第二十七章图形的相似 专项练习 人教版九年级下册数学

图形的相似专项练习九年级下册数学人教版

一.选择题（共10小题）

1.如图，以点O为位似中心，将△Q48放大后得到△OCD,0A=2,AC=3,则期的值

CD

为（）

A.1B.2cD.2

5345

2.已知线段a、b、c、d,如果ab=cd.那么下列式子中一定正确的是（)

A.2丈B.包上C.2篦D.a__c

b-^d

cddccb

3.已知豆上_=2,那么?的值是（)

a+b3

BC.5D.-5

A，i,4

4.在平面直角坐标系宜万中，以原点。为位似中心，把△AB。缩小为原来的得到△

CDO,则点A（-4,2）的对应点C的坐标是（）

A.(-2,1)B.(-2,I)或(2,-1)

C.(-8,4)D.(-8,4)或(8,-4)

5.如图，AD//BE//FC,它们依次交直线/i、/2于点A、B、C和点O、E、F,如果AB=4,

AC=9,那么迈的值是（）

6.如图，在△ABC中，AB=AC=6,。在BC边上，ZADE=ZB,CD=4,若△AB。的面

积等于9,则△COE的面积为（)

A

A.4B.2C.3D.6

7.点C为线段AB的黄金分割点（AOBC）,且AB=2,则4c的长为（）

A.2V5-2B.V5-2C.V5-1D.3-V5

8.若3x=2y(y#0),则下列比例式成立的是（)

A.三上B.AJLc.工上D.X=2

3y23x33x

9.线段a,b,c,d是成立例线段，已知。=2,b=遥,C=2j§,贝ijd=（）

A.2^B.4任C.D.A/15

35

10.若△ABCs△ABC,且相似比为2：3,则△ABC与△AbC的面积比为（）

A.2：3B.3：2C.4：9D.9：4

二.填空题（共5小题）

II.已知三=旦，那么卫=______.

y4x

12.如图，在矩形ABCQ中，E是CQ边的中点，且8E_LAC于点R连接。F,则下列结

论：①S2kCEF②呢"1：③AO=OR④AD?=BE・BF.其中正确的是_______（把

,△ABF4AC2

13.非零实数工，），满足2r=3y,则三=.

y

14.已知3型则三=______.

x2y

15.如图，A8〃CQ〃上人直线A、/2分别与这三条平行线交于点4、C、七和点4、。、F.已

知AC=3,CE=5,DF=4,则8。的长为

三.解答题(共6小题)

16.如图，已知正方形ABCD,点在边上，连接

(1)利用尺规在AE上求作一点R使得△ASES/XDE.(不写作法，保留作图痕迹)

(2)若A£=4,A3=3,求。尸的长.

17.如图，点尸是平行四边形八8C。的边人。上的一点：直线CF交线段帖的延长线于点

E.

(I)求证：XAEFs△DCF、

(2)若AF：DF=\：2,AE=y[2^5AAEF=—.

①求AB的长；

②求△EBC的面积.

18.如图，在矩形A4CO中，E为C。边上一点，把△AOE沿AE翻折，使点。恰好落在

8C边上的点F处.

(1)求证：△ABFs^FCE；

(2)若杷=3如，AD=6,求EC的长.

19.如图1,在△ABC中，已知AB=6,AC=8,8C=10.点。是边8c上一动点，过点D

图形的相似专项练习

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.如图，以点。为位似中心，将△0A6放大后得到△OCQ,。4=2,AC=3,则期的值

CD

为（）

【分析】直接利用位似图形的性质，进而得出想_=丝，求出答案即可.

DCCO

解：•・•以点O为位似中心，将△Q4B放大后得到△OCO,

:.XB0AS4D0C,

・AB=OA

**DC而，

V（9/4=2,AC=3,

•・•1AB・_-2

CD5

故选：D.

【点评】此题主要考杳了位似变换，正确得出相似三角形是解题关键.

2.已知线段〃、b、c、d,如果ab=cd,那么下列式子中一定正确的是（）

A.2丈B.2丈C.2篦D.2=■£

cddccbbd

【分析】根据内项之税等于外项之枳即可判断.

解：,:ab=cd,

•••a■_■~~~d■■>

cb

故选：C.

【点评】本题考查比例线段，解题的关键是灵活运用内项之积等于外项之积解决问题,

属于中考基础题.

