高考数学的导数及其应用多选题附答案

高考数学的导数及其应用多选题附答案

一、导数及其应用多选题

Inv

1.设函数/(力=——，g(x)=xlnx,下列命题，正确的是()

X

A.函数/(x)在(O,e)上单调递增，在(e,十8)单调递减

B.不等关系户'</</<3"成立

C.若0<内时，总有a(考一x；)>2g(X2)-2g(A)恒成立，则々21

D.若函数〃(x)=g(x)-〃比2有两个极值点，则实数用£(0J)

【答案】AC

【分析】

利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项的正误；力函数/(戈)在区间(⑸心)上的单

调性比较乃3、/的大小关系，可判断B选项的正误；分析得出函数s(x)=2g(x)一

在(0,+8)上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出。的取值范围，可判断c选项

的正误；分析出方程2m二上电土在(0,y)上有两个杈，数形结合求出加的取值范围，

-X

可判断D选项的正误.

【详解】

对于A选项，函数〃1)=皿的定义域为(0,+司，则广(力二匕学.

XX

由/'(x)>(),可得0<x<e,由/'(x)>(),可得

所以，函数/(力在(。,耳上单调递增，在(e,+8)单调递减，A选项正确；

对于B选项，由于函数/(力二电/在区间(％”)上单调递减，且4>乃>e,

r(\，/八.In7In4In41In2131n2-2八

所以，/W>/(4)，即二〉丁，又丁一鼻=丁一鼻=—^>。，

所以，—>—>1,整理可得乃3〉gjB选项错误；

443

对于C选项，若0<玉</时，总有-x；)>2g(x2)-2g(xj恒成立，

可得2g(不)一奴；>2g(&)一遍，构造函数s(x)=2g(x)-ad=2x\nx-cue,

则s(再)>$(X2)，即函数s(x)为(0,+8)上的减函数，

s'(X)=2(1+Inx)-2ax<0对任意的x£(0,+co)恒成立，

BPtz>匕里土对任意的x£(0,田)恒成立，

x

1+lnx\nx

令/(%)=,其中工>0,

xx~

当Ov/<1时，«x)>0,此时函数f(x)单调递增;

当x>l时，r'(x)<0,此时函数，(x)单调递减.

所以，/(x)^=/(1)=1,:.a>\tC选项正确；

对于D选项，/?(x)=^(x)-/nr2=x\nx-nix2,则〃'(x)=l+lnx-2/nr,

由于函数万(另有两个极值点，令〃'(穴)=0,可得2m=1+mx,

.AT

则函数)，=2机与函数1工)在区间(0,+8)上的图象有两个交点，

当时，r(x)>0,如下图所示：

当Ov2根<1时，即当。<〃?<2时，函数丁=26与函数/(力在区间(0,+巧上的图象有

2

两个交点.

所以，实数〃2的取值范围是((),；)，D选项错误.

故选：AC.

【点睛】

方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基

本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与工轴的交点问题，突出导数的工具作月，

体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

(3)参变量分离法：由/(x)=o分离变量得出〃=g(x),将问题等价转化为直线丁二。

与函数y=g(R)的图象的交点问题.

2.设函数/(x)=_cos2x_,则()

2+sinxcosx

A.f（X）=f（X+7T）B./（X）的最大值为g

C./G）在（一?,0）单调递增D.在（（）,?）单调递减

【答案】AD

【分析】

先证明/*）为周期函数，周期为〃，从而A正确，再利用辅助角公式可判断B的正误,

结合导数的符号可判断C3的正误.

【详解】

/'(X)的定义域为R，且/*)=-----——，

2+smxcos.r

,,、cos(2A+2^-)cos2x...、iz丁，

/(x+^)=--、~{-----；=--:--------=J(x)，故A正确.

2+sin(x+^Jcosyx+^)2+sinxcosx

、2cos2x2cos2x.2cos2x

乂J(x)=-------------=---------，令y=---------，

4+2sinxcosx4+sin2x4+sin2x

则4y=2cos2x-ysin2x=^4+)3cos(2x+0),

2y

其中cos0=

j4+»J4+)，-

VI即），故一^1工）,工2^,

故

1515,15

当丁二带5时，有coss=q^,sin°=；,此时cos（2x+0）=l即工=匕”券,

故）京=噜，故B错误•

1J

2[(-2sin2x)(4+sin2x)-2cos22x]-4(l+4sin2x)

r⑴=

(44sin(4+sin

当xw（0,1）时,f（x）<0,故/（x）在„为减函数，故D正确.

