高考数学曲线与方程专项练习

高考数学曲线与方程专项练习

1.若方程£=13是常数),则下列结论正确的是()

A.任意实数。方程表示椭圆

B.存在实数。方程表示椭圆

C.任意实数。方程表示双曲线

D.存在实数。方程表示抛物线

2.已知点尸(01)，直线/：)，=—1,P为平面上的动点，过点P作直线/的

垂线，垂足为Q,且⑪。=#.也则动点尸的轨迹。的方程为()

A.f=4yB./=3x

C.jr=2yD.f=4x

3.方程工一9肛+8.俨=0的曲线C所满足的性质为()

①不经过第二、四象限；②关于x轴对称；③关于原点对称；④关于直线y

=x对称.

A.①③B.②③

C.0@D.①②

v2

4.设。为椭圆f+M=l上任意一点，4(),-2),3(0,2),延长AC至点P,

使得|Pq=[8C],则点P的轨迹方程为()

A.f+G-2)2=20B.f+U+2)2=20

C.』+(y-2)2=5D.f+(y+2)2=5

5.在"8C中,5(-2,0),C(2,0),A(x,y),给出ZVIBC满足的条件，就能

得到动点A的轨迹方程.

下表给出了一些条件及方程：

条件方程

①△ABC周长为10Ci:>2=25

②△4BC面积为10C2:«+丁=4()¥0)

。3：5十］=10#。)

③△A8C中，NA=90。

则满足条件①，②，③的轨迹方程依次为()

A.C3,Ci,CiB.Ci,C2,C3

C.C3,C2,CiD.Ci,C3,C2

6.设线段A8的两个端点A,B分别在x轴、)，轴上滑动，且|AB|=5,而=

，值+|仍，则点M的轨迹方程为()

A.卷+：=1B.»=1

fy2V2?

C.行+句=1D・芯+5=1

7.已知△A8C的顶点8(0,0),C(5,0),A8边上的中线长|C0|=3,则顶点A

的轨迹方程为.

8.一条线段的长等于6,两端点4,B分别在x轴和y轴的正半轴上滑动，

P在线段上且#=2协，则点尸的轨迹方程是________.

9.已知圆的方程为f+产=4,若抛物线过点A(—1,0),8(1,0)且以圆的切线

为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________.

10.在NBC中，|配|=4,aABC的内切圆切3c于。点，且|曲|一|仍|=

2啦，求顶点A的轨迹方程.

II.如图，P是圆/+产=4上的动点，点P在x轴上的射Jf

影是点。，点M满足诩=当用.J卜\_

T(n~D-H

(1)求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；

(2)过点M3,0)的直线I与动点M的轨迹C交于不同的两

点A,B,求以。A,OB为邻边的平行四边形04仍的顶点E的轨迹方程.

能力提高

I.如图是房间壁灯照到墙上的光影的照片，壁灯轴线

与墙面平行，则光影的边缘是（）

A.抛物线

B.双曲线一支

C.椭圆

D.抛物线或双曲线

2.如图，A8是与平面。交于点A的斜线段，点C满

足|8。=@4。（2>0）,且在平面。内运动，给出以下几个

命题：①当2=1时，点。的轨迹是抛物线；②当2=1时,

点C的轨迹是一条直线；③当人=2时，点C的轨迹是圆；④当2=2时，点C

的轨迹是椭圆；⑤当2=2时，点。的轨迹是双曲线.其中正确的命题是

（将所有正确命题的序号填到横线上）.

所以当7=2时，点C的轨迹是圆.故②③正确.]

3.在平面直角坐标系中，已知4（一啦，0）,A2（也，0）,尸y）,

N（x,-2）,若实数2使得乃E/.两=石》/小（。为坐标原点）.求P点的轨迹方

程，并讨论P点的轨迹类型.

扩展应用

1.数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，[

一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物.曲

线C:（/+产）3=16/）2为四叶玫瑰线，下列结论正确的有"

①方程（『+）2）3=161），2（町<0）,表示的曲线在第二和第四象限；

②曲线。上任一点到坐标原点O的距离都不超过2;

③曲线C构成的四叶玫瑰线面积大于471；

④曲线。上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）.

A.①②B.①②③

答案

1.若方程£=13是常数),则下列结论正确的是()

A.任意实数。方程表示椭圆

B.存在实数。方程表示椭圆

C.任意实数。方程表示双曲线

D.存在实数。方程表示抛物线

B[当。>0且的时，该方程表示椭圆；当时，该方程表示双曲线;

当。=1时，该方程表示圆.故选B.]

2.已知点尸(0,1),直线/：)，=—1,。为平面上的动点，过点P作直线/的

垂线，垂足为Q,且»。=弁质,则动点P的轨迹。的方程为()

A.f=4yB.^=3x

C.^=2yD.)2=4x

A[设点P(x,y)｝则。(x,-1).

・・•办.办=办./，・・・(0,y+l).(-%,2)=a,y—l)・a,-2),即2(y+l)=

f-整理得f=4y,・,•动点P的轨迹C的方程为f=4y.]

