必修二直线与方程复习讲义

第八章平面解析几何

第一节直线与方程

【考纲知识梳理】

一、直线的倾斜角与斜率

1.直线的倾斜角与斜率

（1）直线的倾斜角

①关于倾斜角的概念要抓住三点：

i.与x轴相交；

ii.x轴正向;

iii.直线向上方向.

②直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

③倾斜角藤的范围0°«avl80°.

（2）直线的斜率

①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为的直线斜率不存在。

②经过两点Pi（乃•y）・P（乃，y）（父।工父）的直线的斜率公式是

/：=——工w工）

心一Xi

③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。

2.两条直线平行与垂直的判定

（1）两条直线平行

对于两条不重合的直线，其斜率分别为，则有。特别地，当直线的斜率都不存在时，的关系为

平行。

（2）两条直线垂直

如果两条直线斜率存在，设为，则

注：两条直线垂直的充要条件是斜率之积为-1,这句话不正确；由两直线的斜率之积为L可以得出

两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-I.如果中有一条直线的斜率不存在，另一条直线

的斜率为0时，互相垂直。

二、直线的方程

1.直线方方程的形式已知条件局限件

程的几种

形式

名称

点斜式y-V=h(工为直线上一定点,k为斜率不包括垂直于X轴的直线

一二)

斜截式k为斜率,b是直线在y轴上的截距不包括垂直于X轴的直线

两点式y-y\_（①，〉”・（/・y）是直线上两定点不包括垂直于X轴和y轴

“一丁1

的直线

4-力（X|#x2）

目（V牛》2）

截距式三+4=1a是直线在x轴上的非零截距，b是直不包括垂直于x轴和y轴

a1)

线在y轴上的非零截距或过原点的直线

一般式A/+By+CA,B,C为系数无限制，可表示任何位置

=0的直线

(A2+H2^0)

注：过两点Pl（xl,yl）,P2（x2,y2）的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。（I）若xl=x2且

ylWy2,直线垂直于x轴，方程为；（2）若，直线垂直于y轴，方程为；（3）若，直线方程可用两点

式表示）

2.线段的中点坐标公式

若点的坐标分别为，且线段的中点M的坐标为（x,y）,则此公式为线段的中点坐标公式。

三、直线的交点坐标与距离公式

1.两条直线的交点

设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线

相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。

2.几种距离

（1）两点间的距离

平面上的两点A（/1）・8（心…）间的距离公式d（A.3）=5/（/2一为）2+（北一”产.

特别地，原点0（0,0）与任一点P（x,y）的距离

（2）点到直线的距离

IAx：+B^+C|

点P（3）到直线心A攵」By+C=°的距离d=VA+B

（3）两条平行线间的距离

两条平行线人力rByTG=0与Ax-ByC=0间的距离4好

注：（i）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；

（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。

四、两条直线的位置关系

斜哉式一般式

3=4】工+仇A】z+8iy+G=0（A；+8；R0）

方程

y=A2i+〃2A2z+&y+C2=0（A；+度K0）

A1B2—A281Ko或+（A232K

相交

0）

后=一£或AIA2+%32=0或当B]B2^O时.记

垂H为丛,&.=—1

M任=-1力良殳

Ai82-A2B=0•而8c2-G民HO

或AzC-ACzKO；

平行卜\=卜2且。1#仇《

[或之力"（A2B2c2*。）

-A\-XAz•li\一入Bz,（1—A（?z（入#0）

重合卜\=卜2/加=仇匐郎噌―。）

【要点名师透析】

一、直线的倾斜角与斜率

（-）直线的倾斜角

※相关链接※

倾斜角0(。亨(子.旅)

T乙

斜取值0(0,+。-)不存在(—8,0)

