初三数学知识点总结加经典例题讲解1

初三数学上册期末总复习（经典例题）

目录

第一章、图形与证明（二）......................................................2

（一）、知识框架............................................................2

（二）知识详解...............................................................2

（三）典型例题.............................................................4

第二章、数据的离散程度........................................................7

（一）知识点复习...........................................................7

（二）经典例题.............................................................8

第三章、二次根式..............................................................11

（一）、知识框架...........................................................11

（二）、典型例题...........................................................12

第四章、一元二次方程..........................................................13

（一）知识框架............................................................13

（二）、知识详解...........................................................14

（三”典型例题...........................................................15

第五章、中心对称图形二（圆的有关知识）.......................................16

（一）、知识框架...........................................................16

（二）知识点详解..........................................................17

（三）、典型例题...........................................................22

第一章、图形与证明（二）

（一）、知识框架

/等腰三角形的性质和判定

等边三角形的性质和判定

I等腱二角形《

.守收一用线段的垂直平分线的性质和判定

〔先的平分线的性质和判定

注意：若等边三角形的边长为。，则：其高为：，面积为：O

2.直角三角形全等的判定：HL

「平行四边形的性质和判定；4个判定定理

、一、I矩形的性质和判定

3.平行四边形［菱形的性质和判定：3个判定定理

、正方形的性质和判定：2个判定定理

.注愈：（1）中点E5边形

①顺次连接隹意用边爱各边中点，所得的新四边形是:

②顺次连接?t角线加笔的四边形各边中点，所得的新四边形是；

③顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的新四边形是：

④顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点,所得的新四边形是

（2）芟形的面积公式：S=-ab（a,b是两条对角线的长）

2

4.等腰梯形的性质和判定

注意：（1）解决梯形问题的基本思路:通过分割和拼撩转化成三角形和平行四边形进行解决。

即需要掌握常作的辅助线。

（2）梯形的面积公式：S=^（g+b）h=lh（/一中位线长）

「三角形的中位线

5.中位线'

I梯形的中位线

（二）知识详解

2.1.等腰三角形的判定、性质及推论

性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）

判定：有两个角相等的二角形是等腰二角形（等角对等边）

推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即

“三线合一”）

2.2.等边三角形的性质及判定定理

性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于6（）度；等边三角形的三条边都

满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。

判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等

边三角形。

2.3、线段的垂直平分线

（1）线段垂直平分线的性质及判定

性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

判定：到一-条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

（2）三角形三边的垂直平分线的性质

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线

分别以线段的两个端点A.B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；

作直线MN,则直线MN就是线段AB的垂直平分线。

2.4、角平分线

（1）角平分线的性质及判定定理

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；

判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

（2）三角形三条角平分线的性质定理

性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

（3）如何用尺规作图法作出角平分线

2.5.直角三角形

（1）勾股定理及其逆定理

定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

（2）直角三角形全等的判定定理

定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）

2.6.几种特殊四边形的性质

边角对角线

平行四边形对边平行且相等对角相等对角线互相平分

矩形对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等

菱形对边平行，四条边对角相等对角线互相垂直平分，每一条对角

都相等线平分一组对角

正方形对边平行，四条边四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等，每一

都相等条对角线平分一组对角

等腰梯形两条底边平行，两同一底上的两个对角线相等

腰相等角相等

2.7.几种特殊四边形的判定方法

平行四边形（1）两组对边分别平行（2）两组对边分别相等（3）一组对边平行且相

等（4）两条对角线互相平分（5）两组对角分别相等

矩形（1）有三个角是直角（2）是平行四边形，并且有一个角是直角（3）是

平行四边形，并且两条对角线相等

菱形（1）四条边都相等（2）是平行四边形，并且有一组邻边相等（3）是平

行四边形，并且两条对角线互相垂直

正方形（1）是矩形，并且有组邻边相等（2）是菱形，并且有•个角是直角

等腰梯形（1）是梯形，并且两条腰相等（2）是梯形，并且同一底上的两个角相等

（3）是梯形，并且对角线相等

2.8、三角形的中位线：

⑴连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

区别三角形的中位线与三角形的中线。

⑵三角形中位线的性质

三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.