当工£（一5,0时，一lvsin2x<0,故一3<l+4sin2x<1,

因为r=2x为增函数且而y=l+4sinf在（-泉0）为增函数,

\2J\1）

/\

所以〃（x）=l+4sin2式在一『°上为增函数，

14/

故l+4sin2x=0在(一7，°)有唯i解七，

故当不£5,0)时，力(工)>0即/(x)<0,故/(幻在优，°)为减函数，故C不正确.

故选：AD

【点睛】

方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性

的研究需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分

式形式则可利用导数来研究，注意辅助角公式在求最值中的应用.

3.设函数/(元)=1+如+双出〃€⑶，下列条件中,使得y=f。)有且仅有一个零点

的是()

A.a=l,b=2B.。=-3,〃=-3c.6/>0,b<2D.a<0yb>0

【答案】ABC

【分析】

求导/(刈=3/十分。之0和进行讨论，当时，可知函数单调递增，有且

只有一个零点；当。<0时，讨论函数的单调性，要使函数有一个零点，则需比较函数的极

大值与极小值与0的关系，再验证选项即可得解.

【详解】

Qf(x)=Xs+ax+b.求导得f'(x)=3x2+a

当aNO时，/'(x)NO,「./(x)单调递增，当XT—oo时，/(戈)——8；当xfM

时，/(x)-+8;由零点存在性定理知，函数/*)有且只有一个零点，故A,C满足题

点nV.：

当avO时,令/'(x)=。，即3/+4=(),解得,=,x2=

当工变化时，f\x),的变化情况如下表：

又当Xf-00时，f（X）-00；当时，f（X）+00；

D选项，〃＜（）,〃＞（）,不一定满足，故D不符合题意；

故选：ABC

【点睛】

思路点睛：本题考查函数的零点问题，如果函数y=/（外在区间例上的图像是连续不

断的一条曲线，并且有卜那么，函数y=/（x）在区间内有零点，

即存在C£（。力），使得/（c）=0,这个c也就是方程/（x）=0的根，考查学生的逻辑推

理与运算能力，属于较难题.

4.已知函数/"）=；加—的图象在点（与J（xj）处与点（巧,〃勺））处的切线

均平行于戈轴，则（）

A.”X）在（1,+?）上单调递增

B.x}+x2=2

（7、

c.%+々+%9+/（再）+/（工2）的取值范围是一8,一彳-21112

I4/

D.若g，则/（X）只有一个零点

【答案】ACD

【分析】

求导，根据题意进行等价转化，得到。的取值范围；对于A,利用导数即可得到/（X）在

（1，+8）上的单调性；对于B,利用根与系数的关系可得%+%=1；对于C,化简

%+£+百々+/（%）+/（/），构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D,将

〃二/代入/⑴，令人力=0,可得/（力的单调性，进而求得了（力的极大值小于

0，再利用零点存在定理可得解.

【详解】

由题意可知，函数/（"的定义域为（0,+8）,且/（月=以一“+_1二竺二^11

XX

△二片-4。＞0

则内，修是方程《a*—av+1=0的两个不等正根，贝卜1，解得。＞4,

x）x=—＞0

-2a

当xe（l,+oo）时，函数》二以2一批+i＞。，此时/[人）＞0,

所以/（%）在（1，+8）上单调递增，故A正确；

因为内，修是方程小2-0¥+1=0的两个不等正根，所以M+尤2=1，故B错误;

+x+x=2

因为X[+W+X]/f（i）f（2）l+，+lnX[+^dX1—ax}+lnx2

w+'mLL\~—a二」—+L

aa2Ia2a

易知函数/?（a）=-ga-lna+L在（4,+8）上是减函数，

7

则当a＞4时,/?（«）＜/?（4）=——21n2,

（7、

所以玉+毛+不无2+/（百）+/（工2）的取值范围是-00,-1-21n2,故c正确:

I4z

当4=3时，//（X）=—X-—+—,令/'（力=0,得尢=1或3,

333x44

则/（X）在„上单调递增，在上单调递减，在尼，+8）上单调递增，

所以/（另在1=,取得极大值，且/（2）=In2＞0,

414,

所以/（x）只有一•个零点，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】

关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点：

①切点坐标满足原曲线方程；

②切点坐标满足切线方程：

③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.