率增减性递增递增

2.已知斜率k的范围，求倾斜角的范围时，若k为正数，则的范围为的子集，且k=tan为增函

数；若k为负数，则的范围为的子集，且k=lan为增函数。若k的范围有正有负，则可所范围按大于等

于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。

※例题解析※

R例》已知直线的斜率k二COST(a£R).求直线的倾斜角乃的取值范围。

(二)直线的斜率及应用

※相关链接※

I.斜率公式：与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式中前后次序相同；

2.求斜率的一般方法：

(1)已知直线上两点，根据斜率公式求斜率；

(2)已知直线的倾斜角a或。的某种三角函数根据A=tana来求斜率；

3.利用斜率证明三点共线的方法：

已知若，则有A、B、C三点共线。

注：斜率变化分成两段，是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。

※例题解析※

K例》设是互不相等的三个实数，如果在同一直线上，求证：

(三)两条直线的平行与垂直

K例》已知点M(2,2),N(5,-2),点P在x轴上，分别求满足下列条件的P点坐标。

(1)ZMOP=ZOPN(O是坐标原点)；

(2)NMPN是直角。

二、直线的方程

(一)直线方程的求法

※例题解析※

K例II求过点P(2,-1),在x轴和y轴上的截距分别为a、b,且满足a=3b的直线方程。

（二）用一般式方程判定直线的位置关系

※相关链接※

两条直线位置关系的判定

已知直线，，则

（1）

4/%。A约一44=o且AG-4G工。（或4c2-B2cl。o）

或记为：4=”工枭4、用、C2不为0）.

4B?G

（2）：/〃2=44+8也=0.

（3）

Zi与I重合㈡ABA，B=0且AC-AC

=0（或BCBC=0）或记为令=普="（A、B、C不为Q）.

⑷一与t.相交0AB「A'BWO或记为今W3（A、B,不为o）.

※例题解析※

K例》已知直线和直线，（1）试判断与是否平行；（2）J_时，求的值。

（三）直线方程的应用

※相关链接※

利用直线方程解决问题，可灵活选用直线方程的形式，以便简化运算。一般地，已知一点通常选择点

斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式。

另外，从所求的结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，常选用截距式或点斜式。

注：（1）点斜式与斜截式是两种常见的直线方程形式，要注意在这两种形式中所要求直线的斜率存在。

（2）“截距”并非“距离”，可以是正的，也可以是负的，还可以是0。

※例题解析※

K例1如图，过点P（2,1）作直线，分别为交x、y轴正半轴于A.B两点。

（1）当Z1AOB的面积最小时，求直线的方程；

（2）当IPAI-IPBI取最小侑时.求直线的方程。

三、直线的交点坐标与距离公式

(一)有关距离问题

※相关链接※

1.点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式是常用的公式，应熟练掌握。

2.点到几种特殊直线的距离

(1)点P(%,%)到x轴的距离d=|y()|。

(2)点尸(%,%)到y轴的距离d=\x0\.

(3)点%)到与x轴平行的直线y=a的距离d=\%-〃I。

(4)点尸(%,%)到与y轴平行的直线x=b的距离d^x0-a\.

注：点到直线的距离公式当A=0或B=0时，公式仍成立，但也可不用公式而直接用数形结合法来求距

离,

※例题解析※

R例》己知点P(2,-Do

(1)求过P点且与原点距离为2的直线/的方程；

(2)求过P点且与原点距离最大的直线的方程，最大距离是多少？

(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。

(二)有关对称问题

常见的对称问题：

(1)中心对称

①若点及关于对称，则由中点坐标公式得

②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点

对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用，由点斜式得到所求直线方

程，

(2)轴对称

①点关于直线的对称

若两点关于直线：Ax+By+C=0对称，则线段的中点在对称轴上，而且连接的直线垂直于对称

轴上，由方程组

与受二)-B(—~)+C=0

A(y—v)=B(K—J)

可得到点P关于/对称的点P’的坐标（毛，y）（其中A/。•久工为）

②宜线关于直线的对称

此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知

直浅与对称轴平行。

※例题解析※

K例1求直线/,：y=2x+3关于直线l:y=x+\对称的直线的方程。

（三）解析法（坐标法）应用

K例』（12）如图，已知P是等腰三角形ABC的底边BC上一点,PM_LAB于M,PN_LAC于N,用解

析法证明|PM|+|PN|为定值。

【感悟高考真题】

1.（2011•北京高考文科・T8）已知点，.若点C在函数的图象上，则使得的面积为2的点C的

个数为（）

（A）4（B）3（C）2（D）1

2.（2011•安徽高考理科・T15）在平面直角坐标系中，如果与y都是整数，就称点为整点，下列命题

中正确的是（写出所有正确命题的编号）.

