第十二章-角的平分线的性质同步练习

第十二章角的平分线的性质同步练习

2.卜列四种基本尺规作图分别表示，则对应选项中作法错误的是（

作一个角等于已知角

作一个角的平分线

作一条线段的垂直平分线

过直线外一点作P作已知直线的垂线

3.如图，用直尺和圆规作一个角的平分线，该作法的依据是

A.SSSB.SASC.ASAD.AAS

4.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（）

卞

D.X

5.如图，在RtZkABC中，48=90。，AO平分N84C,交BC于点D,DE1AC,垂足为

点E,若BO=3,则DE的长为（）

A

"c

BD

A.3B.|C.2D.6

6.如图，点C在N4。8的平分线上,。。1。4于点。，若CD=6,则点。到08的距离为

试卷第2页，总27页

B

O

B.4C.5D.6

7.如图，在Rta/IBC中，乙B=90°,/IO平分NBAC,交8c于点。，DELAC,垂足为

点E,若BD=3,则DE的长为（）

A.3C.2D.4

8,下列定理中有逆定理的个数是（）

①对角线互相平分的四边形是平行四边形；

②在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和；

③角平分线上的点到这个角两边的距离相等：

④矩形的对角线相等.

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.如图，在△48C中，44=90°,48=3,AC=4,乙4BC与44C8的平分线交于点0,

过点。作。0JL4B于点D,则力D的长为（）

A.V2B.2C.V3D.1

10.如图，用一把长方形直尺的一边压住射线。氏再用另一把完全相同的长方形直尺

的一边压住射线。4两把直尺的另一边交于点P，则射线00就是乙804的平分线的依

据是（）

A.等腰三角形中线、角平分线、高线三线合一

B.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等

C.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

D.在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上

11.如图，点P在乙40B的平分线上，PCJ.OA于点C,Z/10B=30。，点D在边OB上,且

OD=DP=2.则线段PC的长度为（）

A.3B.2C.lD,空

12.到三角形三条边的距离相等的点是三角形（）的交点.

A.三条中线B.三条角平分线

C.三条高D.三条边的垂直平分线

13.如图，在△4BC中，LC=90°,4。平分乙B47,/1B=5,CD=2,则△48。的面

积是（）

A.10B.5C.3D.无法确定

14.如图点。在△AB。内，且到三边的距离相等.若N80C=118。，贝叱力等于（）

试卷第4页，总27页

A

A.720B.620C.56°D.480

15.如图，一把直尺压住对线08,另一把完全一样的直尺压住射线0A并且与笫一把直

尺交于点P，小明说："射线0P就是NB0A的平分线.〃他这样做的依据是（）

A.角平分线上的点到这个角两边的距离相等

B.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上

C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等

D.以上均不正确

16.如图，点4,B,。在一条直线上，△480,ABCE均为等边三角形,连接4E和C0,

4E分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q,连接PQ,BM,下面结论：

①AABE三ADBC；②，。M/l=60°:③△bPQ为等边三角形：④M6平分4/1MC,

其中结论正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

17.如图，在由豆部E中，/密二则;/鑫能的平分线交羁f点感，若

疆落==攵，则^的面积为

D

C

A

18.如图，在△48。中，rC=90",｛。平分484C,交8c于点0,80:00=4:3,点0

到的距离为6.则BC等于

19.如图，在直角三角形4BC中，两锐角平分线力M、BN所夹的钝角乙408=

20.如图，4AOC=N3OC=15。，CD1OA,CE//OA,若CO=6,贝此£=

21.如图，点0在△/IBC内部，且到三边的距离相等，若4B0C=130。，则

Z.A=.

试卷第6页，总27页

22.如图，^.AOB=80°,CD±OA^D,CE工OB千E,且C£>=CE,则

乙DOC=.

23.如图，由境部E中，zC=90°,4D平分484C,48=5,CD=2,则西疝嬲的面积

是________

24.如图，ZC=9O°,AC=3,BC=4,4/lBC和乙8/1C的角平分线的交点是点D,则4

A80的面积为.