2.9、梯形的中位线：

⑴连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

注意：中位线是两腰中点的连线，而不是两底中点的连线。

⑵梯形中位线的性质

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

（三）典型例题

例题1.下列命题正确的个数是

①如果一个三角形有两个内角相等，则此三角形是轴对称图形；②等腰钝角三角形是轴对

称图形；③有一个角是30°角的直角三角形时轴对称图形；④有一个内角是30°,一个

内角为120。的三角形是轴对称图形

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案：C

解析•：①两个内角相等，根据“等角对等边“知此三角形是等腰三角形，④根据三角形的内角和为

180°,判断出此三角形是等腰三角形，所以①②④都是等腰三角形，是轴对称图形，故①②④正确，

故选C。

例题2、下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是

A.两边之和大于第三边B、有一个角平分线垂直于这个角的对边

C.有两个锐角的和等于90°D.内角和等于180°

答案：B

解析：A.D是任何二角形都必须满足的，C项直角二角形的两个锐角的和等于90°,等腰二角形不一定

具有，B项等腰三角形的顶角平分线垂直于底边，直角三角形不具有这个性质，故选B。

例题3、等腰三角形的腰长为5,底边长为8,则等腰三角形的面积为。

答案：12

解析：根据等腰三角形的性质，底边上的高垂直平分底边，所以由勾股定理得到底边的高为，

所以等腰三角形的面积为，故填12。

例题4、在DABCD中，点E为AD的中点，连接BE,交AC于点F,贝JAF:CF=（）

A.1：2B.1：3C.2：3D.2：5

【答案】A

例题5.SDABCD中，NBAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.

（1）在图1中证明；

（2）若,G是EF的中点（如图2）,直接写出NBDG的度数；

（3）若,FG〃CE,,分别连结DB.DG（如图3）,求NBDG的度数.

【答案】（1）证明：如图1.

：AF平分/BAD,

NBAF=NDAF

•・•四边形ABCD是平行四边形，

・・・AD〃BC,AB〃CD.

AZDAF=ZCEF,ZBAF=ZF.

ZCEF=ZF.

CE=CF

(2)NBOG=45。

(3)解:分别连结GB.GE、GC(如图3)

•・・AB〃DC,ZABC=120°

・•・ZECF=ZABC=\20°

•；FG〃CE且FG=CE.

・•・四边形CEGF是平行匹边形.

由(I)得CE=CF,

平行四边形CEGF是菱形.

.\EG=EC,ZGCF=ZGCE=ZECF=60°

・•・△ECG是等边三角形

・・・EG=CG①

7GEC=7EGC=60°

AZGEC=ZGCEAZBEG=ZDCG.②

由AD/7BC及AF平分NBAD可得NBAE=NAEB.

，AB=BE.

在平行四边形ABCD中,ABtDC.

ABE=DC.(3)

由①②③得△BEG9△DCG.

ABG=DG.Z1=Z2.AZBGD=Z1+Z3=Z2+Z3=ZEGC=60"

AZBDG==60°.

例题6.如图，D>AABC内一点，BD±CD,AD=6,BD=4,CD=3,E、F、G、H分别是

AB.AC.CD.BD的中点，则四边形EFGH的周长是（)

A.7B.9C.10D.11

【答案】D

例题7、己知：如图，在梯形ABCD中,AD〃BC,AB二DC,E、F、M、N分别是AD.BC.BD.AC

的中点。试说明：EF与MN互相垂直平分。

(学生自己思考)