3.已知豆空=2,那么且的值是（）

a+b3b

A.AB.-Ac.5D.-5

55

【分析】根据已知条件得出。=56再代入要求的式子进行计算，即可得出答案.

解：・.,三士=2,

a+b3

3a-3b=2a+2b,

:.a=5b,

•a—5b—5

bb

故选；c.

【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握两内项之积等于两外项之积.

4.在平面直角坐标系式3,中，以原点0为位似中心，把缩小为原来的工，得到△

2

CDO,则点4(-4,2)的对应点C的坐标是()

A.(-2,1)B.(-2,1)或(2，-1)

C.(-8,4)D.(-8,4)或(8,-4)

【分析】根据位似变换的性质计算，即可解答.

解：以原点。为位似中心，把这个三角形缩小为原来的工得到△CD。，点A的坐标为(-

2

4,2),

则点A的对应点。的坐标为(-4X2，2X』)或(4X_1,-2XA),即(-2,1)或

2222

(2,-1),

故选：B.

【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，解题关键是在平面直角坐标系中，如果

位似变换是以原点为位似中心，相似比为我,那么位似图形对应点的坐标的比等于A或-

k.

5.如图，AD//BE//FC,它们依次交直线八、/2于点A、B、C和点。、E、F,如果AB=4,

AC=9,那么典的值是()

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可.

解：*：AD//BE//FC,A8=4,AC=9,

・DE=AB=4=4

**EF而宜亨

故选：C.

【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、准对应关系是解题的

关键.

6.如图，在4c中，4B=AC=6,。在8c边上，NADE=NB,CD=4,若△A4。的面

积等于9,则△CQE的面积为（）

A.4B.2C.3D.6

【分析】过点。作。MJLA8于M,过点E作EN_LBC于N,根据等腰三角形的性质推出

ZB=ZC,再由三角形的外角定理推出ND48=NEDC,从而得出根

据相似三角形的性质求出EN,即可求解.

解：过点。作力于M,过点E作硒于M

•/NADE=ZB,^ADC=NB+NBAD=NADE+/CDE,

：.ZBAD=ZCDE,

：.△kBDsXncE.

•・•AB-DM'9

DCEN

•••△A3。的面积等于9,

2A8・QM=-1X6XDM=9,

22

：.DM=3,

・63

**7"EN，

：・EN=2.

.•.△COE的面积为aC3・EN=2X4X2=4,

22

故选：A.

【点评】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用等腰三角的性质

及相似三角形的判定和性质求解是解题的关键.

7.点C为线段的黄金分割点(AOBC),且AB=2,则AC的长为()

A.~2B.^5-2C.-1D.3-^5

【分析】根据黄金分割的定义可得到AC=亚二1AB,然后把A8=2代入计算即可.

2

解：根据题意得4。=在二:8=亚二1乂2=返7.

22

故选：C.

【点评】本题考查了黄金分割：把线段八8分成两条线段AC和BC(AC>8C),且使AC

是A8和BC的比例中项(即43：AC=AC：BC),叫做把线段A8黄金分割，点C叫做

线段A8的黄金分割点.其中AC=YS凫0.6184B,并且线段AB的黄金分割点有两个.

2

8.若3x=2y(yWO),则下列比例式成立的是()

【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解.

解：A、由三=2得，川=6,故本选项比例式不成立；

3y

B、由工=工得，3x=2y,故本选项比例式成立；

23

C、由工=2得，2x=3y,故本选项比例式不成立；

x3

。、由工=2得，孙=6,故本选项比例式不成立.

3x

故选：B.

【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质是

解题的关键.

9.线段a,b,c,d是成比例线段，已知a=2,b=疵,c=2V3,则〃=()

A.2^B.c.2V5D.VI5

35

【分析】根据成比例线段的概念，可得4：b=C：d,再根据比例的基本性质，即可求得

d的值.

解：*•*a：b=c：d,

ad=bc,

v«=2,/?=V5»c=2y/~3,

A2J=V5X2V3，

**.6/=V15.

故选：D.

【点评】此题考查了成比例线段，解题时一定要严格按照顺序写出比例式，再根据比例

的基本性质进行求解.