25.如图，△Z18C中，力。是角平分线，AC=4cm.DE1AB,E为垂足.DE=

3cm.则△/DC1的面积是

A

BC

cm2.D

26.如图，△Z18C中，AB=AC,284c=56。，484c的平分线与A8的垂直平分线交于

点0,将〃'沿（E1在8C上，”在4c上）折叠，点C与点0恰好重合，则乙OEC为

度.

27.如图，点P是4MON中一点，PA1OM于点4PBLON于点、B,连接AB,Z.PAB=

Z.PBA.求证：0P平分乙MON.

28.小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rta/BC中，4/1=90。,

8。平分N48C,M为直线4c上一点，MELBC,垂足为E,4AME的平分线交直线48

于占

A.

试卷第8页，总27页

（I）M为边4c上一点，则8D、MF的位置是_.请你进行证明.

（2）M为边4c反向延长找上一点，则80、MF的位置关系是_.请你进行证明.

（3）M为边4c延长线上一点，猜想80、的位置关系是_.请你进行证明.

29.尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）

已知公路m,公路ri以及两个城镇48的位置如图所示，现要修建一座信号发射塔，

按要求，发射塔到两个城镇A,B的距离相等，到两条公路m,九的距离也相等，发射

塔C应该建在什么位置?请用尺规作图找出其中一个符合条件的点.

30.如图，在△/18C中，AC=6,8c=4.

（1）用直尺和圆规作的角平分线CO,交4B于点D；

（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）

（2）在（1）所作的图形中，若△ACO的面积为3,求△BCD的面

31.如图所示，已知龙城.和两点瞄、勰,求作一点承，使得点承到显悬胸的两边

距离相等且感隙=，掇B

32.己知，在4通溜行中，々重=飘严，•梅?工郃.

（1）在8c上找一点凡使得点E到AB,AC的距离相等（尺规作图，保留痕迹）

（2）若々歌蜕^二修），求"?，的度数.

33.已知：如图所示，三条公路两两分别相交于点48、C,在甲区内求作一点P,使

点P到三条公路的距离都相等。

34.如图，在四边形718DC中，乙。=乙4BD=90°,点。为BD的中点，且力。平分乙B/1C.

试卷第10页，总27页

参考答案与试题解析

第十二章角的平分线的性质同步练习

一、选择题（本题共计16小题，每题3分，共计48分）

1.

【答案】

D

【考点】

线段垂直平分线的性质

作线段的垂直平分线

作角的平分线

【解析】

利用基本作图，前面三个作图40分别为三角形高线、角平分线和中线，第四个作了48

的垂直平分线，从而得到04=0B

【解答】

解：44。为8c边的高，该选项不符合题意；

B,AD为N8AC的平分线，该选项不符合题意：

C,。点为BC的中点，AD为BC边上的垂直平分线，该选项不符合题意：

D,点。为A8的垂直平分线与8c的交点，WA=DB,该选项符合题意.

故选0.

2.

【答案】

C

【考点】

作一个角等于已知角

作角的平分线

作线段的垂直平分线

经过一点作已知直线的垂线

【解析】

根据四种基本尺规作图的作法来判断即可.

【解答】

解•：A,根据作一个角等于已知角的作法可知，4是正确的；

8,根据作一个角的平分线的作法可知，8是正确的：

C，根据作一条线段的垂直平分线的作法可知，

应作两个交点，然后过这两点作直线，故C错误；

D,根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法可知，。是正确的.

故选C.

3.

【答案】

A

【考点】

作角的平分线

已知三边作三角形

已知两边及夹角作三角形

已知两角及夹边作三角形

【解析】

根据题意易知：OB=OA,BC=AC,OC=OC,因此符合5ss的条件.

【解答】

解：如图

O/A

解:连接BC,AC,

由作图知：在△0/C和AOBC中,

OA=OB

CO=CO

AC=BC

△OAC三X08c(55)

故选：A.