5.设函数/⑺1)的定义域为(0,+8),已知〃X)有且只有一个零点，下列

结论正确的有()

A.〃=eB./(力在区间(l,e)单调递增

c.x=l是/(冗)的极大值点D./(e)是/(x)的最小值

【答案】ACD

【分析】

f(x)只有一个零点，转化为方程优—V=0在(0,+8)上只有一个根，即胆=胆只有

xa

Inr

一个正根.利用导数研究函数加幻=——的性质，可得〃=e,判断A,然后用导数研究

x

函数/。)=d-./的性质，求出/(X),令/'(x)=0,利用新函数确定/'")只有两个零

点1和%并证明出f(x)的正负，得/3)的单调性，极值最值.判断BCD.

【详解】

/(x)只有一个零点，即方程/一£=0在(0,一)上只有一个根，/=£,取对数得

x\na=a\nx,即见二=”吆只有一个正根.

xa

设〃(幻=叱，则〃，3=匕"，当0cxec时，//(x)>0,〃*)递增，x.0时，

XX

〃(x)--oo,时,h'(x)<0,〃(x)递减，此时力(x)>0,

力(X)mx=Me)=L

e

•••要使方程处=S幺只有一个正根.则达幺二1或小<0,解得。=e或。<(),又

vaaea

：a>\,a=e,A正确;

f(x)=ex-xe,ff(x)=ex-exel,

ff(x)=ex-exe-i=0,ei=x'T，取对数得工-1=(e-l)lnx,

易知X=1和X=C是此方程的解.

设〃(柒)=(e-l)lnx-x+1,p\x)=-__--1,当0<方<°一1时，〃'(x)>。，〃(柒)递

x

增，x>e—l时，〃口)<0,p(x)递减，—是极大值，

又p(l)=p(e)=O,

所以P(工)有且只有两个零点，

r-1xexx

0<xvl或时，p(x)<0,即x<e~',ex'<e>

f\x)>0,同理l<x<e时，fXx)<0,

所以/(x)在(0,1)和(e,+B)上递增，在(1,。)上递减，所以极小值为/(e)=0,极大值为

/⑴，

又"0)=1,所以/(e)是最小值.B错，CD正确.

故选：ACD.

【点睛】

关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性.解题关键是确定了'(X)的零

点时，利用零点定义解方程，/'(幻二/一"1=0,取对数得

x-l=(e-l)lnx,

易知X=1和X=e是此方程的解.然后证明方程只有这两个解即可.

6.下列命题正确的有()

A.已知且。+〃=1,则，<2'"<2

2

B.3“二型=/，则巴二二夜

ab

C.y=x3-3x2一x的极大值和极小值的和为-6

D.过A(-1,0)的直线与函数)，二13一工有三个交点，则该直线斜率的取值范围是

(一1,2)U(2,+8)

4

【答案】ACD

【分析】

由等式关系、指数函数的性质可求的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求

斗；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与y=d—x有

ab

二个交点，即可知〃(x)=d-左右两个零点且x=—1不是具零点即可求斜率范围.

【详解】

公选项，由条件知力二1一〃且所以。一人=2〃一It(-1,1),即

2

8选项，3"=4"=有。=1(峪3，〃=k)g4>/i^，而

a+b11.，八c

—-=—+7=2(iog3+log4)=2；

ababl2l2

c选项，y'—3-V2-6-V—1中zj>0且开口向上，所以存在两个零点»x2且%।々=2、

即N,占为两个极值点，

所以xX尸-2

y+y2=a+2)[(1+%]-3KA+X2)-2X1X2]-(XI+X2)=-6；

。选项，令直线为>=%(4+1)与y=d一不有三个交点，即g(x)=(W-x-Q(x+l)有三

个零点，所以力(x)=x?-有两个零点即可

亿=1+42>()1

・•.LncJc,解得及£(一：,2)J(2,y)

故选：ACD

【点睛】

本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范

围，属于难题.