10.若△AECs/XAHC,且相似比为2：3,则△ABC与△A9C的面积比为（）

A.2：3B.3：2C.4：9D,9：4

【分析】根据相似三角形的性质：面积的比等于相似比的平方，解答即可.

解：VAADE^/\ABC,相似比为2：3,

•••△ADE与AABC的面枳比为（2：3）2=4：9.

故选：C.

【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方.

二.填空题（共5小题）

11.已知三=旦，那么卫=-1.

y4x—3—

【分析】根据已知条件得出工=3，再把卫化成1-工，然后进行计算即可.

x3xx

解：・.・2=3,

y4

•・•—y_,4■9

X3

.•・卫=1・工=1・2=」

XX33

故答案为：-—.

3

【点评】此题考查了比例的性质.题目比较简单，解题的关键是掌握比例的性质与比例

变形.

12.如图，在矩形48CQ中，E是C。边的中点，且BEL4C于点R连接。凡则下列结

论：①S^CEF」；②幽与_；③人。=。/；④AD2=BE・BF.其中正确的是①③

,△ABF4AC2

④（把正确结论的序号都填上）.

DEC

一N

A--------------------B

【分析】根据后是。。边的中点，得至IJCE：AB=\：2,根据矩形的性质得到CE〃AB,

s

推出求得(A)2=J_,故选①选项正确；根据相似三角形的

^△ABF24

性质得到四=匹，设CE=〃，AD=b,则CD=2a,于是得到区=返，故②选项错误：

ADCDAC3

如图，过D作DM〃BE交AC于N,交AB于M,根据平行四边形的判定定理得到四边

形是平行四边形，求得BM=OE=2QC,得到。M垂直平分人尸，根据线段垂直

2

平分线的性质得到4加=。凡故③选项正确；根据射影定理和矩形的性质得到4Z)2=BE

•BF.故④正确.

解：•・•£：是C。边的中点，

ACE：48=1：2,

•・•四边形4BCZ)是矩形，

・•・CE//AH,

：.ACEF^>/\ABF,

s

...ASEFu(1)2-1,故选①选项正确；

,△ABF24

•・•四边形4BCO是矩形，

：.AD//BC,ZADC=7BCD=90a,

：.ZCAD=ZBCF,

VBE1AC,

・・・NCFB=90°,

・•・NADC=NCFB,

/.△AOCS/\CFB,

.CE=BC

"AD而’

设C£=a,AD=b,则CO=2a,

•.•a—_・b•9

b2a

即/尸扬，

•.*B'C--V'21，

AB2

•••区=返，故②选项错误：

AC3

如图，过。作。交AC于N,交48于M,

・•・四边形BMDE是平行四边形，

：.BM=DE=^DC,

2

：.BM=AM,

:.AN=NF,

•；BELAC于点凡DM//BE,

,\DN1AF,

・・・OM垂直平分AF,

：,AD=DF,故③选项正确：

•；NBCE=9()°,BE1AC,

:・Bd=BF・BE,

♦：AD=BC,

：.AD2=BE*BF,故④正确：

故答案为：①③④.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，射影定理，正确地作出辅

助线是解题的关键.

13.非零实数x,)，满足2x=3y,则三=_2_.

y.2一

【分析】根据比例的性质解决此题.

解：V2x=3y,

•・•1x二一3.

y2

故答案为：—.

2

【点评】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解决本题的关键.

14.已知也=1,则3=1.

x2y一3一

【分析】根据比例的性质，由也豆，得5x=2(x+y),即3x=2y,即可求出答案.

x2

解「,也=1,

x2

5x=2(x+y)，

.\3x=2y,

•.•~x-2.

y3

故答案为：1.

3

【点评】本题考查了比例的性质，熟记两内项之积等于两外项之积是解题的关键.

15.如图，A13//CD//EF,直线/I、/2分别与这三条平行线交于点A、C、E和点8、。、F.已

知AC=3,CE=5,DF=4,则8。的长为超.

一5一

【分析】先根据平行线分线段成比例定理得到3=跃，然后利用比例性质得到BD的长.

54

解：•:

•AC-BD即3-BD

••瓦一而‘'亏一"T

解得卫.

5

故答案为：12.

5

【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成

比例.

三.解答题(共6小题)

16.如图，已知正方形ABCD,点在边8c上，连接

(1)利用尺规在AE上求作一点凡使得AABEs△。胡.(不写作法，保留作图痕迹)

(2)若4E=4,AB=3,求。尸的长.