【答案】

【考点】

作角的平分线

三角形的内切圆与内心

【解析】

利用基本作图和三角形内心的定义进行判断.

【解答】

解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个角的平分线.

故选8.

【答案】

【考点】

角平分线的性质

【解析】

证明△ABD三4ED即可得出DE的长.

【解答】

解：；DELAC,

Z.AED=Z.B=90°,

•••4D平分WIC,

DE=BD=3.

故选A.

【答案】

【考点】

试卷第12页，总27页

角平分线的性质

【解析】

过点C作。P10B,由角平分线的性质可得，CD=CP,进而可得出结论.

【解答】

解：如图，过点C作CP108,

,.1点C在4A08的平分线上，且C0J.04CP10B,

/.CD=CP,

文:CD=6,

CD=CP=6,

即点C到OB的距离为6.

故选D.

7.

【答案】

A

【考点】

角平分线的性质

【解析】

证明△ABD三即可得出DE的长.

【解答】

解：•••DELAC,

Z.AED=z.B=90°,

・••/ID'F分4B4C,

DE—BD—3.

故选4.

8.

【答案】

C

【考点】

勾股定理

角平分线的性质

矩形的性质

平行四边形的性质

原命题与逆命题、原定理与逆定理

【解析】

根据平行四边形的性质、矩形的性质、角平分线的性质、勾股定理，结合命题与定理

的有关知识，对每一小题进行分析即可得出止确答案.

【解答】

解:①的逆定理：平行四边形是对角线互相平分的四边形，正确，符合题意：

②的逆定理：在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和的逆命题就是勾股

定理的逆定理，符合题意；

③的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线匕正确，符合题意；

④的逆定理：时角线相等的四边形是矩形，错误，等腰梯形的对角线也相等.

有逆定理的有①②③，共3个，

故选C.

9.

【答案】

D

【考点】

勾股定理

角平分线的性质

三角形的面积

平行四边形的性质与判定

【解析】

过。作。再结合角平分线的性质证明四边形4。。尸是正方形，进而可

得40=00,再利用勾股定理计算出BC长，然后再利用三角形ABC的面积求D。长，进

而可得4。长.

【解答】

解：过。作。E1C8,0F1AC,连接。4

又丁41BC与，力CB的平分线交于点。，

0D=0E,0E=0F.

：.0D=OF.

,.1LBAC4-Z.0DA=180%Z.BAC+LOFA=180%

/.AF//OD,AD//OF,

四边形/IDOF是平行四边形，

AD=OF,^\AD=CD,

---Z.BAC=90°,AB=3,AC=4,

/.BC=>JAB2+AC2=5,

ABC=_x3x4=6,

设。。=的贝忏。=£。=%,

-x3x+-x4x+-x5x=6,

222

解得：X=1,则0。=1,

/.AD=1

试卷第14页，总27页

故选D.

10.

【答案】

D

【考点】

角平分线的性质

【解析】

过两把直尺的交点P作PE_L4。，PF1BO,根据题意可得PE=PF,再根据角的内部

到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分N40B.

【解答】

解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE_L4。，PF1BO,

两把完全相同的长方形直尺，PE1AO,PFLBO,

/.PE=PF,

OP平分乙408（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.），

故选D.

11.

【答案】

C

【考点】

含30度角的直角三角形

角平分线性质定理的逆定理

【解析】

过点P作PE;o8于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PC,再根据

直角三角形30。所对的边等于斜边的一半可得

【解答】

解：如图，过点P作PEJ.OE于E,

^AOB=30°点P在△/1。8的平分线上，

Z.AOP=POB=15°

OD=DP=2

20PD=乙POB=15°

/.Z.PDE=30°

1

PE=-PD=

：OP^-^z.AOB,PC1OAfPE1OB

PC=PE=

故选：c.

12.

【答案】

B

【考点】

三角形的角平分线

角平分线性质定理的逆定理

【解析】

到三角形三条边距离相等的点是三角形的内心.

