北师大版数学拓展模块一年级上册册教案：第38课 平面向量的内积

教案第四单元4.4.1

《平面向量的内积》

授课题目平面向量的内积

授课课时2课型讲授

知识与技能：能从做功的角度说出平面向量内积的意义；能与出平面向

量内积的公式；

教学

过程与方法：从功的意义去理解向量的内积；能利用向量内积的公式解

目

标

决一些简单问题；

情感态度：在探究数学问题中感受获得知识的成就感；感受数学思维的

逻辑性，严谨性，规范性。

重点：平面向量内积的计算公式；

教学

难点：已知向量的内积和模，求解两向量的夹角；一些特殊向量的内

重难点

积：如a_Lb=a•b=0：a■a=\a\2

第1课时

教学活动学生活动设计思路

一、创设情境从生活中

的问题出

2018年世界室内拔河锦标赛，中国队勇发，结合

夺两枚金牌，若我国选手的拉力为F,使得对思考与回答物理知

识，理解

手沿着绳子的水平方向发生了位移s,选手向量内积

们的手臂用力的方向与绳子的水平方向夹角的意义。

分析探究

教学过程为仇你能不能计算我国选手的拉力F对对手

所做的功？

理解记忆

分归功是一个数量，由拉力(F)和位移

(s)两个向量来确定.如图1所示，把拉力F

分解为水平方向的分力H和垂直于地面向上

方向的分力F2,对手的位移s的方向与3的

方向一致，因此拉力F对对手做的功实际上

就是水平方向的分力玛对对手做的功，即

W=|月|・|s|,由图1易得：Fl=|F|cos。,所

以W=|F/・|s|=\F\\s\cosO

FFiF

N3

A对手A尸手A

图1

一个人提着一桶装满水的水桶在水平的

地面上行走100米，请问这个人对水桶做了思考

多少功？

由物理中

答：人对水桶不做功。回答的“功”

二、知识概述过度到数

学中的向

如图2,设有两个非零向量a和b,作刃=提问量内积，

需循序渐

aOB="则乙4OB=8（0。<0<180。）叫作进的指

学生

f导

分析，

受

难

以

向量。与b的夹角，记作。=va,b>接

采

时

可

，

合

用

分

组

相

作

互

，

方

提

问

的

理

式

加

深

解

。

图2

显然，当6=0。时，a和b同方向；当6=

180。时，a与b反方向;当。=90°,a与b垂

直，记作a1b.

一般地，两个非零向量a,b的模与它们的夹

角的余弦值之积叫作向量a与向量b的内积

（或数量积），记作Q•瓦即

ab=\a\\b\cos<a,b>

两个向量的内积是一个实数。该实数的大小

与两个向量的模及其夹角的余弦值有关.

如图3,过点B向a所在的直线作垂线，

垂足为点Bi,由三角函数的定义可知，

0B1=\b\cosO

我们把|b|cos。称为向量b在向量a方1可上的

投影。

思考

„zi数学的内

积比较抽

分析象，需给

足消化的

aB\A

时间，学

图3解答习后同步

答疑，可

进一步加

因此，a的几何意义；向量a的模|a|与向量提问深理解和

b在向量。上的投影|b\cos0的乘积。记忆。

特别的，a-0=0,Oa=0

三、知识巩固和应用

回答:一般地，已知两个非零向量a与。，它

们的夹角为。，且_________，我们把数

量|a||b|cos。叫作Q与b的____________,记

作_________.

例1已知|a|=3,闻=2,<a,b>=

60。,求a-b

解：a'b=\a\\b\cos<a,b>=3x2x

思考:两个非零向量a与b的夹角<a,b>在

什么范围内取值时，其内积a,b的结果分别

是正数、负数或零。

第2课时

教学活动学生活动设计思路

一、知识点回顾

一般地，两个非零向量a,b的模与它们的

夹角的余弦值之积叫作向量a与向量b的内

积（或数量积），记作a•瓦即

ab=\a\\b\cos<a,b>

两个向量的内积是♦个实数。

二、习题讲练思考

]

习题1己知|a|=向=&，a-b=—y/2,

回答

求va,b>

教学过程解因为a-b=\a\\b\cos<a,b>

通过练习

求解

得cos<a,b>==巩固知识

J点，并加

_V2以运用，提

计算

2升思维能

由于0°<<a,b><180°力。

所以，Va,b>=135°提出问题

提示：求解反三角比时，需要考虑夹角在规

定范围内。解决问题

习题2已知|a|=2,|。|=3,<a,b>=

120°,求(2Q十

解：由a•b=|a||b|cos<a,b>

=2x3xcosl20°=—3

得(2a+b)•b=2a•b+\b\2

=2x(-3)+32

=-6+9

=3

提问1：为什么b・b二|b『