高考数学 椭圆及其性质 习题

9.2椭圆及其性质

基础篇

考点一椭圆的定义及标准方程

1.（2023届广州阶段测试,3）记〃：“方程（〃”）占（3-加户1表示椭圆”⑷“函数

/（x）=#++%无极值”，则〃是夕的（）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

2.（2021新高考I,5,5分）已知用，尸2是椭圆C：三十鼻1的两个焦点，点M在C上,则

94

的最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

答案C

3.（2021浙江嘉兴一中开学考）已知P为椭圆1+。=1上一点,若P到一个焦点的距离为

1,则P到另一个焦点的距离为（）

A3B.5C.8DJ2

答案B

4.（2022广东深圳中学月考,6）已知直线/:）=x+l与曲线Cf+[=1相交于4,8两

点,F（0,-l）,则△”产的周长是（）

A.2B.2V2C.4D.4V2

答案D

5.（2023届江苏省包场高级中学检测，13）已知椭圆三+三=1,长轴在,，轴上.若焦距

10-mm-2

为2鱼，则〃?等于.

答案7

6.（2021全国甲，理15,文16,5分）已知Fi,B为椭圆C：q+?=1的两个焦点,P,Q为C

上关于坐标原点对称的两点,且|PQ=|FiB|,则四边形的面积为.

答案8

考点二椭圆的几何性质

22

1.（2022武汉二中月考,5〕已知椭圆＞）2=1（31）和双曲线旨・）2=1（〃?＞0）有相同焦点，则

（）

Aa=〃z+2B.〃z=«+2

C.a2=m2+2D./n2=t/2+2

答案A

2.（2019北京理,4,5分）已知椭圆［+的离心率为;,则（）

A./=2从B.34=46

C.a=2bD3a=4b

答案B

3.（2023届广东佛山顺德教学质量检测一,6）已知四边形ABC。是椭圆C：［+：=l的内

43

接四边形（即四边形的四个顶点均在椭圆上），且四边形48co为矩形，则四边形ABCD

的面积的最大值为（）

A.4V3B.y

C.V3D.4V2+2V6

答案A

4.（2022河北秦皇岛三模,5）已知椭圆十1=1（。》＞。），^（-73,0）为其左焦点,过点

Q£

方且垂直于丫轴的直线与椭圆C的一个交点为A,若tan/人（。为原点），则椭圆C

的长轴长等于（）

A.6B.12C.4V3D.8V3

答案C

5.（多选）（2022河北衡水冀州一中期末，10）已知椭圆C:1+掺1的右焦点为F,

点尸在椭圆C上,点。在圆E:（1+3）2+（），・4）2=4上,且圆E上的所有点均在椭圆c外，若

IPQHPQ的最小值为2V5-6,且椭圆。的长轴长恰与圆£•的直径长相等，则下列说法正确

的是（）

A.椭圆C的焦距为2

B.椭圆C的短轴长为百

C.IPQI+IPFJ的最小值为2遍

D.过点尸的圆E的切线斜率为言亚

«3

答案AD

6.（2021浙江，16,6分）已知椭圆马+£1（〃＞力＞0）,焦点Fi（-c,0）,F式c,0）（c＞0）.若过F^

Q/b乙

的直线和圆（X-夫）2+9=，相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PBLx•轴，则该直线

的斜率是,椭圆的离心率是.

答案等g

7.（2019课标HI理，15,5分）设为椭圆C：［+t=l的两个焦点,M为。上一点且在

36ZO

第一象限.若为等腰三角形,则"的坐标为.

答案（3,V15）

考点三直线与椭圆的位置关系

1.（多选）（2022福建莆田二中模拟，10）已知椭圆+*1（〃*（））,焦点F,（-

Q/匕/

c,0）,F2（C,0）G＞0）,下顶点为8.过点R的直线/与曲线C在第四象限交于点M且与圆

A:Cvi2c）21），2=；»相切，若而耳•瓦瓦=0,贝IJ下歹ij结论正确的是（）

A.椭圆C上不存在点Q,使得QH_LQF2

B.圆A与椭圆C没有公共点

C.当折3时,椭圆的短轴长为2V6

答案AC

2.（多选）（2022山东新泽一模，11）已知椭圆氏＜+），2=1的左，右焦点分别为B,F2,直线

广〃“-夜＜m＜或）与椭圆E交于A,B两点,C,。分别为椭圆的左，右顶点，则下列命题

正确的有（）

A.若直线CA的斜率为ki,BD的斜率为k2,则女必书

B.存在唯一的实数〃?，使得为等腰直角三角形

C.丽•丽的取值范围为（-1,1）

D.△八BE周长的最大值为4V2

答案BD

3.（2022新高考II,16,5分）己知直线I与椭圆1+《=1在第一象限交于A,B两点,/与x

轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|M?|,|MN）=2百,则/的方程为.

