高考数学高考导数不等式证明技能

专题：导数中常用不等式

1.指数不等式

x~『x"

"的泰勒公式：er=l+.r+—+—+—+/?

2!3!n\n

2

(1)ex>x+\=>e'~l>xCex>ex')=>>e—=>e*2—x~Cx20)

24

(2)反向不等式：e：2—x+1=><—G<1)

\-x

x23

(3)ex>\+x+—(x>0)

2

(4)弱化不等式：ex>x\ex>x2(取点)

(5)同向相加理论：ex-e-x>2x(x>0)

2.对数不等式

+,

ln(l+x)的泰勒公式：lni；l+x)=x-y+y-^...+(-ir^+/?,1

\nx-(x1)("-I》+(xf(XTY+(4一1)"R

、/234n

2

(1)X>ln(A：4-l)>X-y

(2)x-1>Inx>1--

x

(3)—x>Inr

(4)弱化不等式：x>Inx(取点)

3.指对混合不等式

(1)ex-\nx>2

(2)加强不等式：e"—Inx>2.3

(3)et-1>lnx+l

1

(4)xex>^4-liix4-l

(5)ex1>x2-xlnx

4.三角不等式

3521

三角的泰勒公式:sinx=x--+---...+(T尸厂——-+R

3!5!(2〃一»

234

.xx/,八〃-1一口

COSX=1-----1-------...4-(-1)■;--r+R

2!4!6!(2〃»〃

X

(1)x>sinx>x——(x>0)

6

(2)1>cosx>I--

2

(3)tanx>x>sinx(0<x<——)

2

/、sinx」,、八、

(4)<-A：U>0)

2+cosx3

5.对（指）数均值不等式

1If!一111"2,

对数均值不等式：—f=>--------->-----("2>0,〃>0f,加工〃)

ylrn/jni-n〃？+〃

m.nmnm+n

指数均值不等式：-—<亍(〃zw〃)

2m-n

(1)xe(0,l)时、-——>Inx>Vx--U>—(x--)

X+lyJX2X

(2)X£(l,+8)时,

x+14x2X

/<2(()<X<2)

(3)(x-2)ex+x+2>0=

2-x

(4)ex-ex>2x(x>0)

2

不等式证明

2e

1.€X—X~X~---->0,XG(0,4~OO).11.exInxH-----------1>0

x

x2、「1325c

2.e>x,xe(0,+oo)12.x-lnx+r+-------T——>0

x2xx32

11+lnx2/」

3.xex-Inx-1.3>0----------------->,JTG(1,+co)

e+1x(x+l)(xeA+1)

，一1

4.----------xlnx-l>()14.ev\nx-x2+1>0

X

/--------Qr

5.x2ex-Inx-1>015.ln(A+l)+Vx+1-1<-------,X£(0,2)

x+6

6.^-lnx>2.316.A-lnx<^A+sinji-l

7.ex+ln(A*+1)-2.x-1>017.ex+(lnx-l)sinx>0

8.一1)ln(x+1)—>018.x2e'>(x+2)Inx+2sinx

9.(2—x)e'—(2+K)e'—2,x<019.xe2x-Inx-2x——>0

Vx+l

31

10.lnx+—------>0,XG(0,+oo)20.(2+cosx)(i?r-1)>3sin[0,+co)

4x~ex

3

不等式证明（2011-2020真题）

x

1.（2019天津理）e'cosx+e（cosx-sinx）（--x）>0,xG—

2.（2018全国卷I）^'-lnx-l>0

£4-X—1

3.（2018全国卷in）-——:——+e>0

e'

4.（2018全国卷II）f（x）=ex-x2>1

5.（2016年山东）^-ln^+-+———-——>0,Jte[1,2]

AXX2

6.（2016年全国II）（x-2）e'+x+2>（）,XG（0,+co）

x—1

7.（2016年全国III卷）1<---<X,XW（l,+8）

Inx

8.（2014新课标I）e"lnx+-->I

x

9.（2013新课标H）当m92时,e'—ln（x+⑼>0

10.（2012山东）（1-x-xlnx）<l+e-2,X€（0,+00）

4

_____9T

II.(2012辽宁)ln(x+l)+7x+l-1<——,XG(0,2)

x+6

12.(201