3.方程2f—9xy+8y2=()的曲线C所满足的性质为()

①不经过第二、四象限；②关于x轴对称；③关于原点对称；④关于宜线y

=x对称.

A.①③B.②③

c.®®D.①②

A[由题意，2/一9冷，+8产=0化为：9^=2X2+8/>0,说明x,)，同号或

同时为0,所以图形不经过第二、四象限，①正确；一)，换%方程发生改变，

所以图形不关于x轴对称，所以②不正确；以一人代替二以一)，代替y,方程不

变，所以③正确；方程2?-9xy+8y2=0,x,y互换，方程化为81一9孙+2)?

=0,方程已经改变，所以④不正确.故选A.]

4.设。为椭圆f+勺=1上任意一点，40,-2),仅0,2),延长AC至点P,

使得|PC1=|BC1,则点P的轨迹方程为()

A.f+。，-2)2=20B.f+0+2)2=20

C.2>=5D.x2+(y+2)2=5

v2

B[如图，由椭圆方程1+彳=1,得〃2=5,b2=I,

.・・。=后1=2,则A(0,-2),3(0,2)为椭圆两焦点,

，|04|+|0?|=24=2小，V|Pq=|Z?C|,

・,.照I=|pq+|CA=|8C|+|CA|=2小.

，点P的轨迹是以A为圆心，以2小为半径的圆，其方程为f+(y+2)2=

20.故选B.]

5.在ZUBC中，8(—2,0),C(2,0),A(x,)，)，给出△人此满足的条件，就能

得到动点A的轨迹方程.

下表给出了一些条件及方程：

条件方程

①△4BC周长为1()Ci：)2=25

②△48。面积为10G:f+丁=4()¥0)

『\r

③△ABC中，ZA=90°Cv.§+.="0)

则满足条件①，②，③的轨迹方程依次为()

A.。3,Ci,CiB.Ci,C2,C3

C.C3,C2,CiD.Ci,C3,C2

A[①△ABC的周长为10,即H8|+|AC|+|8C|=10,又18cl=4,所以|A8|

+|Aq=6>|BC|,此时动点A的轨迹为椭圆，与C3对应；②△ABC的面积为10,

所以加CW=10,即M=5,与G对应；③因为4=90。,所以硝祀=

(-2-X,一))(2—4-y)=f+)2—4=0,与C2对应.故选A.]

6.设线段AB的两个端点4,6分别在〃轴、y轴上滑动,且|4同=5,加

32

仍，则点M的轨迹方程为()

x2yxr,

A.瓦+LB.9+4=,

X2V2y2,J2]

C.25+9=1D.25+9=1

A[设Af(x,y),A(xo.O),B(0,yd),

32.32

由而=$次+5仍，得(x,y)=j(xo0)+5(。，)心)，

%=一，

2

{产铲，

「5

xo=§x,

解得＜s

[)心=尹，

由|A阴=5,得俣/+住02=25,

化简得&十(=1.]

7.已知△4BC的顶点8(0,0),C(5,0),A3边上的中线长|CD|=3,则顶点4

的轨迹方程为.

(x-10)2+r=36C#0)[设A(x,y),

则戏,2)

•"。々■卜口,

化简得10)2+产=36,由于A,B,。三点构成三角形，

・・・A不能落在x轴上，

即)¥0J

8.一条线段的长等于6,两端点4,B分别在x轴和y轴的正半轴上滑动，

P在线段AB上且#=2协，则点P的轨迹方程是________.

4f+)，2=i6(x>(),)，>())[设P(x,)，)，A(«0),0(0,b),

则4+店=36.因为仆=2油，

所以(尢一生y)=2(-xyb-y),

-3，....'o

所以Voz,即13代入。2+户=36，得9炉+»2=36，即4,F+

)2=16.]

9.已知圆的方程为f+)，2=4,若抛物线过点4一1,0),3(1,0)且以圆的切线

为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是_______.

22

f+^-=l(j#0)[没抛物线焦点为尸，过A,8,。作准线的垂线AAl,BBl,

001,则|44|+|8则=2|。。||=4,由抛物线定义得MA|+|BB|=|用十|FB|,所以

|M|+|FB|=4,故E点的轨迹是以4,B为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两

端点).所以抛物线的焦点轨迹方程为5+5=1(户0).1

10.在AABC中，|配|一4,AABC的内切圆切8c于。点，且|沉—|⑸

2版求顶点4的轨迹方程.

[解]以3c的中点为原点，中垂线为)，轴建立如图所q.

示的坐标系，E,尸分别为两个切点.则|8£1=|8D|,|CQ|/(吵

B0DCK

=\CF],\AE\=\AF].

所以|A8|一|Aq=2V5v4,

所以点4的轨迹为以凡。为焦点的双曲线的右支()¥0),且。=也，c=2,

所以b=y[2,

22

所以轨迹方程为5一5=也).

11.如图，P是圆1+产=4上的动点，点P在x轴上的射

影是点。，点M满足品=29.

(1)求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；

(2)过点M3,0)的直线/与动点M的轨迹C交于不同的两点A,,求以QA,

OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程.