答案x+y/2y-2＞/2=0

4.（2023届辽宁六校期初考试,21）已知椭圆C的两个焦点为（-1,0）,（1,0）,点小，|）在

C±,直线/交C于P,Q两点，直线AP,AQ的斜率之和为0.

（1）求椭圆C的方程;

（2）求直线/的斜率.

解析⑴由题意知且焦点在x轴上,故可设椭圆方程为名+冷仇0）,由

A(l,|)在C上可得表+言=1,解得〃=3或从=q(舍去)，

故椭圆C的方程为

43

(2)设宜线AP:y^=k(x-l')MG：y-1=-A：G-i),

[y-l=k(x-1),

联立｛22消去y整理得(3+4S)f-(8M-12k)x+4F-12£3=O,

土+匕=L

I43

4k2-12k-3

设P（Xl,y）,则与+1=8：+；：0

=>xl=3+4/t2-

Vyi-1=/:(xi-l),/.yi=-12k2-12k+9

6+8fc2

则尸（"I-12k-3-12k2-i2k+9

+4k7'6+0/c7

Q(4〃2+I2A-3-12k2+12k+9\

以［代替A,得软3+4H，~~6+8N-)

24k

・・・如尸纥"=蔡1=:,即直线/的斜率为小

KQF诉22

5.（2020天津，18,15分）已知椭圆1+、=1（心比＞0）的一个顶点为A（0,-3）,右焦点为F,

Q/

且|0川=|。凡其中。为原点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点。满足3OC=赤，点8在椭圆上（8异于椭圆的顶点），直线A8与以C为圆

心的圆相切于点P,且尸为线段A8的中点.求直线A8的方程.

解析（1）由已知可得63.记半焦距为c,由|OQ二|。川可得c4=3.又由a2=b2+c2,可得

4=18.所以椭圆的方程为1+1=I.

（2）因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,所以A8d_CP.依题意知,直线AB和直

y=kx-3,

线CP的斜率均存在.设直线M5的方程为尸正3.由方程组*—2消去义可得

匕+豆=1，

（2么+1）«_12左『0,解得x=（）或后标.依题意,可得点B的坐标为（林，嘉）•因为尸

为线段AB的中点，点A的坐标为（0,-3）,所以点P的坐标为（言丁肃J•由3沆=OF,

得点C的坐标为（1,0）,故直线CP的斜率为事即的.乂因为A8LCP,所以

2kz-6k+l

—2k2+-i---1

/22+1=1,整理得2斤-3什1:0,解得七｝或七1.所以直线AB的方程为y=1x-3或产心3.

6(2022山东济宁三模,21)已知椭圆石5十卷=1(4>比>0)的左、右顶点分别为4、比点

产是椭圆E的右焦点，点Q在椭圆石上，且|QF)的最大值为3,椭圆E的离心率为今

(1)求椭圆E的方程；

(2)若过点A的直线与椭圆E交于另一点P(异于点⑶，与直线户2交于点M,NP/书的

平分线与直线m2交于点N,求证:点N是线段8M的中点.

(IQWmax=。+C=3,

解析⑴由已知可得］£=},

a2

l22

IQ2=b+c,

a=2,22

解得b=祗因此椭圆E的方程为9++l.

c=1.

(2)证明：由对称性,不妨设点P在x轴上方.