7.已知函数/(x)=lnx-〃比有两个零点七、x2,且为〈占，则下列结论不正确的是

0<"2<一B./一内的值随加的增大而减小

e

0<X1<1D.x^>e

【答案】C

【分析】

由/(x)=0得出根=止，构造函数g(x)二52,利用导数分析函数g(x)的单调性与

XX

极值，数形结合可判断ACD选项的正误；任取町、牡且见<恤，设

g(4)=g(4)=肛,其中lv"vev$；设g(7)=g(%)=.，其中

利用函数g(x)的单调性结合不等式的基本性质得出乙一。-7，可

判断B选项的正误.

【详解】

令/(k=。，可得〃入处，构造函数g("=处，定义域为(0,+8),

1-lnx

当0cxe寸，g'(x)>0,此时函数g(x)单调递增;

当x>e时，g'(x)v。，此时函数g(x)单调递减.

所以，g(x/=g(e)=「如下图所示:

£L-・■二-Iy=*w

飞尸」一了F

E力

由图象可知，当时，直线y=〃2与函数g(M=lJH的图象有两个交点，A选项

ex

正确；

当x>l时，g(x)>0,由图象可得l<XI<e,x2>e,(:选项错误，D选项正确；

任取m}、€|0,-J,且m}<m2,

设g(Jj=g(J2)=〃4，其中设g(%)=g(772)=〃4，其中

1<小<e<%.

由于函数g(x)在区间(l,e)上单调递增，且屋。)<且(%)，<7；

函数g(x)在区间3+0。)上单调递减,且g©)vg(7)，

由不等式的基本性质可得$<7-%，则$一。

所以，为一玉的值随机的增大而减小，B选项正确.

故选：C.

【点睛】

在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定"2=g(x)有两个实根时实数心应

满足的条件，并注意g(x)的单调性、奇偶性、最值的灵活应用.另外还可作出函数

y=g(x)的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证.

8.已知函数/(x)=e'+〃sinx,则下列说法正确的是()

A.当〃=一1时，/(外在((),+?)单调递增

B.当〃二一1时，〃x)在(0,7(0))处的切线为x轴

C.当〃=1时，/(力在(一兀,0)存在唯一极小值点且一1</(毛)<0

D.对任意々>0,/(X)在(一兀,y)一定存在零点

【答案】AC

【分析】

结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案.

【详解】

对于A,当。=一1时，/(x)=ev-sinx,/z(x)=e'-cosx,

因为x«0,+8)时，e'>l,cosx<1,即所以/(x)在(0,+?)上单调递

增，故A正确；

对于B,当〃二一1时，/(x)=e'-sinx,/f(x)=e'-cosx,则

/(0)=e°-sin0=l,/(0)=e°-cos0=0,即切点为(0,1),切线斜率为0,故切线

方程为y=l,故B错误；

对于C,当々=1时，/(A)=e'+sinx,/,(x)=ev+cosx,/*(x)=ev-sinx,

当-兀,0)时，sinx<0,ev>0>则/"(x)=e"-sinx>0恒成立，即

/'(x)=e'+cosx在(f,0)上单调递增,

一,卜e弓+cos（-中卜e弓一日，因为7-与、=e-^<e''<|,所以

广,,卜e号—等<0,所以存在唯一与《一子,—"，使得/（不）=0成立，

所以“X）在（-兀,题）上单调递减，在（天⑼上单调递增，即〃力在（-兀,0）存在唯一极

小值点小,

由/'(y)=e"+COSAT-)=°，可得

/(x0)=e*u+sinx0=-cosx0+sinx0=V2sin

因为一-—I,所以玉)一］£［一兀,一-—I,则

/\

/(x0)=%/2sin/―5G(-1,0),故C正确；

4J

对于选项D,/(x)=e'+tzsinx,XG(-TI,-K)O),

令/(人)二炉十“sin人=0,得一!二2口二，

ae'

