高考适应性考试文科数学试卷

高考适应性考试文科数学试卷

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题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷入得分

一、选择题(共10题，共50分)

1、已知函数/(X)=HMX+2)--,在区间(。,1)内任取两个实数p，q,且若不等式

/(-+1)-/卜+1),2

p-g恒成立，则实数的取值范围是()

A(12,^O)B[12,-KO)C(24,^O)D[24,-KO)

【考点】

【答案】D

【瞬斤】分析：根据给出不等式关系，并变形得到〃p+i)-2(p+i)>/g+i)-2g+i),进而构造

«(x)=/(x)-2x,根据所给条件判断出K(x)的单调性；通过分离参数法，确定。在恒成立条件下的取

值范围。

详解：由已知P>q可得/(尸++

/(p+l)>/(g+l)+2p-2g

/S+l)-2p>/(q+l)2

/(p+l)-2p-2>/(q+l)-加-2

/S+l)-2(p+l)>/(q+l)-2(q+l)

令晨x)=/(x)-2x则有雇p+l)>g(q+l)

因为E(0J)所以P+1W(L2),q+1€(L2)

又因为p”

所以?（"）=/（"）-2%在（12）上为单调递增函数

^,（x）=/'（x）-2=-^--2x-2^0

%+2在，上恒成L

即以N（x+2）（2x+2）恒成立

令方（x）=（x+2）（2x+2）

（3丫1

=2V

I2）2

方（%）在（L2）上为单调递增函数所以'（X）1Mt=方（2）=24

所以。之24,即。的取值范围为[24，*0）

所以选D

2、己知命题P：“关于％的方程—_4x+a=0有实根”.若非P为真命题的充分不必要条件为々>3加+1,

则实数m的取值范围是（）

A.（"）B[L喇cS』

【考点】

【答案】A

【解析】分析：通过方程有实数根的条件，确定aW4,然后确定非P条件下a>4；根据充分不必要条件

确定3附+1a4,进而求出m的取值范围。

详解：由命题P有实数根，则A=16-3N0则a£4

所以非P时々>4

a>3附+1是非P为真命题的充分不必要条件，所以3加+1>4

加>1,则m的取值范围为（L枚）

所以选A

3、《九章算术》中，将底面为正方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角

形的三棱锥称之为鳖月需.若三棱锥尸-ABC为鳖股以，平面/BC.以=q=Z/C=4,三棱锥

P-ABC四个顶点都在球0的球面上则球。的表面积为（）

A.8%B.12%C.20%D.24不

【考点】

【答案】C

【解析】分析：根据所给定义，画出空间结构图如下，结合长方体的外接球半径的求法得出最后答案。

详解：

由题意可画出如图所示的空间几何体，则三棱锥尸一4HC的外接球半径即为长方体的外接球半径，所

以R=扬+4=2亚所以K='5

外接球的表面积S=4相片=2。笈

所以选C

4、运行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）

始］

.工

I二I

1I।（结则

Ias^4-lI

A.1B.2C.3D.4

【考点】

【答案】B

【解析】分析：根据程序框图的流程，代入8=°，々=1的值计算；通过归纳法找出b与a的关系，从而求

出b的值。

详解：根据程序框图可知，3=0，々=1

所以3=3ZG=2

6=lg2+lg^=lg3,a=3

4

6=lg3+lgj=lg4,a=4

b=lg98+lg*lg99H=第

b=lg99+lg皆=lglOO=2以=100

此时々＜100不成立，所以输出的b=2

所以选B

5、某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体

积是。

正视用例视图

区

7速图

俯视图

160176128

A.3B.3C.3D.32

【考点】

【答案】A

【解析】分析：根据三视图可知，该几何体是将正方体去掉一个正四棱锥后的几何体，去掉的正四棱锥的

a1，…32

V=—x42x2=——

体积为33,用正方体的体积减去正四棱锥的体积即为剩余部分的体积。

详解:

D

C

由三视图可知，该几何体是在正方体中挖去一个正四棱锥后得到的几何体，正四棱锥的顶点为正方体

的中心。

—P.AKD=-JX42X2=^^

0=匕

所以选A

y=2sin+y|+1

6、关于函数I4J下列叙述有误的是()