①当直线尸尸的斜率存在时，因为FN平分/PFB,所以NPFB=2NNFB,

所以tanNP/昨2tan*即公产当

i—tanJNFB'rr1-K磊

设直线AP的方程为产人1+2),其中k>0,

联立图管；消y可得(依七+*12=0,

设点P3,y),则为尸吟言所以X尸需，

则回《+2)品，即点P(需，林)，

12k

所以如=含二吊二冷，

3+4k2

设直线尸N的方程为尸下31),则点N(2,加，把尸2代入尸屋x+2)得尸4匕即M(2,必),

因为即产电，所以鼻=鼻，

1-kNFl-4kzl-mz

整理可得(2k-m)(2kni+1)=0,

因为km>0,所以m=2k,所以"=£=；,

所以点N为线段8M的中点.

②当直线依的斜率不存在时,不妨设点P(l,|),

则直线AP的方程为产?x+2),所以点M(2,2),

又因为直线硒的方程为)=41,所以点N(2,1),

所以点N为线段BM的中点.

综上可知，点N为线段的中点.

考法一求椭圆的标准方程

1.（2022江苏苏州中学月考,7）已知椭圆。:5+《=1（心/»0）的左、右焦点分别为

离心率为当过Fi的直线I交C于A,B两点,若△■“山的周长为4®则椭圆C的方程

为（）

A-TO2=1+9

%2y2v2y2

yD.石

答案B

2.（2022全国甲文，11,5分）已知椭圆。:马+白1（G>/»0）的离心率为;,4,A?分别为C

的左、右顶点,A为C的上顶点.若西•砒=1,则C的方程为（）

A^+生=1B.亡+工=1

181698

C.?+?=lDA/=1

答案B

3.（2019课标I文,12,5分）已知椭圆3的焦点为尸（1,0）,尸2分，0）,过户2的直线与。交

于A,8两点.若HBI=2|BB|,HB|=|8Q|,则C的方程为（）

A.—+y2-1B.—+

2z32

C.-4-=1D.土+匕=1

4354

答案B

4.（2022河北保定部分学校期中，16）已知椭圆。的中心为坐标原点，焦点在），轴

上,凡，B为C的两个焦点,C的短轴长为4,且C上存在一点P,使得|PR|二6|PB|,写出C

的一个标准方程:.

答案?+?=1（答案不唯一）

5.（2020课标II理，19,12分）已知椭圆Ci+小（》加>0）的右焦点〃与抛物线C2的

焦点重合,Ci的中心与Ci的顶点重合.过广且与x轴垂直的直线交G于A,B两点,交Ci

于C。两点，且|CD|4|AB|.

（1）求G的离心率；

⑵设M是G与Ci的公共点.若|MF|=5,求G与C2的标准方程.

解析（1）由己知可设G的方程为丁=43其中c=Vo匚".不妨设A,C在第一象限，由

题设得A,B的纵坐标分别为纥2;C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故|4引二宜,|CQ|=4c.由

aaa

|。）|二引用得4c=%即3x：=2-2Q）\解得：=-2（舍去）或;=今所以C,的离心率为今

（2）由（1）知a=2c,b=y/3c,故G:巳+77=1.

4CZ3一

设MGo,yo）»则含+患■=1，y很=4cxo,故含+靠=1.①

由于。2的准线为x=-c,所以|MF|=xo+c,而|MA]=5,故xo=5-c,代入①得+*；：，）=1,即

?-2c-3=0,解得c=-l（舍去）或c=3.所以G的标准方程为1+1=1,C2的标准方程为

36L1

户⑵.

6.（2019天津理，19,14分）设椭圆*4-3=1（e比＞0）的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为

B.一知百|OA|=2Q8|（O为原点）.

（1）求椭圆的离心率；

⑵设经过点产且斜率为;的直线/与椭圆在工轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直

线/相切，圆心。在直线尸4上,且OC〃AP.求椭圆的方程.

解析（1）设椭圆的半焦苑为c,,・・同。4|二2|08|,

2

V5a=2〃.又由a2=b2+（Ty消去b得«2=（Y。）+犬解得:=”椭圆的离心率为去

（2）由⑴知,a=2ctb=V3ct故椭圆方程为三十t=1.由题意知,尸（・c,0）,则直线/的方程

4一3C，

为冶（x+c）.

（工+g=1

点P的坐标满足14c23c2'消去）,并化简，得到7V+65-13CM）,解得X产c,X2二学.

=-（X4-C）,'

代入/的方程，解得y=|c,y2=~c.

因为点P在x轴上方,所以P（c,|c）.

由圆心C在直线广4匕可设。（4.t）.