【解答】

解：到三角形三条边距离相等的点是三角形的内心，即三个内角平分线的交点.

故选：B.

13.

【答案】

B

【考点】

角平分线性质定理的逆定理

【解析】

过D作。EJ.718于E,根据角平分线性质求出0E,根据三角形面积公式即可求出答案.

【解答】

解：过。作0E1AB于E,

4-

乙C=90°

DC±AC

：平分•••BAC,CD=2

CD=DE=2

11

5△ABD=-xABxDE=-x5x2=5

乙乙

故选：B.

14.

【答案】

C

【考点】

三角形内角和定理

角平分线性质定理的逆定理

【解析】

先根据三角形内角和定理求出乙OBC+40C8度数，再根据点。到△48c三边距离相等,

得出。8,OC是角平分线.从而可求出NA8C+乙1C8度数，最后由三角形内角和定理

即可求出乙4度数.

【解答】

解：•••z.BOC=118%

:.Z.OBC+Z.OCB=180°-Z.BOC=180°-118°=62°.

•••点。到△ABC三边距离相等，

08平分Z48C,。。平分乙力C8,

•••/.ABC=2/.OBC,Z.ACB=2/.OCB,

:.乙ABC+LACB=2(4OBC+乙OCB)=2x62°=124%

二Z.A=180°-(Z.ABC+Z.ACB)=180°-124°=56°.

故选C.

15.

试卷第16页，总27页

【答案】

B

【考点】

角平分线性质定理的逆定理

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：完全相同的尺子，等宽，点P到角的两边距离是尺子宽度，

所以0P是角平分线，

所以利用的是用的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线匕

故选8.

16.

【答案】

D

【考点】

等边三角形的性质与判定

全等三角形的性质与判定

角平分线性质定理的逆定理

【解析】

由等边三角形的性质得出48=08,/.ABD=/.CBE=60°,BE=BC,得出=

/.DBC,由SAS即可证出△ABE三△DBC：

由△4B£1三△D8C,得出乙根据三角形外角的性质得出4DM4=60°：

由4S4证明AABP三ZkOEQ,得出对应边相等BP=8Q,RJ可得出△8PQ为等边三角形;

证明P、B、Q、M四点共圆，由圆周角定理得出乙BMP=NBMQ,即MB平分44MC.

【解答】

解：:AABD,aBCE为等边三角形，

AB=DB,Z.ABD=Z.CBE=60°,BE=BC,

乙ABE=4DBC,Z.PBQ=60°.

在MBE和AMC中，

AB=DB,

Z.ABE=乙DBC,

(BE=BC,

LABE三△DBC(S4S),

①正确；

LABE=△DBC,

Z.BAE=Z.BDC,

•：Z.BDC+乙BCD=180°-60°-60°=60°,

/.DMA=Z.BAE+乙BCD=乙BDC+乙BCD=60°,

「•②正确；

在△48P和4OSQ中，

Z.BAP=乙BDQ,

AB=DB,

(乙ABP=乙DBQ=60°,

/.^ABP^ADBQ(ASA),

BP=BQ,

△BPQ为等边三角形，

③正确；

如图所示，作BQLCD,

AB=BD,

1Z.EAC=Z.BDC,

^Z.AFB=乙CQB,

：.^ABF^^DBG（AAS）,

:.BF=BQ,

MB平分N4MC,

：,④正确.

综上所述：正确的结论有4个.

故选0.

二、填空题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）

17.

【答案】

5

【考点】

角平分线性质定理的逆定理

【解析】

作ED_L/1C,垂足为。，根据角平分线的性质，可以求出的长度，即可求出△4CE

的面积.

【解答】

解：如图

作EDJ.4C,垂足为0

由题意可得AE是乙84C的角平分线，乙B=90°

EB=E。（角平分线的性质）

BE=2,AC=5

11

S^ACE=2ED-AC=-x2x5=5

故答案为：5

18.

