导数综合加深讲义

导数综合讲义

一.含参讨论

I.(单调含参)(2023•新课标全国卷H)假设函数/(x)="Tnx在区间(1,+8)单调递增,那么攵的取

值范围是()

A.(-co,-2]B.(-co,-I]C.[2,+s)D.[I,+oo)

2.(极值、单调含参)函数/(x)=x-l+J(〃wR,e为自然对数的底数)，

e

⑴假设曲线尸儿0在点(1，川))处的切线平行于x轴，求〃的值：

(2)求函数人》)的极值.

⑶求函数g(x)的单调区间

\-x11

3.(最值含参)(2023・洛阳统考)函数/。)=——+&lnx,k<-,求函数人x)在[-,e]上的最大值和最

xee

小值.

二.二次求导

1J(x)=fTinx+2,求f(x)的单调区间

2.(2023・武汉武昌区联考)函数/•。)=电芋伏为常数，。是自然对数的底数)，曲线

e

y=/&)在点(1,41))处的切线与*轴平行.

(1)求女的值：

(2)求/(此的单调区间.

3.(2023・皖南八校联考)函数/(x)=Alnx+f?vc(x£R)的图象在点(1,贯1))处的切线的斜率为2.

(1)求实数机的值；

⑵设g(x)="x)-L讨论g(x)的单调性；

.r-1

4.函数J(x)=e\AGR.

(1)求凡r)的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程；

(2)证明：曲线y=K0与曲线yn++x+l有唯一公共点.

三.别离变量

1.(2023・沈阳质检)函数f(x)=Inx,^(x)=^ax+b.

(1)假设人工)与g(x)在x=l处相切，求g(x)的表达式；

(2)暇设以幻=丝三-/。)在[1,+8)上是减函数，求实数加的取值范围.

x+1

2./(x)=xlnx,fi(x)=-x2+at-3,对一切x>(),2/(x)Ng(x)恒成立，求实数a的取值范围；

/??

3.(2023・陕西高考)设函数/(X)=hiKeR

x

(1)当片e(e为自然对数的底数)时,求凡r)的极小值;

(2)讨论函数g(x)=J'(x)一]零点的个数；

4.(2023・洛阳统考)函数fM=ex+ax2-e2x.

(1)假设曲线y=/(x)在点(2,12))处的切线平行于x轴，求函数凡r)的单调区间：

(2)假设Q0时，总有/(外>一/X，求实数〃的取值范围.

四.恒成立

1.在R上定义运算③：大位)，=工(1一)，).假设不等式"—。)<8)(1+。)<1对任意实数”成立，那

么()

A.-\<a<]B.0<a<2

―1331

C.——<a<—D.——<a<—

2222

2.对任意。€[-1,1],函数/(x)=/+(a-4)x+4-2a的值恒大于零，那么”的取值范围为

3.不等式-!_+-!-++f>《log“W-l)+g对于一切大于1的自然数〃都成立，试求实数〃的取

«+1〃+2

值范围.

4.设函数/。)=；工2+夕一工/

(1)求/*)的单调区间；

(2)假设当工£[-2,2]时，不等式凡r)>川恒成立，求实数，〃的取值范围.

五.双函数的“任意+存在"，"任意+任意"，"存在+存在”

1.(2023・新乡调研)函数/(x)=x-(6+l)lnx--(aeR),(g(x)=-x24-ex-xex

x2

(1)当x£[l,e]时,求7U)的最小值：

(2)当a<l时，假设存在刖W[e,e2],使得对任意的由£[-2,0],贝斯)％8)恒成立,

求”的取值范围.

2

2.函数/(x)=2x——51nx,g(x)=x2-/m+4,假设存在内w(0,l),对任意当eU，2］，总有

x

8(毛)成立，求实数〃?的取值范围

3.设/(x)=g+xlnx,^(x)=x3-x2-3.

x

(1)如果存在％,々□。，2]，使得g($)-成立，求满足上述条件的最大整数M：

(2)如果对任意的s/e[g,2],都有/(s)Ng“)成立，求实数。的取值范围

六、超越函数

1(二次求导，超越函数).(2023・山西四校联考)f(x)=\nx-x+a+\

(1)假设存在工£(0，+s)使得人r)K)成立，求。的取值范围:

(2)求证：当时，在(1)的条件下，"!"x2+ax-a>xlnx+」成立.

22

2.函数兀r)=ln2(l+x).」」.

1+x

⑴求函数/(工)的单调区间；

⑵假设不等式(l+3*“We对任意的〃wN*都成立(其中e是自然对■数的底数).

求a的最大值.

3.(2023年全国II卷理科21题)设函数/(X)=e,nx+x2-i?ix.

(1)证明：/(不)在(-8,0)单调递减，在(0,+8)单调递增；

⑵假设对于任意内,毛£［一1，小都用八耳)一/(工2)区6-1,求〃?的取值范围.

4.(2023年全国H卷理科21题)函数〃力=Q一/一2七

⑴讨论了("的单调性；

(2)设g(x)=/(2x)-砌*(力,当x>0时，g(x)>0,求匕的最大值;

(3)1.4142<72<1.4143,估计ln2的近似值(精确到0.001)

5.(2023年全国卷II)函数f(x)=ex-\n(x+m)

(1)设x=0是/(x)的极值点，求也并讨论了(x)的单调性；

(2)当〃?42时，证明/(幻>()

参考答案：

—.含参讨论

1.D

2..(\)a=e

⑵当a<0时，函数4%)无极值；

当a>0时，儿丫)在x=In”处取得极小值ln〃，无极大值

(3)当。<()时，函数g(x)的单调递增区间为(1,48),单调递减区间为(0,1)

当■时，函数g。)的单调递增区间为(1,工一1),

2a

单调递减区间为(0,l),(--l,+oo)

a

当a时，函数g(x)的五单调递增区间，单调递减区间为(0,欣)

当_Lv〃V1时，函数g(X)的单调递增区间为(i-1,1),

2a

单调递减区间为(0,工-1),(1,+8)

a

当时,函数g(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,卡切

3.当欠=0时，.•./⑶*==J㈤皿=e-L

e

当攵工0且女<■!•时，..・/(X)min=J+Z_l，/(X)ma，=e_&_l

ee

二.二次求导

lJ(x)在(0,+8)上单调递增，无单调递减区间

2.(1))1=1(2)贯x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+oo)

3.(1)〃?=1(2)8。)在区间(01)和(1,+动上都是单调递增的

4.(l)y=x-l(2)略

三.别离变量

l.(l)g(x)=x-l(2)的取值范围是(一8,2]

2.”的取值范围是(一8,4]

3.(1).火幻的极小值为2

⑵当心孤，函数娘)无零点；

当，或〃W0时，函数g(x)有I■[只有一个零点；当0V"?4时，函数g(x)有两个零点

4.(1加2的单调增区间是(2,+oo),单调减区间是(一8,2)

2

(2)4的取值范围为(—£■,”)

4

四.恒成立

1.C

2.(1)/(幻的单调减区间为(一8,4-00),无单调递增区间

(2)的取值范围是(-8,