3

因为OC〃AP,且由（1）知A（-2c,0）,故!=与

4C+2C

解得仁2.则。（4,2）.

因为圆C与x轴相切,所以圆的半径长为2,

又由圆。与/相切,得卑铝=2,可得c=2.

同

所以椭圆的方程为为+《=1.

1612

考法二求椭圆的离心率（或范围）

1.（2023届福建部分名校联考,4）椭圆C:g+『1（心百）的左、右焦点分别为人，尸2,经

过点居的直线与椭圆C相交于A8两点，若的周长为16,则椭圆C的离心率为

（）

A巫B.叵C.iD.在

4424

答案A

2.（2023届南京学情调研,6）已知椭圆［+^=l（a泌>0）的左、右焦点分别K、B,左顶

点为A,上顶点为B,点、P为椭圆上一点，且PF?上FR,若AB〃PR,则椭圆的离心率为

（）

A.在B.iC.立D.立

5232

答案A

3.（2023届南京雨花台中学调研,7）直线x-y+l=0经过椭圆5+Q（eb>0）的左焦点F,

交椭圆于A、8两点，交y轴于C点，若定=2和则该椭圆的离心率是（）

.V10-V2D

A・------D.----

22

C.2V2-2D.V2-1

答案A

4.（2022全国甲理，10,5分）椭圆C:5+，=1»>0）的左顶点为4,点P,Q均在。上，

且关于），轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为右则。的离心率为（）

A停B.fC.1D.；

答案A

5.（2023届长沙雅礼中学,口考,7）已知椭圆C《+*l（。*0）的左、右焦点分别为

为，B,P为椭圆上一点，且若H关于NQPA的平分线的对称点在椭圆C上,

«5

则该椭圆的离心率为（）

A—B.—C.-D.-

2323

答案B

6.（2022湖南岳阳一中开学考,8）己知椭圆M的左,右焦点分别为Fi,乃,若椭圆M与坐

标轴分别交于A,B,C,D四点,且从Q,人B,C,。这六点中，可以找到三点构成一个

直角三角形，则椭圆M的离心率的可能取值为（）

A.正二C.它D,1

2232

答案A

7.（2023届贵阳一中月考二，11）已知Q,B分别为椭圆后：[+[=1的左、右焦

Q/y

点,E上存在两点A,丛使得梯形AF.FiB的高为c（其中c为半焦距），且彳耳=3瓯,则

E的离心率为（）

A.更B.在C.叵D」

3323

答案A

8.（2023届贵阳一中月考一，11）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，

为宣传和推广这一传统工艺,某市文化宫开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开

后撰放在户外展览场地上如图所示,该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距

离为2,当阳光与地面夹角为60对,在地面形成了一个椭圆形影子,且伞柄底端正好位

于该椭圆的长轴上,若该椭圆的离心率为e,则-（）

A.-B.V3V3-5

3

C.V3-2V2D.V7-2V3

答案B

9.（2022山东滨州二模,8）已知椭圆G和双曲线C2有相同的左，右焦点尸2,若ChC2

在第一象限内的交点为P,且满足设的,色分别是G,C2的离心率，则

61,心的关系是（）

A.d62=2B.ef+62=2

C.ef+ele2+或=2D.e:+y=

答案D

10.（2021全国乙理，II,5分）设8是桶圆。:1+4:1（心/»0）的上顶点,若。上的任意

一点P都满足|P8|S24则C的离心率的取值范围是)

A停1)B•用)

c（。当

答案C

11.（2021福建莆田三模,5）明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图1所示,清朝的一个青花山水

楼阁纹饰椭圆盘如图2所示,北宋的一个汝窑椭圆盘如图3所示,这三个椭圆盘的外轮

廓均为椭圆.已知图1、2、3中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为骨黄、学设图1、

2、3中椭圆的离心率分别为约、£2<?3,则()

图1

Ae>C3>G2B.e2>ey>e\

(2.61>22>63V>.e2>e\>ey

答案A

12.（2022江苏盐城三模,7）已知点P为椭圆+\=1（0<〃<1）的上顶点，点A,B在椭圆

上,满足PALPB^.\PA\=\PB\f若满足条件的△PA8有且只有一个,则C的离心率的取值

范围为（)

A.（0,号）B.（。事

喈”）D.