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点

②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点

③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点

④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数

⑤存在恰经过一个整点的直线

3.（2011•安徽高考理科・T17）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，△

,△都是正三角形。

（I）证明直线3C〃E/；

（II）求棱锥产一O8EO的体积.

«（i7）Hn

4.(2011•安徽高考文科・T17)设直线

(D证明4与4相交；

(II)证明4与6的交点在椭圆2x2+y2=l上.

直线与方程复习大全

直线与方程：

1.直线的倾斜..X轴正方向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.当直线与X轴平行或重合时.

我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线倾斜角的取值范围是［0°,180°).

2.直线的斜...①定义：倾斜角不是90。的直线，的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率通常用k

表示.即..当=0°时，k=0；当e(0°.90°)时，k>0；当e(90°.180°)时，k<0；当=

909时，k不存在.

②经过两点Pl(xl,yl),P2(x2,y2)的直线的斜率公式:

(1).若直线过点(1,2),(4,2+)，则此直线的倾斜角是-----------()

A300B450C600D900

(2).直线的倾斜角和斜率分别是()

ABC不存在D,不存在

(3).如图1,直线，，的斜率分别为kl.k2.k3,

则必有....A.kl<k3<k...B.k3<kl<k2

C.kl<k2<k...D.k3<k2<kl

3.直线的方程

a.点斜式：直线斜率为k,且过点(xl.yl).

注意：当直线的倾斜角为0°时直线的斜率k-O,直线的方程是y-yl；

当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，直线的方程是x=xl；

b.斜截式：，直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b(b£R)

c.两点式:()直线经过两点Pl(xl.yl).P2(x2.y2.

d.截矩式：.直线1过点和点.即1在x轴、y轴上的截距分别为(aWO且bWO)

注意：直线1在坐标轴上的截距相等时，斜率为一1或经过原点；

直线1在坐标轴上的撤距互为相反数时，斜率为1或经过原点；

e.一般式：Ax+By+C=O(..B不全为0)

注意：①平行于x轴的直线：y=b(b为常数)，直线的斜率为0；

②平行于y轴的直线：x=a(a为常数)，直线的斜率不存在；

③直线在坐标轴上的截距可以为一切实数

1.把直线1的一般式方程2x-y+6=0化成斜截式方程是.

2.直线1:在x轴上的截距是

3.过点P(1,2)且在X轴，Y轴上截距相等的直线方程是

4.线过原点且倾角的正弦值是，则直线方程为

5.直线x+6y+2=0在x轴和y轴上的截距分别是()

A.B.C.I).-2,-3

6.wx+ny=1(0)与两坐标轴围成的三角形面积为.

7.已知，则直线通过()

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限

8设直线的倾斜角为，且，则满足()

、a+b=\Ra-b=1C,a+b=O[Xa-b=0

9已知A(l,2)、B(-1,4)、C(5,2),则△ABC的边AB上的中线所在的直线方程为(〕

(A)x+5y-15=0(B)x=3(C)x-y+l=0(D)y-3=0

10.已知直线过点，

(1)若的倾斜角是直线倾斜角的，求直线的方程；

(2)若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；

(3)若与两坐标轴构成单位面积的三角形，求直线的方程。

11过点作一直线，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为

12经过点并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程

13.一条光线从点P(6,4)射出，与x轴相交于点Q(2,0),经x轴反射，求入射光线和反射光线的方

程。

14.已知A(2,-3),B(-3,-2),直线1过P(1,1)且与线段AB相交，则直线1的斜率k的取值范

制是---------------------------------------------------------------()

(A)k23/4或kW-4(B)-4WkW3/4(0-3/4/kW4(D)以上都不对

4.两条直线的平行与垂直

设直线11：,直线12：.

则①k"120kl=卜外瓦辛/；②4_L4o左水2=-1

注意：利用斜率判断直线的平行或垂直时，要注意斜率的存在与否.

1.如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a.---------------(

A.-3B.-6C.D.

2.直线的位置关系........

(A)平行(B)垂直(C)相交但不垂直(D)不能确定

3.直线1:2x—y+C=0与更线ni:4x-2y+C=0的位置关系是

4.直线x+m2y+6=()与直线(m-2}x+3my+2m=0没有公共点，求实数m的值.