_K

A.其图象关于直线”-4对称

[―

B.其图象关于点112'J对称

c.其值域是[T3]

)=方欣£+9)+1-

D.其图象可由\"图象上所有点的横坐标变为原来的3得到

【考点】

【答案】B

【解析】分析：把横坐标代入三角函数表达式，如果得到最大值或最小值，则为对称轴；把点的横坐标代

入三角函数表达式中，若得到函数值为0,则点为对称中心；通过系数确定三角函数的值域为1-L3]；三角

函数平移变化中，横坐标伸长或缩短为原来的功。

x=--y=2sin3%+[]+1x=-—

详解：选项A,将4代入I4/中，)=-1为最小值，所以4是函数的一

条对称轴

K

y=2sin3x+y+1王

将”-代入

选项B,12I4J中，J=3,从而JH1,所以点U2',不是函数的一

个对称中心

函数的最大值为3,最小值为7,所以值域为

选项C,1-L3]

1

选项D,0从3变为1,所以横坐标变为原来的*

所以选B

7、等比数列｛端的各项均为实数，其前力项和为己知用=7再=63,则，=（）

A.32B.16C.4D.64

【考点】

【答案】A

邑二.（1寸）

【解析】分析：通过讨论q的取值情况，确定gHi,利用等比数列的求和公式“i-g,建立方程

组，求出4=2和.=1,进而求得.的值。

=7

洋解：当公比9=1时¥=34可得巧一了

代入与=6q=14,与耳=63矛盾，所以gNl

-力/（1-力

邑=3~L-------=63

由等比数列的前n项和公式1-4,可得1-4

两式相除，得丁-沏3+8=°,可解得q=2或夕=1（舍）

当0=2时，代入原式可求得4=1

则由等比数列的通项公式%=4*丁"=2$=32

所以选A

"2片+史=1

8、已知双曲线C的一条渐近线为2,且与椭圆123有公共焦点，则C的方程为（）

史一二力

=-1yL=i-Z_^=-i

A.TTB.T-T-c,JTD.TT

【考点】

【答案】A

a_V5

【解析】分析：通过椭圆的焦点，可以求出双曲线的c=3,根据双曲线的渐近线可以得到12,再由

双曲线中d瓦c的等量关系可以通过万程组求出a瓦c的值。

详解：椭圆的焦点坐标为（°'±3）,所以。=3

=25%=避_

由渐近线方程‘一2得了一2

c=3

{—更c=3

b2{a=y/5

所以〃+〃=孑,可解得6=2

^—―=1

所以标准方程为54

所以选A

9、已知集合4={#。（"1）42},3*|G+l）（3-x）之0”用，则4cB二（）

A./{TQL2』C{QL23}D0

【考点】

【答案】c

【解析】分析：解对数不等式，可以得到公{41443},解一元二次不等式，得到用x|-"xM3},

注意B集合取非负整数，然后求交集即可得到正确答案。

详解：解加&（'+1）"2不等式得一所以"二{x卜l<x43}

解（x+l）（3-x）2°不等式得B{x|T"xM3}又因为％EN,所以仄卜.工工？}

所以4CH={O,L2J}

所以选C

10、已知1+i,则z"（）

A.1B.iC.-1D.-i

【考点】

【答案】D

【解析】分析：把Z代入得,分子分母同时乘以Z,即可化简得到答案。

Z=^

详解：

所以力，

所以选D

二、填空题（共2题，共10分）

11、已知数列{端的前程项和为凡，且邑=窃'+力+L力EM,求册二__________

【考点】

4,72=1

【答案】,物-522.

【解析】分析：根据/=凡一，I可以求出通项公式小；判断国与.是否相等，从而确定为的表达式。

详解:根据递推公式，可得除=2（力-1》+（力-1）+1

由通项公式与求和公式的关系，可得/=凡一用■】，代入化简得

4=2y?+n+l-2（n-l）2-（n-l）-l

=4w-l

经检验，当"=1时，A=4,q=3

所以S】F

4,w=l

所以‘4力-522.

x+2y<l

{2x+”-l

12、设4J满足约束条件，则z=£-2y的最小值为.

