第02讲 中心对称与中心对称图形（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）

第02讲中心对称与中心对称图形

工Lm【学灯目标】

i.掌握中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系；

2.掌握关于原点对称的点的坐标的特征，以及如何求对应点的坐标；

3.探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和

旋转的组合进行图案设计。

知钠点梳理1

知识点1中心对称（两个图形）

1.概念

把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合，那么就

说这两个图形关于这个点对称或中心对称；

2.性质

（1）关于中心对称的两个图形是全等形。

（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心

平分。

（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

3.判定

如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形

关于这一点对称。

4.作图步骤：

（1）连接原图形上所有的特殊点和对称中心。

（2）将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对

称中心的距离相等。

（3）将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形

5.中心对称图形(一个图形)

把一个图形绕某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重

合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。

知识点2点坐标对称

L关于原点对称的点的特征

两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P(x,y)关于原点为对

称点为P'(-X,-y)

2.关于x轴对称的点的特征

两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P(x,y)

关丁x轴的对称点为P，(x,-y)

3.关于y轴对称的点的特征

两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P(x,y)

关于y轴的对称点为P'(-x,y)

三目【总例今布】

【题型1中心对称图形】

【典例1】(2023•淮北一模)下列图形中，是中心对称图形的是()

【答案】B

【解答】解：A、C、。选项旋转180度不能够与原图形重合，故不是中心对

称图形，

故选:B.

【变式1-1]（2022秋•铁锋区期末）下列平面直角坐标系内的曲线中，既是中

心对称图形，也是轴对称图形的是（

【答案】B

【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意;

8、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意;

C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意;

。、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意;

故选：B.

【变式（2022秋•河东区期末）下列图形是中心对称图形的是（）

A.C?

C.

【答案】D

【解答】解：选项A、B、。中的三个图形都不是中心对称图形,

【变式2・1】（2022春•镇江月考）如图，线段A8与线段CO关于点P对称，若

点A（3,3）、8（5,1）、。（・3,-1）,则点C的坐标为（）

C

A.(-3,-3)B.(-1,-3)C.(-4,-2)D.(-2,-4)

【答案】B

【解答】解：・.・8(5,1)、。(・3,-1)关于点尸对称，

・••点P的坐标为（1,0）.

设点C（x,y）,

VA（3,3）,

・,•曲=1,空=0,

22

・”=-1,y=-3.

：.C（-1,-3）.

故选：B.

【变式2-2]（2022春•安吉县期末）如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与

△48G关于E点成中心对称，点A,B,C的对应点分别为4,Bi,Ci,则

对称中心七点的坐标是（）

A.(3,-1)B.(0,0)C.(2,-1)D.(-1,3)

【答案】A

【解答】解：如图，连接AAi、CCi,则交点就是对称中心E点.

故选：A.

【变式2-3]（2021秋•黔西南州期中）如图，八人公。与B'C关于点。

成中心对称，有以下结论：①点A与点4,是对称点；®BO=B'O；③AB

〃4'B'；④NACB=NC'A'Br.其中正确结论的个数为.

【答案】3_1

【解答】解：:•△/SC与夕C关于点O成中心对称，

A/\ABC^/\AfB'C,

.••点A与点4'是对称点，BO=B'。，AB//A14，

故①©③正确，

故答案为：3个.

【典例3】（2022秋•广宗县期末）如图是一个中心对称图形，A为对称中心,

若NC=90°,ZB=30°,AC=1,则88,的长为（）

A.4B.返C.D.

333

【答案】A

【解答】解：•・•在RtZ\ABC中，ZB=30°,AC=1,

：.AB=2AC=2f

：.BB'=2A8=4.

故选：A.

【变式3-1]（2022秋•度门期末）如图，在△ACB中，ZC=90°,AB=10,

AC=8,。是AC的中点，点B,E关于点D成中心对称,则AE的长为.

【答案】6

【解答】解：在△AC8中，ZC=90°,48=10,AC=8,则由勾股定理知:

Z?C=VAB2-AC2=V102-82=6•

・・・。是AC的中点，点8,E关于点。成中心对称，

.:△AOE与△C08关于点O成中心对称，

.\AE=BC=6.

故答案为：6.

【变式3-2]（2022秋•宝山区期末）如图，已知点O是矩形ABC。的对称中心，

E、产分别是边A。、BC上的点，且关于点。中心对称，如果矩形的面积是

22,那么图中阴影部分的面积是.