第二章、数据的离散程度

(一)知识点复习

1.极差：

一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差。计算公式：极差二最大值■最小值。

极差是刻画数据离散程度的一个统计量，可以反映一组数据的变化范围。一般说，极差越

小，则说明数据的波动幅度越小。

2.方差

各个数据与平均数的差的平均数叫做这组数据的方差，记作S2o

巧用方差公式：

1.基本公式:S2=[(XI-)2+(X2-)2+……+(Xn-)2]

2.简化公式：S2=[(X12+X22+……+Xn2)-n2]

也可写成：S2=(X12+X22+.......+Xn2)-2

3、简化②:S2=[(X'12+X'22+...+X'n2)-n2]

也可写成:S2=-(X\2+X922+……+X，n2)-X2

n

3.标准差：

方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，记作So

意义：

i.极差、方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征，常用来比较两组数据的波

动大小，我们通常研究的是这组数据的个数相等、平均数相等或比较接近的情况。

2.方差较大的波动较大，方差较小的波动较小。

3、方差大，标准差就大，方差小，标准差就小。因此标准差同样反映数据的波动大小。

注意:对两组数据来说,极差大的那一组不一定方差大,反过来,方差大的极差也不一定

大。

(二)经典例题

例题L“恒盛”超市购进一批大米，大米的标准包装为每袋30kg,售货员任选6袋

进行了称重检验，超过标准重量的记作“"不足标准重量的记作“”，他

记录的结果是，，，，，，那么这6袋大米重量的平均数和极差分

别是

A.0,1.5B.29.5,1C.30,1.5D.30.5,0

【答案】C

例题2.甲、乙两同学参加跳远训练，在相同条件下各跳了6次，统计两人的成绩得；平均

数*甲=*乙，方差S2甲VS2乙，则成绩较稳定的是(填甲或乙).

•例

题

3

•第•第•第•第

、•第一

二三四五六

省次

次次次次次

射

击

队

为

从

甲

、

乙

两

名

运

动

员

中

选

拔

人

参

加

全

国

比

赛

对

他

们

进

行

T

六

次

测

试

测

试

成

绩

如

下

表

(

单

位

*

环

)

・

•甲・10・8•9•8•10•9

•乙•10•7•10•10•9•8

(1)根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是▲环，乙的平均成绩是▲环;

(2)分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；

(3)根据(1)、(2)计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由.

(计算方差的公式：s2-[])

【答案】

解：(1)9；9.

222

(2)$2甲=_!_[(10-9)2+(8-9)+(9—9尸+(8—91+(10-9)+(9-9)]

6

_]_2

——(l+l+O+l+l+O)——;

63

22

^7=1[(10-9)+(7-9)+(10.9产+(10-9尸+(9・9)2+(8_9)2]

6

（3）推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当;

但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适.

第三章、二次根式

（一）、知识框架

定义：形如：4a（a>0）

概念

最简二次根式：（I）被开方数不含分母；

（2）被开方数中不含能开尽方的因数或因式。

二

次

根

式

加减法：先将二次根式化成最简的二次

根式，再将被开方数相同的二次根式进

行合并。

混

运算合

乘法：\[ci>4b=4ab(a>0,b>0)运

算

除法:(«>0,/?>0)

（二）、典型例题

例题L化简：

解：:工一y20即x2y/.=x~y

・•・■/_J-^y-^x-y-l（x-y^y-x

例题2.如果最简二次根式与是同类二次根式，则

解：最简二次根式与是同类二次根式

/.3。-8=17-2a解得。=5

小结：把一个二次根式化为最简（同类）二次根式的一般步骤：

①把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化为假分数，绝对值小于1的小数化为真分数;

②被开方数是多项式的进行因式分解；

③使被开方数不含分母：

④将被开方数中开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面；

⑤化去分母中的根号（即分母有理化）

例题3.能使等式成立的取值范围是（）

Ax>0Bx=2Cx>2ux>2

解：要使就要满足以下条件：①，②，解①②得：，故正确选项为C

例题4.估算的值（）

A5和6之间B6和7之间C7和8之间D8和9之间

解：，

/.正确选项为C

第四章、一元二次方程

（一）知识框架

一元二次方程的概念

ax2+bx+c=O(a^O)

直接配方法

一

元因式分解法

二一元二次方-b±yjb1-44c

次x=------------------

方程的解法

配方法

程

公式法

ax2+bx+c=0（。工0）

一元二

△>（）,方程有两个不

次方程

相等的实根；△=（）时，

一元二次方的根的

方程有两个相等的实

程的探索情况

根；△<（）时，方程无

实根.