【答案】

14

【考点】

角平分线性质定理的逆定理

【解析】

试卷第18页，总27页

先根据角平分线的性质得出的长，再由BD:DC=4:3求出BD的长，进而可得出结论.

【解答】

解：在△力8C中，AC=90%4。平分NB4CCBC于点。，点。到48的距离为6,

CD=6

BD'.DC=4:3

BD=8

8c=6+8=14

故答案为：14.

19.

【答案】

135

【考点】

角平分线性质定理的逆定理

直角三角形的性质

余角和补角

【解析】

根据直角三角形的性质得48c++NA8C=9()。o,角平分线的性质得到2sM+

乙NBC=45,再结合题意即可解得

【解答】

△A8C是直角三角形，

Z.BAC+乙ABC=90°

又：AM,8N为4B/lCZiABC的角平分线，

/.CAM+Z.NBC=45

Z.AOB=180°-(/.CAM+Z.NBC)=135°

/.AOB=135°

故答案为：135

20.

【答案】

12

【考点】

角平分线性质定理的逆定理

含30度角的直角三角形

【解析】

根据角平分线的性质得出CF=CD=6,根据平行线求出zCEF,再根据含30。角的直角

三角形的性质得出即可.

【解答】

解：过。作:CFL08于F,

：CE10A,

2CEF=Z.AOB=15°+15°=30°

2CE=90°

/.CE=2CF=2x6=12

故答案为：12.

21.

【答案】

80°

【考点】

角平分线性质定理的逆定理

【解析】

由条件可知B。、C。平分2A8C和△ACB,利用三角形内角和可求得24

【解答】

解：点。到△48。三边的距离相等，

/.B。平分NABC,C。平分NACB,

/.Z.A=180°-(/.ABC+Z.ACB)

=180°-2(408。+40C8)

=180°-2x(1800-HOC)

=180°-2x(180°-130°)

=80°.

故答案为：80°.

22.

【答案】

40°

【考点】

角平分线性质定理的逆定理

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：CD1OA,CE10B,CD=CE,

0。平分乙40B.

又4。/?=80°,

4DOC=：乙408=4。°.

2

故答案为：40°.

23.

【答案】

5

【考点】

角平分线性质定理的逆定理

角平分线的性质

【解析】

根据角平分线的性质求出DE,根据三角形的面枳公式计算即可：

【解答】

如图：作。E1AB于点E,

力。平分24C,4C=90°,DE1AB

试卷第20页，总27页

DE=DC=2

AB=5

△48D的面积=^xABxDE=5

故答案为：5.

)D

C

24.

【答案】

2.5.

【考点】

角平分线性质定理的逆定现

【解析】

连接CO,过。作OE_L4£t于E,。/14C于凡DGLBC于,6.根据勾股定理求出48,

根据角平分线的性质得到DE=DF=ODC根据三角形

的面积公式计算，得到答案

【解答】

解：连接CD,作OE1AB于••••£,。/1力(；于下,。618。于6,

由勾股定理得，AB=y/AC24-BC2=V32+42=5

点0是:4A8C和。的角平分线的交点，DE1AB.DF1AC,DG1BC

DE=DF=DG

1111

-xABxDE+-xACxDF+-xBCxDG=xACxBC

2222

即工x5xDE+工X3XDF+1X4XDG=2X3X4

2222

解得：DE=

：.△ABD的面积为：|x5x1=2.5

故答案为：2.5.

Fl-

25.

【答案】

6

【考点】

角平分线性质定理的逆定理

角平分线的性质

【解析】

作辅助线通过角平分线性质得Of=DE再利用三角形面积公式即可求出△4DC的面积.

【解答】

解：过点。作0F_L4C与点尸，如下图

4。是角平分线，DE1AB,DE=3cm,

DE=DF=3,

又力。=4

△40C的面积=3x4+2=6cm2

B\C

26.

【答案】

112.