答案B

13.（多选）（2022山东济宁二模,11）设椭圆C5+苏（9>。）的左、右焦点分别为R、

上、下顶点分别为4、4,点P是C上异于4、4的一点，则下列结论正确的是

)

A.若C的离心率为"则直线P4与必2的斜率之积为g

/«5

B.若PFJPF2,则△PBA的面积为b2

C.若C上存在四个点P,使得所J_*贝U。的离心率的范围是（0,号）

D.若|PF归2力恒成立,则C的离心率的范围是（0,才

答案BD

14.（2023届湖北沙市中学月考，15）已知点A为椭圆5（心。＞0）的左顶点，O为坐

标原点,过椭圆的右焦点/作垂直于x轴的直线/,若直线/上存在点P满足NAPO=30。,

则椭圆离心率的最大值是.

答案!

考法三直线与椭圆的位置关系问题

1.（2021江苏盐城伍佑中学期末,8）已知为椭圆?+3=1的左、右焦点,P是椭圆

上一点，若SAFIPFZ=4,则/尸iP22等于（）

A.30。B.45°C.60°D.90°

答案D

2.（2022郑州检测，11）斜率为1的直线/与椭圆》俨=1相交于48两点，则|A8|的最大

值为（）

答案D

3.（多选）（2022山东临沂三模,12）2022年4月1609时56分，神舟十三号返回舱成功

着陆,返回舱是宇航员返回地球的座舱,返回舱的轴截面可近似看作由半圆和半椭圆组

成的“曲圆”，如图,在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭

圆的焦点F（0,2）,椭圆的短轴与半圆的直径重合，卜半圆与,，轴交于点G若过原点O的

直线与上半椭圆交于点4与下半圆交于点8,则（）

y

A.椭圆的长轴长为4或

B.线段AB长度的取值范围是[4,2+2V2]

CAA8F面积的最小值是4

D.ZkAbG的周长为4+4近

答案ABD

4.(2023届广西柳州摸底，⑸已知A(3,1),8(-3,0),P是椭圆三十：=1上的一点，则

167

|PA|+|P用的最大值为.

答案9

5.(2022新高考I,16,5分)已知椭圆。吗+》仿物6工的上顶点为人两个焦点为

FbF2,离心率为去过R且垂直于AB的直线与C交于D,E两点,|。£|=6,贝必人。七的周

长是.

答案13

6.(2023届重庆一中月考,21)已知椭圆+*1(公力>0)经过点(6,3,其右焦点为

F(V3,0).

(1)求椭圆。的离心率；

⑵若点P,Q在椭圆C匕右顶点为4日满足直线AP与AQ的斜率之积为看求“PQ

面积的最大值.

。=8，ta=2,

4+4r=解得b=l,

a24匕2/广

(Q2=82+c2,IC=V3,

所以椭圆。的方程为?+y2=l,离心率e#.

⑵易知直线AP与AQ的斜率同号,所以直线PQ不垂直于x轴，

故可设PQ:y=/oc+m,原0,F(孙yi),。(m,yi),

rx22_i

由1丁+y=L可得，(1+4⑶f+8m4+4/-4=0,

iy=kx+m

所以M+'2=翟£，即中点416(4&1即2)>0,由0k二点,即六.含

可得20(kx\+in)(te+w)=可-2)&-2),

20炉xiX2+20k〃“xi+x2)+20〃，=XIX2-2(K+X2)+4,

20炉•卷+20km•部+20m2=普?一2•趣+4,化简得6占，出川=0,所以

l+4/c21+4/«21+4/c2l+4k2

m=-2k或m=3k,

所以直线PQ:广左(x-2)或产Mx+3),因为直线P。不经过点A,所以直线PQ经过定点(・

3,0).

设定点8(-3,0),5".应.小”也层\AB\\yl-y2\=|因此刈

=|IklJOi+&)2-4工逐2

5.../-8km\2.4m2-4

-4x即

_5\k\.,16(4^2+.*_10«1-5比2求2

-21+4/c2-1+4/c2

因为1-5为＞0,所以0＜斤＜/设r=4^+l,/G(l,1),

所以S“PQ=IJ苦卢=1/9C-丁+]4*当且仅当与即公三时取等号,即

△APQ面积的最大值为点

7.(2020课标IH理,20,12分)已