方程ax'+法+。=0（。工0）,的

两根为玉,X”则Xj+x

2a

A%,

a

（二”知识详解

1.一元二次方程定义

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

（二）、一元二次方程的一般形式

,它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做

二次项,a叫做二次项系数；bx叫做一次项,b叫做一次项系数：c叫做常数项。

2.一元二次方程的解法

1.直接开平方法

直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。当时，，；当b<0时，方程没有实

数根。

2.配方法

（1）一般步骤：

（2）方程於？+公+c=0（。/0）两边同时除以a,将二次项系数化为1.

（3）将所得方程的常数项移到方程的右边。

（4）所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方

配方，化成

（5）开方。当时，；当b<0时，方程没有实数根。

3.公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程的求根公式：

—b±ylb~-4ac,>、八、

x=-------------（b-4Aac>0）

2a

4.因式分解法

一元二次方程的一边另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方法C

3:一元二次方程根的判别式

根的判别式

1.定义：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式。

2.性质：当>0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数

根；当VO时，方程没有实数根。

4:一元二次方程根与系数的关系

如果方程的两个实数根是，那么，。

(三)、典型例题

例题1.下列方程中是一元二次方程的是()

A.2x-/-I=0B.y2+x=lC.x2~/~1=0D.

解：C

例题2.解方程

(I)r24-4r-l=0

(2)x2—x—1=0

(3)f+3=3(x+l)

解：(1)配方，得：(x+2)2=5,解得：xl=-2+,x2=—2—

(2)x2-x-l=0

-h±ylb2-4acIZVT+4［土石

V-2^-2x1-2

l+>/51-V5

(3)原方程变为:x2—3x=0,解得：=0,=3

(1)例题3.已知关于的一元二次方程2--2=0.……①

(2)若=1是方程①的一个根，求的值和方程①的另一根；

对于任意实数，判断方程①的根的情况，并说明理由.

解：(1)=7是方程①的一个根，所以1+-2=0,

解得=1.

方程为2--2=0,解得，1=-1,2=2.

所以方程的另一根为=2.

(2)=2+8,

因为对于任意实数，220.

所以2+8>0,

所以对于任意的实数，方程①有两个不相等的实数根.

例题4.某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元.设平均每次

降价的百分率为x,则下列方程中正确的是()

A.55(1+x)2=35B.35(1+x)2=55

C.55(l-x)2=35D.35(1—x)2=55

解：C

例5：(2006南京)西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克

的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小

型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.

该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？

解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元

根据题意，得：

解得：-0.2,-0.3答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2或0.3元。

第五章、中心对称图形一（圆的有关知识）

（一）、知识框架

与圆的定义，弧、弦等概念

圆

有

关圆的对称性

的

位

置

关基本性质

系

确定圆的条件

三角形的外接圆

圆切

线

长

定

理

三

角

形

的

内

切

圆

圆

与

圆

相切的两

的相切

圆的连心

位

线过切点

置

关

相交的两

系相交相交<=>/?一r

圆的连心

线垂直平

正多边形和圆圆内接正多边形

正正多边形的半径、边心距、

多正多边形的有关计算

边正多边形的内角、中心角、

形外角、正多边形的周长、

与

圆

圆内接正多边形

F这直线的距离等二定长的两

s网=s展开的扇形

平彳E且到两条直线距离都相等

二、点与圆的位置关系

1.点在圆内□□□点口在圆内;