5.直线和直线垂直，求的值.

6.若，又三点A(,0),B(0,),C(1,3)共线，求的值.

7.已知点A(1,2),B(3,4),C(5,6),D(7,8),则直线AB与CD支线的位置关系是()

(A)平行(R)垂直CC)相交但不垂直(D)重合

8.已知点A(7,-4),B(-5,6),求线段AB的垂直平分线的方程。

9.原点0在直线1上的射影为点II(-2,1),则直线1的方程为

10.已知直线与直线3x+4—7=0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24,则直线的方程

为________________

(4,m)关于点N(n..3)的对称点为P(6,-9),则()

Am=-3,n—10Bm=3,n=10Cm=-3,n=5Dm=3,n=5

12.点(1,2)关于直线y=x1的对称点的坐标是

(A)(3,2)(B)(3,2)(C)(3,2)(D)(3,2)

13.与直线1：3x—4y+5=。关于x轴对称的直线的方程为

(A)3.¥+4y-5=0(B)3xJ-4y+5=0(C)-3.v+4y-5=0(D)-3x+4y+5=0

14.与直线2x+3y-6=0关于点(1,7)对称的直线是()

A.3x-2y-6=..B.2x+3y+7=..C.3＞：-2y-12=..D.2x+3y+8=0

5两条直线的交点

1.若直线11:Alx+Bly+Cl=.,与直线12:A2x+B2y+C2=0相交

则交点坐标为方程组的一组解•方程组无解.；方程组有无数解11与12重合

6.过定点的直线系

①斜率为攵旦过定点(xo,y0)的直线系方程为y—yo=A(x—xo)；

②过两条直线11:Alx+Bly+Cl=O,12:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为

(Alx+Bly4-Cl)4-(A2x4-B2y4-C2)=0(为参数)，其中直线12不在直线系中.

1.直线mx-y+2m+l=0经过一定点，则该点的坐标.-------------------()

A52,1)B(2,1)C(1,-2)D(1,2)

2.直线当变动时，所有直线都通过定点()

(A)(0,0)(B)(0,1)(C)(3,1)(D)(2,1)

3.若，则直线必经过一个定点是().

A.B.C.D.

7.平面上两点间的距离

设A(xl,yl),B(x2,y2)是平面直角坐标系中的两点，则

X.%+%

若线段AB的中点为M(x。，y。)，则与—;—,)‘。=

乙2

1.过点M(2,1)的直线与X轴，Y轴分别交于P,Q两点，且IMP|=|MQ|,

则L的方程是()Ax-2y+3=0B2x-y-3=0C2x+y-5=0Dx+2y-4-0

2.已知点4(-5,4)和B(3,2)则过点C(-l,2)且与A,B的距离相等的直线方程为.

3.已知直线和点A(-1,2)、B(0,3),试在上找一点P,使得的值最小，并求出这个最小值。

4.已知点，，点在直线上，求取得最小值时点的坐标。

5.求函数的最小值。

8点到直线的距离

1.点到直线距离公式：点P(x..yO)到直线1:Ax+By+C=O的距离

2.两条平行直.11:Ax+By+Cl=.,12:Ax+By+C2=0间的距离

1.点P(-1,2)到直线8x-6y+15=0的距离为()A2BC1D

2.直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是

3与直线平行，并且距离等于的直线方程是

4.已知直线1方程为y=kx+k+l,则当点P(2,-1)与直线1的距离最远时，直线1的斜率

为

5.若动点到点和直线的距离相等，则点的轨迹方程为()

A.B.C.D.

6.①求平行于直线3x+4yT2=0,且与它的距离是7的直线的方程.......

②求垂直于直线x+3y-5=0,且与点P（-l,0）的距离是3JT5的直线的方程.

5

7.已知直线被两平行直线所截得的线段长为3,且直线这点（1,0）,求直线的方程.

【考点模拟演练】

一、选择题

1.倾斜角为45（,在轴上的截距为的直线方程是（）

A.B.

C.I）.

2.倾斜角为45（,在轴上的载距为的直线方程是（）

A.B.C.D.

3.过原点和在复平面内对应点的直线的倾斜角为（）

A.0B.0C.□D.0

4.已知