【答案】山

【解答】解：在矩形ABC。中，OA=OC.AD//CB,

：.ZEAO=ZFCO,

在△E4O与△尸C。中，

，ZEAO=ZFCO

«OA=OC，

ZEOA=ZFOC

：./\EOA^/\FOC（ASA）,

••S阴极就分=538。。=」6'矩形48C/）=2X22=5.5,

44

故答案为：5.5.

【变式3-3]（2022•南京模拟）如图，4ABC与△。石C关于点C成中心对称,

若A5=4,贝I]QE=.

V

D

【答案】4

【解答】解：,••△A8C与△。七C关于点C成中心对称，

：.CA=CD,CB=CE,

•・,NACB=/DCE,

・••△ABgADEC（SAS）,

：.AB=DEf

・・・A8=4,

.e.DE=4,

故答案为:4.

【典例4】（2022春•连城县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边

形048c的顶点A在x轴上，定点B的坐标为（8,4）,若直线经过点力12,

0），且将平行四边形0A8C分割成面积相等的两部分，则直线。£的表达式

A.y=x-2B.y=2x-4C-y=-r-x-lD.y=3x-6

【答案】A

【解答】解：:点6的坐标为（8,4）,

，平行四边形的对称中心坐标为（4,2）,

设直线DE的函数解析式为），="+乩

则（4k+b=2,

2k+b=0

解得（『1,

lb=-2

・,・直线OE的解析式为y=x-2.

故选：A.

【变式4-1]（2021秋•梁子湖区期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边

形。4BC的顶点A在x轴上，顶点8的坐标为（8,6）.若直线/经过点12,

0）,且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线/对应的函数

解析式是（）

A.y=x-2B.y=3x-6C.y=yx-3D.y=^-x^A

【答案】C

【解答】解：•・•点B的坐标为（8,6）,

・•.平行四边形的中心坐标为（4,3）,

设直线/的函数解析式为），=履+6（％#0）,

将（2,0）,（4,3）代入，可得0k+b=O,

4k+b=3

解得广-2,

b=-3

，直线/的解析式为）=Ml3.

2

故选：C

【变式4-2]（2022秋•汇川区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，国QA3C

的顶点B的坐标为（-4,2）,直线/：），=-m+〃恰好将忸0ABe的面积平

【解答】解:如图,连接。B.

（-4,2）,

・・・08的中点。（-2,1）,

・・•直线）,=-3叶平分四边形48co的面积，

2

・・・直线尸-_|x+b经过点。，

1=3+/?,

:.b=-2,

故答案为：-2

【典例5】（2022秋•栖霞市期末）如图，aAB。与△C。。关于O点成中心对

称，点E、尸在线段AC上，S.AF=CE.

求证：FD=BE,FD//BE.

【解答】证明：连接BF、DE,

・・•/\ABO与△CQ。关于O点成中心对称,

：.OB=OD,OA=OC.

*：AF=CE,

：.OF=OE.

・・・四边形3EO/是平行四边形，

:・FD=BE,FD//BE.

【变式5-1]（2021春•宽城区期末）如图，在△ABC中，AO是8c边上的中线,

/\A,BD与△ACO关于点D成中心对称.

（1）直接写出图中所有相等的线段.

（2）若AB=5,AC=3,求线段A。的取值范围.

【解答】解：(1)・・,AO是aABC的中线,

:・BD=DC,

,•,△48。与AAC力关于点。成中心对称

.'△A'BD咨4ACD,

:・BD=CD,AD=A'D,AC=A'B.

(2)・.・AQ=A'。，

：.AA,=2AD,

9：AC=A'B,AC=3,

：.A'B=3,

在△4TB中，AB-AlB<AA'<AB+A'B,即5-3V2AOV5+3.

：.\<AD<4.

【变式5-2](2022春•莲湖区期末)如图，在四边形A8CQ中，AD//BC,七是

CQ上一点，点。与点C关于点七中心对称，连接A£并延长，与3C延长线

交于点F.

(1)填空：E是线段CQ的中点，点4与点/关于点E成中心对

称,若AB=AO+BC,则△AB尸是等腰三角形.

(2)四边形A8CZ)的面积为12,求AAB/的面积.