D

E

AB

【分析】（1）过点。作。尸_LA£于点P,点尸即为所求;

（2）利用勾股定理全等三角形的性质求解.

解：（1）如图，点尸即为所求.

（2）••,四边形A8CO是正方形，

：.AD=AB=3,

丛ABEsXDFA,

・DF=AD

**ABAE，

•.•D'F'_3-9

34

尸=9.

4

【点评】本题考查作图-相似变换，正方形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学

知识解决问题，属于中考常考题型.

17.如图，点尸是平行四边形A8C。的边AD上的一点，直线CF交线段84的延长线于点

E.

（1）求证：XAEFs4DCF、

（2）若AF：DF=\：2,AE=&,5,MEF=­.

3

①求人B的长；

②求△E8C的面积.

E

【分析】（1）根据平行四边形的性质，可以得到ZM//CQ,然后即可得到/E=NFC。，

NEAF=NCDF,从而可以得到结论成立；

（2）①根据相似三角形的性质和题目中的数据，平行四边形的性质，可以计算出A3的

长；

②根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可以计算出△EBC的面积.

（1）证明：•・•四边形ABCO是平行四边形，

BA//CD,

/E=/FCD,ZEAF=ZCDF,

XAEFs丛ncF：

(2)解：①由(1)知XAEFS^DCF,

捶二空

DC"DF,

AF：DF=1：2,AE=®,

V2_1

正至，

DC=?M，

四边形ABC。是平行四边形,

：.AB=DC,

：,AB=2y/2i

②•・•四边形ABCD是平行四边形,

AD〃BC,

△EAFs/\EBC,

5机虹

^△EBC

5AAEF=—»A13=2^~2,y\E=V2»

3

EB=EA+AB=3近,

EA=近=1

EBW2"§，

2

・•&—=（-1）2,

^△EBC3

解得Sf\EBC=6,

即△石8c的面积是6.

【点评】本题考杳相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明

确题意，利用数形结合的思想解答.

18.如图，在矩形A4CO中，E为CO边上一点，把△,4。£沿从£翻折，使点。恰好落在

8c边上的点尸处.

（1）求证：AABFsAFCE：

（2）若AB=3%,AD=6,求EC的长.

An

【分析】（1）利用同角的余角相等，先说明NB4/=NEFC,再利用相似三角形的判定得

结论：

（2）先利用勾股定理求出8F,再利用相似三角形的性质得方程，求解即可.

（1）证明：•・•四边形ABCO是矩形，

/.ZB=ZC=ZD=90°.

,：△人QE沿AE翻折得到44尸E,

・・・/。=乙4/E=90°.

ZBAF+ZAFB=\SO°,/AFB+/EFC=90°,

:・NBAF=NEFC.

乂•：NB=/C,

・•・△ABFsBCE.

（2）解：•・•四边形46CO是矩形，

:・AB=CD=3M.

■:/\ADE沿AE翻折得到△AFE,

：,AD=AF=6,DE=EF.

在Rt/^ABF中，

BF=7AF2-AB2=3-

设CE的长为x,则DE=EF=3^J3-x.

XABFsXFCE,

・BF=CE

**AFW

:.CE・AF=B『EF,

即xX6=3XOV3-x).

，x=«，BPEC=V3.

【点评】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质，掌握“矩

形的四个角都是直角、矩形的对边相等”、“折叠前后的两个图形全等”、“两角对•应相等

的两个三角形相似”及“相似三角形的对应边的比相等”是解决本题的关键.

19.如图1,在△4BC中，已知A8=6,AC=8,8c=ID.点。是边8c上一动点，过点。

作DE工BC交射线CA于点E,把△CQE沿DE翻折，点C落在点G处，AO和GE相交

于点F.

(1)若点G和点B重合，请在图2中画出相应的图形，并求CE的长.

(2)在(1)的条件下，求证：AAFBsAEFD.

(3)是否存在这样的点。，使得△ABG是等腰三角形？若存在，请直接写出这时NCAO

的正切值；若不存在，请说明理由.