2.点在圆上□□□点口在圆上;

3.点在圆外□□□点口在圆外;

三、直线与圆的位置关系

1.直线与圆相离口□匚无交点；

2.直线与圆相切□□匚有一个交点;

3.直线与圆相交□□匚有两个交点;

四、圆与圆的位置关系

外离（图1）=无交点=>d>R+r；

外切（图2）=有一个交点=d=R+r；

相交（图3）=>有两个交点=>

内切（图4）有一个交点=

内含（图5）n无交点=>d<R-r\

五、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1:（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧;

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个

即可推出其它3个结论，即:

①AB是直径②A3_LC£）③CE=DE④弧8。=弧引）⑤弧4。=弧47）

中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在。口中，・・・□〃□

，弧AC二弧5。

六、圆心角定理

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，

即：①口；②口；

@OC=OF；④弧84=弧3力

七、圆周角定理

1.圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。/一术

即：•・•□和□是弧□所对的圆心角和圆周角\\

・•・ZAOB=2ZACBB

2.圆周角定理的推论：'—

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；

即：在。口中，・・・□、□都是所对的圆周角

・•・ZC=ZD

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所

对的弦是直径。即：在0口中，•・•□是直径或・・•□・・・口・・・□是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角Bro一

形。即：在△□中，・・•口

・・・△ABC是直角三角形或NC=90°

注：此推论实是初一年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的

一半的逆定理。

八、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在。口中，：也边形口是内接四边形

・・・ZC+/BAD=180°NB+NO=180°ZDAE=ZC

九、切线的性质与判定定理

（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；

两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

即：・・•□且□过半径□外端・•・□是。□的切线

（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）

推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理

切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心

的连线平分两条切线的夹角。

即：•・•□、口是的两条切线，口□平分口

卜一、两圆公共弦定理

圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共

弦。

如图：口垂直平分口。

即：口、0口相交于口、口两点

QO垂直平分A8

十二、圆内正多边形的计算

正三角形：在。口中△口是正三角形

有关计算在口中进行：口；

（2）正四边形

同理，四边形的有关计算在口中进行,

（3）正六边形

同理，六边形的有关计算在口中进行,

A8:O8:OA=1：G：2,

十三、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式

A

1.扇形：（1）弧长公式：口;

（2）扇形面积公式：

B

□:圆心角□:扇形多对应的圆的半径□:扇形弧长□:扇形面积

2.圆锥侧面展开图

(1)S表=S例+S底二刀

(2)圆锥的体积：口

面积、体积的计算公式

Sftn=2兀rhS■•<1=ITr

S全=S物+S底=Jir+n於

2

S全=S网+2S底=2冗rh+2nr

V=nr2h

V=Jir2h

(三)、典型例题

例题1.某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道

圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.

(1)请你补全这个输水管道的圆形截面图；

(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水最深的地方的高度为4cm,求这

个圆形截面的半径.

思路点拨：本题考查圆的确定、垂径定理以及直角三角形的性质有关等知识.

解：⑴作法略.如图所示.

(2)如图所示，过O作OC_LAB于D,交于C,

■:OC1AB,

♦•♦

由题意可知，CD=4cm.

设半径为xcm,则・

在Rt△BOD中，由勾股定理得：

即这个圆形截面的半径为10cm.

例题2.在中，弦平行于弦，若，则一度.

【考点要求】本题主要考查圆中圆心角与圆周角之间的关系.

【思路点拔】VZB=ZAOC,

ZB=40°

VAD^BC

ZZMB=ZB=40°

【答案】填：40

例题3.AB是的。O的直径，BC.CD.DA是。0的弦，且BC=CD=DA,则NBCD=

()

A.1000B.1100C.1200D.1350

【考点要求】木题考查了圆中弧，弦，圆心(周)角之间的关系，以及直径所对的弧是半圆等基木