【解答】解：(1)•・•点Q与点C关于点E中心对称,

・・・E是线段CO的中点，DE=E3

•:AD//BC,

:./D=/DCF,

在△AOE1与中，

rZD=ZECF

<DE=CE，

ZAED=ZFEC

:•△ADEQ4FCE(ASA),

；・AE=FE,AD=CF,

，点A与点尸关于点E成中心对称，

9

：AB=AD+BCf

则aAB尸是等腰三角形.

故答案为：中点，E,等腰；

(2)•:△ADEQXFCE、

・・.△AOE与△FCE面积相等，

A/\ABF的面积等于四边形ABCD的面积，

・・•四边形ABC。的面积为12,

•••△A8尸的面积为12.

【题型3点坐标的对称】

【典例6】（2022•孝南区一模）在平面直角坐标系中，点4（2,加）与点8

3）关于原点对称，则（）

A.m=3,n=2B.m=-3,n=-2C.m=3,n=-2D.m=-3,n=2

【答案】B

【解答】解：•・,点A（2,m）与点3（〃，3）关于原点对称，

*»m=~3,〃=-2,

故选：B,

【变式6-1]（2022秋•桃城区校级期末）己知点A（a+b,4）与点8（-2,a

-b）关于原点对称，则。与〃的值分别为（）

A.-3；1B.-1；3C.I；-3D.3；■I

【答案】B

【解答】解：•・•点A（。+〃，4）与点8（-2,a-b）关于原点对称，

.fa+b=2

••<

a-b=-4

解得卜二T.

lb=3

故选:B.

【变式6-2]（2022•新都区模拟）在平面直角坐标系中，点P（-2,-4）关于

原点对称的点的坐标是（）

A.（2,-4）B.（2,4）C.（-2,4）D.（-2,-4）

【答案】B

【解答】解：点P（-2,-4）关于原点对称的点的坐标是（2,4）,

故选：B.

【变式6-3]（2022秋•开封期末）已知点M（①b）在第二象限内，且同=1,

吻=2,则该点关于原点对称点的坐标是（）

A.（-2,1）B.（-1,2）C.（2,-1）D.（1,-2;

【答案】D

【解答】解：•・•〃（mb）在第二象限内,

：.a<0,QO,

又・・・同=1,\b\=2t

•»a=~1,b=2,

・••点M(-1,2),

・••点M关于原点的对称点的坐标是(1,_2).

故选：D.

【题型4图案设计】

【典例7】(2022秋•章贡区期中)在8X8的正方形网格中建立如图所示的平面

直角坐标系，已知A(2,-4),3(%-2).C是第四象限内的一个格点，

由点C与线段48组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形.

(1)填空：C点的坐标是,△ABC的面积是；

(2)将△ABC绕点C旋转180°得到△4BG,连接ABi、BAi,则四边形

A848的形状是何特殊四边形？.

(3)请探究：在坐标轴上是否存在这样的点P,使四边形480。的面积等于

△A8C面积的2倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】解：（1）根据题意点C坐标为（1,-1）,如图1.

SMBC=3X3--1X3X1--1X3X1-_1X2X2=4.

222

故答案为：(1,-1),4

y

(2)如图2,

・・,将△ABC绕点。旋转180°得到△4B1C],

AAi,C,A在同一直线上，Bi,C,8在同一直线上，A\C=AC,BiC=BC,

・•・四边形ABN归是平行四边形，

'：AC=BC,

，平行四边形ABiA山是矩形，

故答案为：矩形；

（3）存在.

由（1）知SAABC=4,贝IJS四边形ABOP=8.同（1）中的方法得S“5O=16-4-4

-2=6；

当P在x轴负半轴时，Swo=2,高为4,那么底边长为1,所以P（-1,0）；

当尸在），轴负半轴时，SMPO=2,高为2,所以底边长为2,此时P（0,-2）；

而当。在x轴正半轴及y轴正半轴时均不能形成四边形A80P；

故点P的坐标为（-1,0）,（0,-2）.

【变式7-2]（2022秋•沙河市期末）如图所示，三角形ABC和三角形A'"C

关于某一点成中心对称，一同学不小心杷黑水泼在纸上，只能看到三角形ABC

和线段8C的对应线段8'C,请你帮该同学找到对称中心0,且补全三角

形4'B'C.