【考点】

【答案】-5.

_3

【解析】分析：根据所给不等式组，画出可行域，将目标函数化成，一万”2z,可知z的最小值即为截

距的最大值。

详解：

根据二元一次不等式组，画出可行域，把线性目标函数化为‘—5、2Z

I

所以当截距52取得最大值时，z的值最小。

_3_1

由图像可知，当直线经过点“（-L1）时，线性目标函数5"的截距最大，所以

z|ab=3x（-l）-2xl=-5

所以Z的最小值为-5

三、解答题（共7题，共35分）

13、选修4-5：不等式选讲

已知函数小）=疝+1卜卜-4

（1）求不等式/（“）之2的解集；

（2）若不等式/G）之,-x+m的解集非空，求加的取值范围.

【考点】

【答案】⑴〃》2的解集为S-5ML他）.

⑵用43.

【解析】分析：（1）绝对值不等式，讨论绝对值内的正负情况，确定/（X）占2的解集。

（2）通过分离参数，得到关于m的不等式m«-x-3-x2+x在I2）上有解或m<3x-l-x2+x

在（I"）上有解或m«x+3-x?+x在[2+30）有解，解各不等式得到m的取值范围,

详解：

[<1

-X-3,xS--

2

/（x）={3x<-1<x<2

⑴x+3,xN2

当'一5时，由〃工”2解得xK-5：当-5时,由/（，沦2解得"工<2：

当心2时,由/（、）之2解得％N2.

所以，，（x）N2的解集为HZ-5MI*。）.

⑵不等式/G）之'-X+m解集非空,即m4/（X）-X?+x有解

即—x'+x在EV）

上有解或府53%-1-、2十%在12J上有解或

m<x+3-xa+x在【工前）有解

,13,13

m2---m2------

则4或4或加43,

所以用43.

14、选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系区丹中，以原点°为极点，”轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程

为跖。尸点的极坐标为I5J,在平面直角坐标系中，直线,经过点尸，斜率为招.

⑴写出曲线c的直角坐标方程和直线’的参数方程;

11

⑵设直线,与曲线c相交于43两点，求I尸a史却的值.

【考点】

x=-t

（2

=3+旦

y

【答案】（1）3=4y直线/的参数方程为2（E参数）.

⑵附附6

{X=pcosO

【解析】分析：⑴根据y=ps痴（°是参数），将加。.左右两边同时乘以夕，得工

将点p的极坐标化为直角坐标，根据斜率写出直线的参数方程。

卜制,整理化简利用韦达定理求向

7=4

（2）将A、B设成参数方程，联立曲线C得‘

值。

详解：

（1）曲线c的方程为x=4y

点下的直角坐标为（0,3）

X--t

（2

>=3+乌

直线1的参数方程为2（E参数）.

—?=43+

⑵设阳山」尸同=kL将直线I的参数方程代入曲线C的方程得4k豹

整理得户-8技-48=0,由韦达定理可知,4+/=8-8J也=Y8<0,

_L+j__l+_L=hl±M-k^l

则网网-耳q-丽-而

卜7=新+⑵'-贴=8病册+血=瞥=£

(>f)=(siwc-axs+®u-

15、已知函数''J\人其中

awR。=2.71828…为自然对数的底数.

⑴当a=0时，讨论函数/(X)的单调性；

⑵当5'〃"1时，求证:对任意的xe应+8)J(x)<。

【考点】

【答案】(1)/(“)在(f2)上单调递减.

(2)证明见及解析.

【解析】分析：(1)将。=°代入/(“),对函数求导即可判定函数的单调性。

⑵将不等式转化为关于。的一次函数，讨论在50时一次函数对任意的“'[Qx。两个端点都

小于0,即可证明J(x)<°。

详解：

⑴"0J(x)=J(sE-o)

+：)-a[<0

/'(x)="(sinr+e皿-tf)=

在S”2)上单调递减

⑵要证『($融_"】+"_@)<0对XCRW)恒成立

即证；5OTX-OX2+加一8<。对，6[«+8)恒成立

令式a)=(2r，)a+/wr

即证「朋时,g®=(2T"-r<0恒成立

4-l-g<0(l)

即证；加

g(D=x-/+2r<0⑵成立

s£nx+l<«

•••①式成立

现证明②式成立:

2

^A(x)=SOTX-x+2-«,A'(x)=cosx-2x

设在入⑼他），使得"&）-尢=。,则°V、＜不

入（X）在（°，%）单调递增，在［%,+«）单调递减

力（X）/Ma=〃（xj=si2一天2+2-3=皿_^^+2_.