［解］⑴设M(x,y),则Q(x,O),

由次加知，P(x,2y),

•・•点尸在圆f+)J=4上，.•・x2+4y2=4,

故动点M的轨迹C的方程为9+)2=］,且轨迹。为椭圆.

(2)设E(x,y),山题意知/的斜率存在,

设/:)，=攵(工一3),代入,+)2=1,

得(1+4标)f一24七+36&2-4=0,(*)

24k2

设A(»,Jl),B(X2J2),则Xl+X2=

91+4R

.*.yi+y2=k(xi—3)+kg—3)

24A6k

=攵⑶+也)-6仁亩6仁一布.

・・•四边形。AEB为平行四边形，

ok=oX-\-Ob=(x।+X2,yi+>2)

r24-

x=TT^，

又添=(x,y),：A.

一OK

尸，

、775^

消去3得%2+4y2—6x=0,

由(*)中J=(-24^)2-4(l+4F)(36F—4)>0,

1.（2020.宁城模拟）如图是房间壁灯照到墙上的光影的

照片，壁灯轴线与墙面平行，则光影的边缘是（）

A.抛物线

B.双曲线一支

C.椭圆

D.抛物线或双曲线

B［房间壁灯向上照射，区域可理解为顶点在下面的圆锥，

墙面不与圆锥面的母线平行，结果不是抛物线，乂壁灯轴线与墙面平行，则

不是椭圆，

而墙面与圆锥侧面相交，且不过圆锥顶点，又与壁灯轴线平行，则结果为双

抛物线；②当几=1时：点。的轨迹是一条直线；③当7=2时，点。的轨迹是

圆；④当2=2时，点。的轨迹是椭圆；⑤当2=2时，点。的轨迹是双曲线.其

'I।正确的命题是_______（将所有正确命题的序号填到横线上）.

②③［在"BC中，当2=1时，|BC1=HC|,过A3的中点作

线段的垂面人则点。在。与夕的交线上，所以点C的轨迹是一条直线.

当2=2时，|8C|=2|AC|,设B在平面«内的射影为D,连接BD,CD,AD（图

略）.

设|BD|=〃，则仍C1=N|CQ|2+序.

设|A£）|—2a,在平面。内，以A。所在直线为x轴，AD的垂直平分线为y

轴，中的方向为X轴正方向，建立平面直角坐标系(图略)，设C(x,)九则A(-

«0),。①,0),|CA|=，a+a)2+)2,|CD|=^(x-t/)2+/,\CB\=y[\CDf^=

"一4+力层,

所以.(工一〃)2+—+序=2.-+々)2+产,

化简可得(工+至〉+六庠一日，

所以当2=2时，点C的轨迹是圆.故②③正确.]

3.在平面直角坐标系中，已知4(一加,0),A2(啦,0),P(x,y),

N(x,-2),若实数2使得尤威.办=A7».Q(O为坐标原点).求P点的轨迹方

程，并讨论。点的轨迹类型.

[解]麻=(x,l),小=(,-2),命=(1+港，＞'),A2^=(x-y[2,y).

丁乃次/.孙=击»屈»,

(%2—2)/=f—2+)2,

整理得(1—乃)/+『=2(1-)?).

①当幺=±1时，方程为y=0,轨迹为一条直线；

②当2=()时，方程为f十V=2,轨迹为圆；

92

③当届(一1,0)50,1)时，方程为叁+人;二2厂,轨迹为中心在原点，焦

点在x轴上的椭圆；

«V2

④当/£(—8,-1)U(1,+8)时，方程为反江1=1，轨迹为中心在

原点，焦点在工轴上的双曲线.

扩展应用

1.(2020.浦东新区三模)数学中的数形结合也可以组成y.

世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称

0

美、和谐美的产物.曲线C：4+)，2)3=16工2｝，2为四叶玫瑰

线，下列结论正确的有()

①方程（1+9）3=16,ry2（xy＜0）,表示的曲线在第二和第四象限;

②曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2;

③曲线C构成的四叶玫瑰线面积大于4兀；

④曲线。上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）.

A.①②B.①②③

C.(D®④D.①③④

A[对于①，因为孙V0,所以x与），异号，故图象在第二和第四象限，即

①正确.

x2+V2

对于②，因为＞＞（））,所以,所以

（『+）7）2

（，+）2）3=I6r2y2＜l6x——=4（r2+y2）2,

所以1+）+4,即②正确.

对于③，以。为圆点，2为半径的圆。的面积为4兀，显然曲线。围成的区

域的面积小于圆。的面积，即③错误.

把工=也，＞=啦代入曲线C,可知等号两边成立，

所以曲线。在第一象限过点（也，6），由曲线的对

称性可知，该点的位置是图中的点M,

对于④，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即

可,把（1,1）,（1,2）和（2,1）代入曲线C的方程验证可知，等

号不成立，所以曲线。在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可

知，曲线C只经过整点（0。），即④错误.故选A.]

2.（2020,宝山区模拟）如图，某野生保护区监测中心设/