【变式7-2](2022春•历城区期末)如图，正方形网格中，AAOC的顶点均在

格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：

(DAAiBiCi与△ABC关于坐标原点。成中心对称,则B\的坐标为.

(2)△AIBIG的面积为.

(3)将△A8C绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为4(-1,-2),

Bi(1,-3),C21(),-5),则旋转中心的坐标为.

【解答】解：(1)TB(-2,-2),

ABi(2,2).

故答案为：(2,2).

(2)的面积为：工义近X返=2.5

2

故答案为：2.5.

(3)根据旋转的性质，旋转中心在对称点的连线的垂直平分线上，所以两对

对称点的垂直平分线的交点就是旋转中心.

所以旋转中心的坐标为：（0，-1）.

故答案为：（0,-1）.

【变式7-3]（2022春•泗阳县期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1

个单位的正方形，建立如图所示平面直加坐标系，AABC的顶点均在格点上，

其中点4坐标为（1,-3）.

（1）以点B为旋转中心，画出绕点B顺时针旋转90°的△4SG；

（2）画△ABC关于点O对称的△AzBzCz；

（3）若平面内存在一点。，使A、B、C、。四点构成的四边形是平行四边形,

则点。的坐标为

4

【答案】（1）略（2）略（3）（3,0）或（7,-4）或（-1,-6）.

【解答】解：（1）如图，的即为所求；

（2）如图，△/hB2c2即为所求;

（3）点。的坐标为（3,0）或（7,-4）或（・1,-6）.

故答案为：（3,0）或（7,・4）或（・1,-6）.

2【/必信林】

1.（2023•辽宁）如所示图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.B.

【答案】B

【解答】解：A.该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；

B.该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；

C.该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；

n该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；

故选：B.

2.（2023•大庆）搭载神舟十六号载人飞船的长征二号尸遥十六运载火箭于2023

年5月30日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员开启“太空

出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度.下列图标中，其文字上方的图

案是中心对称图形的是（）

A.航天神州B.中国行星探测

中国火箭D,中国;

【答案】C

【解答】解：选项A、B、。都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°

后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形.

选项。能找到一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以

是中心对称图形.

故选：C.

3.（2023•凉山州）点户（2,-3）关于原点对称的点P'的坐标是（）

A.（2,3）B.（-2,-3）C.（-3,2）D.（-2,3）

【答案】D

【解答】解：点P（2,-3）关于原点对称的点P'的坐标是（-2,3）.

故选：D.

4.（2022•雅安）在平面直角坐标系中，点（a+2,2）关于原点的对称点为（4,

-b）,则ab的值为（）

A.-4B.4C.12D.-12

【答案】。

【解答】解：・••在平面直角坐标系中，点（〃+2,2）关于原点的对称点为14,

-b）,

/.得a+2=-4,-b=-2»

解得a=-6,b=2,

••ab=-12.

故选：D.

5.（2022•丹东）如图，在四边形ABCD中，AB//CD,AB=CD,对角线AC

与BD交于点。，点E是AD的中点，连接OE,AABD的周长为12cm则

下列结论错误的是（）

B.四边形ABCQ是中心对称图形

C.△E。。的周长等于3c7〃

D.若NA8C=90°,则四边形A8CQ是轴对称图形

【答案】C

【解答】解：VAB/7CD,AB=CD,

：.四功形4BCD是平行四功形，

・・•对角线AC与交于点。，点E是A。的中点，

・・・。6是的中位线，

/.OE//AB,

・,・A选项结论正确，不符合题意；

•/四边形ABCD是中心对称图形，

・・・8选项结论正确，不符合题意；

•••△A3。的周长为12cm,

/\EOD的周长等于6cmy

・,・C选项结论错误，符合题意；

若乙WC=90°,则四边形A8CZ）是矩形，是轴对称图形，

・・・。选项结论正确，不符合题意；

故选：C.

6.（2023•泸州）在平面直角坐标系中，若点P[2,-1）与点Q（-2,"2）关

于原点对称，则〃?的值是1.

【答案】1.

【解答】解：在平面直角坐标系中，若点尸（2,-1）与点。（・2,〃?）关

于原点对称，则〃7的值是1.

故答案为：1.

7.（2022•湘西州）在平面直角坐标系中，已知点P（-3,5）与点Q（3,m

-2）关于原点对称，则m=-3.

【答案】-3.

