广东省深圳市福田区香港中文大学附属明德高级中学2025-2026学年高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省深圳市福田区香港中文大学附属明德高级中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.对于零向量，下列说法正确的是（）A.零向量没有方向 B.零向量与任意向量的数量积等于零向量

C.零向量加零向量等于零 D.零向量的模等于零2.复数的虚部为（）A.i B.-i C.-1 D.13.已知向量、满足，，则向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.4.在非等腰△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若a=2，，则的值（）A.与角B的大小有关 B.与边b的大小有关 C.等于4 D.等于25.a,b表示直线，α表示平面，下列选项正确的是（）A.若a∥b,b⊂α则a∥α

B.若a∥α，b∥α，则a∥b

C.若a∥α，b⊂α，则a∥b

D.若a∩α=A，b⊂α，则b与a相交或异面6.降水量是指水平地面上单位面积的降水深度.用上口直径为40cm、底面直径为20cm、深度为40cm的圆台形水桶来测量降水量，如果在一次降水过程中用此桶接得的雨水恰好是桶深的，则与本次降雨的降水量最接近的选项为（单位：mm）（）A.70 B.80 C.90 D.1007.侧面展开图圆心角为的圆锥.它的侧面积为S，此圆锥过两条母线的截面面积的最大值为m.则等于（）A. B.2π C. D.4π8.平面向量，满足：，，向量满足，则（λ∈R）的最小值为（）A. B.2 C.2 D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列说法正确的是（）A.向量，不能作为平面内所有向量的一组基底

B.“”是“向量，的夹角是钝角”的充要条件

C.若非零向量与满足则△ABC是等腰三角形

D.O在△ABC所在平面内，且，则O是△ABC的外心10.下列命题正确的是（）A.△ABC中，内角为A，B，C．“A＞B“是“sinA＞sinB“的充要条件

B.z1∈C，z2∈C，若|z1|=|z2|，则

C.三棱锥四个面所在的平面把空间分成15部分

D.如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别为棱A1A、C1D1、C1C的中点，则过E、F、G三点的平面截正方体所得截面面积等于

11.在直三棱柱ABC-A1B1C1（如图）中，M、N分别是B1C1，A1B1的中点，AB=1，BC=2，AA1=2，，则下列正确的是（）A.直线BM与平面ACN平行

B.直线BM与直线CN异面

C.三棱锥A-BB1C1的体积等于

D.过C、M、N三点的平面截该棱柱所得两部分的体积比为3：4或4：3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在△ABC中，若，tan∠BAC=2，则△ABC的面积为

.13.“平面内，一个正三角形的内切圆和外接圆的圆心在高的某点处重合，将内切圆圆心与各顶点相连把正三角形分成三个面积相等的小三角形，利用面积关系可知内切圆半径等于正三角形高的三分之一，则外接圆半径等于高的三分之二.”类比上述问题的研究过程，若一个正四面体的高为，则这个正四面体外接球的体积为

.14.如图，平面四边形ABCD中，AB=1，AC=2，BD⊥BC，BD=2BC，则AD的最小值为

.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知平面上三点A，B，C满足=（2-k，3），=（2，4）

（1）若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k满足的条件；

（2）若△ABC为直角三角形，求实数k的值．16.(本小题15分)

已知复数z满足：z+3i为实数，且为纯虚数.

（1）求z；

（2）设，若z1在第二象限，求实数t的取值范围；

（3）若复数z是方程x2+mx+n=0（m,n∈R）的一个根，求m-n的值.17.(本小题15分)

如图，四边形A1ABB1是圆柱的轴截面，C是下底面圆周上一点，点D是线段BC的中点.

（1）证明：直线A1C∥平面AB1D；

（2）平面A1B1C∩平面ABC=l,求证：l∥A1B1；

（3）若CA=2，CB=4，BB1=2，求三棱锥A1-AB1D的体积.（提示：顶点相同，底面在同一平面内的两个棱锥的高相等；圆柱的任意母线都与它的底面垂直）18.(本小题17分)

如图，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,E是边BC的中点，点D在边AB上，且满足与CD交于点P.

（1）试用表示；

（2）设，求λ的值；

（3）若，求c.19.(本小题17分)

已知在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a,b,c.满足a2-b2=bc,

（1）若，求B；

（2）若△ABC是锐角三角形，求的取值范围.

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】AC

10.【答案】ACD

11.【答案】BC

12.【答案】2

13.【答案】

14.【答案】4-

15.【答案】解：（1）∵A，B，C三点不能构成三角形，∴三点A，B，C共线；

∴存在实数λ，使；

∴，解得．

∴k满足的条件是：k=．

（2）=（k，1）

∵△ABC为直角三角形；

∴若∠A是直角，则⊥，∴，∴k=-2；

若∠B是直角，则⊥，∴，解得k=-1，或3；

若∠C是直角，则，∴，解得k=8．

综上可得k的值为：-2，-1，3，8．

16.【答案】z=-2-3i

m-n=-9

17.【答案】（1）证明：连接A1B，令，连接DE，则E是A1B，AB1的中点，

在△A1BC中，D是线段BC中点，E是A1B的中点，

∴DE∥A1C，又DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，

∴直线A1C∥平面AB1D；

（2）证明：∵，A1B1⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，

∴A1B1∥平面ABC．

又A1B1⊂平面A1B1C，平面A1B1C∩平面ABC=l,

由线面平行的性质定理得：l∥A1B1；

（3）解：设点C到平面AA1B1的距离为h1，

∵点C在底面圆上，∴，

∵CA=2，CB=4，BB1=2，D是BC的中点，

∴，AA1=2，

∵A1ABB1是圆柱的轴截面，则C到AB的距离，即C到平面AA1B1的距离，

∴=====．

18.【答案】解：（1）∵，∴，

又E是BC的中点，．

（2）∵，∴，

又E是BC中点，则，

∵P、A、E三点共线，∴，∴．

（3），

设，

∴，

又P，C，D三点共线，所以，∴，，

∴，

又∵，

∴，∴c=3或c=-2（舍去），

故c=3．

19.【答案】解：（1）因为a2-b2=bc,所以a2=b2+bc,

由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA，

所以b2+bc=b2+c2-2bccosA，即b=c-2bcosA，

所以由正弦定理，得sinB=sinC-2sinBcosA，

因为C=π-（A+B），所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，

所以sinB=sinAcosB-cosAsinB，即sinB=s