/、sinx/\r,..-\/2sinx-—I

g(x)=——,XG(-7t,-H»),则“.cosx-sinj________I4J，

e'"erer

令g,x)=0，得sin工一：)=0,则x=E+：(攵之一LZeZ),

令g《x)v0，得sinx-->0,则XE2攵兀+工,2依+」(kN-l,kwZ),此时函

I4JV44J

数g(x)单调递减,

57rOTTIZ

令g<x)>0,得sinX--<0,则工£24兀4+—IGZ),此时函

I4；

数g(犬)单调递增,

所以x=2E+「~wZ)时，g(x)取得极小值，极小值为

sin2E十一sin—

《2&兀+午I4上£(A:>-1,/:GZ),

2^4—2^—

e4e4

.5兀

在g(x)的极小值中，gf-2n+—1=^=--最小，

I4)I4J

,(3兀)

当—兀，一二时，单调递减，所以函数的最小值为

X£I4g(x)g(x)

g3n

11

M<------<即OvacJEe片时，函数8(4)与>'=一;无交点，即/(x)在

=iClL_乂时，

V2c4

(一兀,包)不存在零点，故D错误.

故选；AC.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能

力与计算求解能力，属于难题.

9.已知函数/(x)=(x—2)/+a(x—l)2有两个零点，则。的可能取值是()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】CD

【分析】

求出/(X)的导数，讨论。的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出.

【详解】

解：•.•函数)(x)=(x-2)/+a(x-l)2,

/.//(X)=(x-l)eA+2tz(x-l)=(x-l)((?'4-2tz),

①若a=0,那么f(x)=()<=>(x-2)eA=0»x=2,

函数/(X)只有唯一的零点2,不合题意；

②若。>0,那么，+2〃>0恒成立，

当/<1时，ra)<o,此时函数为减函数；

当x>l时，/(x)>0,此时函数为增函数；

此时当x=l时,函数/(X)取极小值-e,

由/(2)=。>0,可得：函数“X)在x>l存在一个零点；

当xv1时，ex<e，x-2<-\<0.

•.f(x)=(x-2)e'+〃(刀-1)2>(X-2)^+6/(X-1)2

•y

令+6(1一1)-6=0的两根为八，t2,且4〈芍，

则当x</],或工>时，+e(x-l)-e>0,

故函数〃x)在x<1存在一个零点；

即函数/(x)在R上存在两个零点，满足题意；

③若一]<〃<(),则In(—加)vlne=l,

当x<ln(-24)时，x-l<ln(-2«)-l<ln^-1=0,

"+2〃<6阿-2")+2。=0，

即/'(6=(工-1)(炉+2)>0恒成立,故/(6单调递增,

当In(-加)<xvl时，工一1<0,/+2。>*(-2。)+2〃=0,

即r(x)=(x—1乂­+2〃)<0恒成立，故/(力单调递减,

当x>l时，x-l>0，ex+2a>en[-2a)+2a=0^

即/'("=*一。(，+2〃)>0恒成立，故/(“单调递增，

故当x=ln(-2a)时，函数取极大值，

由/(In(-2«))=[ln(-2cz)-2](-2tz)+f/[ln(-26Z)-l]2

=a1[ln(-2a)-2]~+l)<0

得：函数/(%)在R上至多存在一个零点，不合题意；

④若〃=—；,则In(-2〃)=1,

当x<l=ln(-2a)时，x-\<0,ex+2a<ein{~2{,)+2a=0，

即/'(力=(工一。卜'+2)>0恒成立，故单调递增,

当x>l时，x-1>0，>eln(~2fl)+2«=0，

即/(力=。-1乂/+2)>0恒成立,故“X)单调递增，

故函数/(x)在R上单调递增，

函数/(%)在R上至多存在一个零点，不合题意;

⑤若4<一],则hi(-2a)>hie=1,

当xv1时，x-l<(),ex+2a<en{~2(,]+2^z=0»

即r(x)=(xTd+2)>o恒成立,故〃x)单调递增,

当1cx<hi(—2a)时，x-l>0,《+2aveW-2“)+2a=o，

即r(x)=(x—1乂，+2〃)<0恒成立，故/(力单调递减,

当x>ln(-2。)时，X—1>0，e,+2a>KM-2“)+24=0，

即r(x)=(xf(/+2)>0恒成立,故/(X)单调递增，

故当工=1时，函数取极大值，

由/(1)=—e<0得：函数/(x)在R上至多存在一个零点，不合题意；

综上所述，。的取值范围为(0,