TJ=°

・・・"_L8M,即AP_L8M,

又根据(1)的结论，知AP_L8C,且BMCBC=B,

・・・AP_L平面BMC,又APu平面AMC,

故平面AMC_L平面BMC.

14.(2024.河南洛阳模拟)如图，正方形4。七尸所在平面和等腰梯形A8C。所在的平面互相垂直，已知

BC=4,AB=AD=2.

⑴求证：ACmF.

BP

(2)在线段BE上是否存在一点P,使得平面%CJ_平面8CEF?若存在，求出近的值；若不存在，请说

明理由.

(l)t正明：•••平面AOE/J■平面4BC7),平面4DE尸A平面ABCO=4O,AFA.ADtAFu平面A。石尸，

人尸J_平面人BCD.

•・・/!Cu平面人8CQ,：.AFLAC.

・••过4作于〃(图略)，

则8”=1,AH=小,CH=3,

...AC=2巾，：.AH2^AC2=BC2,：.AC±AH.

第12页共14页

,

：ABC\AF=A9・・・AC_L平面EAB.

•・・BFu平面处B,：.ACLBF.

(2)解:存在.

由⑴知,AFfABtAC两两垂直.

—►—►―>

以A为坐标原点，ABtACt4厂的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标

系A-xyz,

则4(000),8(2。0),C(0,2\&0),E(-l,2).

假设在线段8E上存在一点P满足题意，则易知点〃不与点&E重合，

嘿=3则的，伟,瞿,用•

设平面以C的法向量〃，=(x,z).

由”=(滂，*'高'AC』。，2小,