明△CQES/^CAB,匹，则CE=-10X5二①;

BCAC84

(2)由OE垂直平分BC,得8E=CE,则NO稗=NDEC,由△。。七6/\。从得NOEC

=NABC,由AQ=BO=28C,得NABC=NBAF,则NBAF=N/)EF,而NAFB=NEFD,

2

即可证明△AFKs/XEF。：

(3)作。/_LAC于点/,先由△O/CS/\R4C,求得也：/C：DC=3：4：5,再分四种情

况分别求出DC的长，并且求出相应的/。和AI的长，即可由tan/CAQ=』D,求出N

AI

C4O的正切值，一是△A3G是等腰三角形，且4G="6=6,作A〃_LBC于点〃，由2X

2

10A〃=2X6X8=SAABC,求得再由勾股定理求得GH=BH=W则CD=L

2555

二是△A8G是等腰三角形，且8G=AB=6,则CD=2X(10-6)=2；三是△ABG是

2

等腰三角形，且BG=AG,则CG=AG=BG=1BC=5,所以CO=2CG=§；四是△

222

43G是等腰三角形，点G在。3的延长线上，且3G=AB=6,QC=江X(10+6)=8.

2

(1)解：VAB=6,AC=8,BC=10,

：,AB2+AC2=BC2=}()0,

・•・△ABC是直角三角形，且N8AC=90°,

由翻折得DG=DC,

VDE1BC,

・•・ZGDE=ZCDE=ZBDE=90°,

，点G在射线C3上，

如图2,点G和点4重合，则。4=QC=24C=5,

2

VZCDE=ZC/1B=90°,ZC=ZC,

/.△CD^ACAB,

・

CE=DC

**BC记

•・•L^t_B'C-DC'_1'0X5'—_25'，

AC84

・・・CE的长是至.

4

(2)证明：如图2,

•・•£)£垂直平分8C,

:・BE=CE,

：.NDEF=NDEC,

,:△3"XCRB,

JZDEC=ZABC,

；・AD=BD='BC,

2

・•・NABC=NBAF,

・•・ZBAF=ZABC=ZDEC=/DEF,

■:ZAFB=ZEFD,

；・△AFBsAEFD.

(3)解：存在，

作。MAC于点/,则NO/C=NA/O=N8AC=90°,

,/ZC=ZC,

:ADlCs^BAC,

.1D=JC=DC

**ABACBC)

.JD=AB=_6=_3IC=AC=_8_=_4

••而AC-871DCABIO

：JD：IC：DC=3：4：5,

如图3,ZSABC是等腰三角形，且AG=AB=6,

作于点〃则N4〃B=90°,

vAxIOA〃=2X6X8=SaA3C,

5'5

,-.DC=ACG=AX(10-2xl§.)=L

.•./D=^.Z9C=—xZ=H,IC=—DC=—XZ.=21

5552555525

A4/=8--=-1^2,

2525

如图4,△A8G是等腰三角形，且8G=A8=6,

.・.CO=_lx(10-6)=2,

2

.・./Q=3x2=g/C=_1X2=3,

5555

.•・4/=8-区=丝

55

6

AtanZCAD=IP.5

AI22_16

5

如图5,Z\A8G是等腰三角形，且8G=AG,则/GAB=NB,

VZGAC+ZG4B=9OC,ZC+ZB=90°,

/.ZGAC=ZC,

：.CG=AG=BG=1BC=5,

2

.••CQ=JLCG=§,

22

.*./Q=3X±=3,/C=_ix$=2,

52252

.*.A/=8-2=6,

3_

tanZC4D=—=—=-l；

AI64

如图6,ZVIBG是等腰三角形，点G在C4的延长线上，且4G=AB=6,

ADC=-lx(10+6)=8,

2

.・./。=3乂8="/C=AX8=—,

5555

・・.A/=8-丝=当

55

24

AtanZCAD=亚=»1-=3,

AI1

5

综上所述，NCA。的正切值为2或W或2或3.

172164

图6

图5

A

图3

图2

【点评】此题重点考查勾股定理及其逆定理的应用、轴对称的性质、相似三角形的判定

与性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、线段的垂直平分线的性质、根据面积等

式求线段的长度、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，

难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

20.定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P,。所在的直线都经过同一点

O,且有。产=AOPGH0),那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点。叫做位似中

心，

(1)如图，在△ABC中，NACB=90°,NA=30°,A8=6c〃?.点〃在AB上，点Q

在AC上，以PQ为边作菱形PQMN,点N在线段P8上且N4PQ=120°,在