酗g+皿+乙

0Vxeq=《哂皿+〉＜*＜。

综上所述.在门隹田），〃"）＜°恒成立.

16、如图，圆c与X轴相切于点丁（2。），与J轴正半轴相交于两点MN（点M在点N的下方），且

\MN\=3

⑴求圆C的方程;

巨+其=1

⑵过点M任作一条直线与椭圆84相交于两点4B,连接可，刀眩,求

证"ANM=ZBNM.

【考点】

25

(x-2)2+

【答案】（1）~4

⑵证明见解析.

【解析】分析：⑴设圆心坐标为（2丁）根据|则・3.可由勾股定理求出一求得圆的方程。

⑵讨论当斜率不存在时NW=N3M，=0・；当斜率存在时，设出直线）=狂+1方程，联立椭圆

4k=___6^

方程，利用韦达定理表示出“-1+2/，表示出巧却、媪,即可判定

详解：（1）由题可知圆心的坐标为（2，）二一（]）+2-4'T~2

・,•圆c方程为：1214

（2）由圆C方程可得

①当43斜率不存在时，^ANM=Z.BNM=0"

②当斜率存在时，设43直线方程为：）=狂+1.设”（、，入），*

>=ir+l

{-2=>（l+2A:2）x2+4fcc-6=04k6

T+T=1\+巧=_1+2*'\/=_]+2,

.+3=亡+上=%-3&+、）=121^一同21^）=0

玉、演巧_6

・•・1+•

•kJN+卜*1=0

综上所述山“=加”

17、如图，在四棱锥尸一daCD中，平面尸43,平面/"CD,PB1PA,

PB=P4ZDAB=ZABC=9G\AD//BC&=&3C=6，CD=10,M是以的中点

⑴求证：3M〃平面下⑵；

⑵求三棱锥3一CDM的体积.

【考点】

【答案】（1）证明见解析.

（2）=16

【解析】分析：（1）取PD中点，通过中位线证明线线平行，得到线面平行。

（2）根据等体积法，求三棱锥的体积。

详解：0）证:取ED中点N,连接网

MN为AEW的中位线.

MNH-BC

=2

BCH-AD：,MNHBC

又=2=，则3MTC为平行四边形

.-.BM//NC

又「NCu面PCD,MSU面PCD

面FCD.

=匕ZYO=7Mgj力

⑵3

过"作/C的垂线，垂足为M

••.面PAB±面ABCD.-.MM'为三棱锥的M-8CD的高

AP/a的高为4,/.W=2

=-x6x8=24

2

=1x24x2=16

3

18、某机构为了了解2017年当地居民网购消费情况，随机抽取了100人，对其2017年全年网购

消费金额(单位:千元)进行了统计，所统计的金额均在区间内，并按分

成6组，制成如图所示的频率分布直方图.

处

0.06--……

(1)求图中。的值；

⑵若将全年网购消费金额在20千元及以上者称为网

购迷.结合图表数据，补全2X2列联表，并判断是否有

99$的把握认为样本数据中的网购迷与性别有关系?说明理由.

(3)己知所有网购迷中使用甲软件支付的用户占了5(非网购迷不使用甲软件)，现要从甲软件用户中随

机抽取2人进行调查，问恰好抽到1男1女的概率为多少？

下面的临界值表仅供参考：

附：(a+6)(c+rf)(a+c)(6+rf)

【考点】

【答案】(1)。=0.04.

(2)列联表见解析，没有99$的把握认为样本数据中的网购迷与性别有关.

P=-

(3)7.

【解析】分析：(1)根据频率分布直方图中，各个小矩形的面积和为1,可以求得a的值。

⑵根据所给数据列出2*2列联表，求出g+b)(c+d)S+c)a+”),与所给与值比较即可判

断。