【考点】

角平分线性质定理的逆定理

【解析】

连接。B、0C,根据角平分线的定义求出484。=28。，利用等腰三角形两底角相等求

出4/lBC,根据线段垂直平分线上的点到

两端点的距离相等可得。4=。8,再根据等边对等角求出乙。84然后求出NOBC,再

根据等腰三角形的性质可得OB=0C,然

后求出NOCE,根据翻折变换的性质可得OE=CE,然后利用等腰三角形两底角相等列

式计算即可得解.

【解答】

如图，连接OB、0C,

B-

0A平分；ABAC,M1BAC=56°

11

/.BAO=-Z.BAC=-x56°=26°

22

AB=AC,Z.EAC=56°

/.ABC=1(180°-Z.BAC)=1x(180°-56°)=62°

：。。垂直平分AB,

/.OA=OB

Z.OBA=2BAO=28°

208C=4ABC-Z.OBA=62°-28°=34°

由等腰三角形的性质，03=0C

Z-OCE=Z.OBC=34'

2c沿Er(E在BC上，F在AC上)折叠，点。与点。恰好重合，

OE=CE

20EC=1800-2x34°=12°

故答案是：112.

三、解答题(本题共计8小题，每题10分，共计80分)

27.

【答案】

证明：:乙PAB=iPBA,

/.PA=PB,

"/PA1OM于点4PBJ.ON于点B,

/.OP平分乙MON.

【考点】

角平分线性质定理的逆定理

【解析】

先根据等腰二角形的判定得到PA=P"，然后根据角平分线的性质定理的逆定理得到距

离.

【解答】

证明：：乙PAB=4PBA,

/.PA=PB,

•/PAJ.OM于点4PBtON于点、B,

OP^-^Z.MON.

28.

试卷第22页，总27页

【答案】

(1)BDHMF,理由详见解析；

(2)BD1MF,理由详见解析；

(3)BDLMF,理由详见解析.

【考点】

角平分线性质定理的逆定理

余角和补角

同位角、内错角、同旁内角

直角三角形的性质

平行线的判定

【解析】

(1)根据直角三角形的性质和平行线的判定即可得到答案

(2)根据直角三角形的性质和角平分线的性质，及直角三角形的判定即可得到答案

(3)根据直角三角形的性质和角平分线的性质，及垂直的判定即可得到答案

【解答】

(1)BDIIMF.

理由如下：AA=90°ME1BC

ABC+Z-AME=360°-90°x2=180°

：8D平分L4BC,MF平分L4ME,

11

Z.ABD=-Z.ABC/.AMF=-Z.AME

22

/.ABD+Z.AMF=1(2AC+4-/IMF)=900。

又上AFM+Z.AMF=90"

/.•••ABD=Z.AFM

.BDHAF

(2)BD1MF.

理由如下：AA=90°ME1BC

B

B

图①图②图③

...:.ABC+2C=LAME+ZC=90°

:.ABC=Z.AME

：8D平分L4BC,MF平分LAME,

Z.ABD="MF

2ABD+Z.ADB=90°

/.Z.AMF+Z.ADB=90'

BDIMF；

(3)BDIMF.

理由如下：AA=90°MF1BC

Z.ABC+Z.ACB=LAME4-Z.ACB=90"

…ABC=Z.AME

：BD平分L4BC,MF平分LAME,

乙ABD=Z.AMMF,

Z.AMF+zF=90°

二.乙ABD+乙F=90°

.BD1MF

29.

【答案】

见解析

【考点】

线段的垂直平分线的性质定理的逆定理

线段垂直平分线的性质

角平分线性质定理的逆定理

经过一点作已知直线的垂线

作角的平分线

【解析】

利用角平分线的性质以及作法和线段垂直平分线的作法与性质分别得出即可.

【解答】

解：如图所示：G，Q即为所求.

30.

【答案】

<1）作图见解析：

（2）2.

【考点】

作角的平分线

角平分线性质定理的逆定理

角平分线的性质

【解析】

（1）以点C为圆心，任意长为半径画圆交。小