【解答】解：根据两个点关于原点对称，则横、纵坐标都是原数的相反数，

得2=-5,

：•〃!■=-3.

故答案为：-3.

售后双向】

1.（2023•利川市一模）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

XB*C毋R

【答案】A

【解答】解：A.是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；

B.是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意；

C.是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意；

D.是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意；

故选：A.

2.（2023春•晋江市期末）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对

称图形乂是中心对称图形的有（）

A.1个B.2个C.3人D.4个

【答案】C

【解答】解：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；

矩形是轴对称图形，是中心对称图形；

菱形是轴对称图形，是中心对称图形；

正方形是轴对称图形，是中心对称图形，

故选：C.

3.（2023春•南阳期末）平面直角坐标系内一点P（-4,3）关于原点对称的

点的坐标是（）

A.（3,-4）B.（4,3）C.（-4,-3）D.（4,・3）

【答案】。

【解答】解：•・•点尸（-4,3）,

・,・关于原点对称的点的坐标是（4,-3）,

故选：D.

4.（2022秋•鸡西期末）已知点P（2a+l,a-1）关于原点对称的点在第一象

限，则。的取值范围是（）

A.■▲或a<-AC.-l<a<\D.a>\

222

【答案】B

【解答】解：点尸（2。+1,a-\）关于原点对称的点（-2t/-1,-4+1）在

第一象限，

则卜2a考0,

-a+l>0

解得：a<--.

2

故选：B.

5.（2022秋•栾城区期末）如图，△ABC与B'C'关于O成中心对称,

下列结论中不成立的是（）

B.OA=OAr

C.BC=B'CD.ZABC=ZAfCB'

【答案】D

【解答】解：对应点的连线被对称中心平分，4,5正确；

成中心对称图形的两个图形是全等形，那么对应线段相等，C正确.

故选：D.

6.（2023•玉林一模）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发

沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F,则四边形AECF

形状的变化依次为（）

A.平行四边形一菱形一平行四边形一矩形

B.平行四边形一正方形一平行四边形一矩形

C.平行四边形一正方形一菱形一矩形

D.平行四边形一菱形一正方形一矩形

【答案】A

【解答】解：画图如下,

由图可知最后会与原有矩形重合，

，四边形AEC尸形状的变化依次为平行四边形一菱形一平行四边形一矩形，

故选：A.

7.（2022秋•广宗县期末）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若/C=

90°,ZB=30°,AC=\t贝IJB）的长为（）

【答案】A

【解答】解：•・•在RlZ\ABC中，ZB=30°,AC=1,

・"8=2AC=2,

：.BB'=2A8=4.

故选：A.

8.（2023•乾安县三模）如图，己知点A与点C关于点。对称，点3与点D也

关于点O对称，若BC=3,0。=4.则AB的长可能是（）

A.3B.4C.7D.11

【答案】C

【解答】C解析：•・,点A与点C关于点O对称，点6与点。也关于点。对

称，

：・OB=OD=4,AD=BC=3,

•；BD-AD<AB<BD+AD,

故选：C.

9.（2023春•徐汇区期末）如图，长为6,宽为3的矩形48CQ,阴影部分的面

【答案】9.

【解答】解：因为。为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面积的一

半，因为矩形面积为6X3=18,所以阴影部分的面积为9.

故答案为：9.

10.（2023春•玄武区期中）如图，将△A8C绕点C（0,-1）旋转180°得到

△A'夕C,若点力的坐标为（-4,-3）,则点A'的坐标为（4,1）.

【答案】（4,1）.

【解答】解：作A'E_Ly轴于点£,AQ_L），轴于点。，则NA'EC=/ADC,

11.（2022秋•北辰区校级期末）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若

ZC=90°,N8=30°,AC=3,则88’的长为12.

【答案】12.

【解答】解:•・•在RtZXABC中，ZB=30°,AC=3,

.,.A8=2AC=6,

・・・B与8关于A中心对称，

：.BB'=2A8=12.

故答案为：12.

12.（2023•未央区校级三模）有一块方角形钢板如图所示，如何用一条直线将

其分为面积相等的两部分.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：如图所示，有三种思路:

13.(2022春•江阴市校级月考)如图所示，已知线A8和点P,求作平行四边

形使点P是它的对称中心.

R

【答案】见试题解答内容

【解答】解：如答图所示.