广东省深圳市罗湖区2025-2026学年高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省深圳市罗湖区高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=(−1,4]，B={x|x2>9}，则A∩B=A.(3,4] B.[−3,4] C.(−1,3] D.(−3,−1)2.若复数z满足z(1+i)=1，其中i为虚数单位，则|z|=(

)A.1 B.22 C.23.已知平面向量a=(1,−2)，b=(2,t)共线，则实数t的值为(

)A.1 B.−1 C.−4 D.−4.已知抛物线y2=4x的焦点为F，点P在抛物线上，且|PF|=5，则P的横坐标为(

)A.2 B.4 C.5 D.65.下列函数为奇函数，且在(1,+∞)上单调递增的是(

)A.f(x)=x(x−1) B.f(x)=sinxcosx C.f(x)=x−1x 6.已知数列{an}与{bn}分别满足an=A.0 B.1 C.2 D.无数个7.将一个边长为1的正方形C1各边中点依次连接，得到一个新正方形C2，再将C2中点依次连接得到正方形C3，如此重复.记正方形Cn的周长为aA.22 B.1 C.28.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，P是C上一点A.12 B.13 C.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.为调查某校高二年级学生的每日睡眠时间(单位：小时)，现随机抽取100名学生，记录其睡眠时间并绘制频率分布直方图(如图).根据以上信息，下列说法正确的是(

)A.样本中睡眠时间在[7.5,8)内的人数约为30

B.样本中睡眠时间的众数约为7.75

C.样本中睡眠时间的中位数落在区间[7.5,8)内

D.若将样本中睡眠时间为[7.5,8)内的数据去掉，则剩余数据的方差将变小10.已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，α∩β=l，m⊂α，则下列说法正确的是(

)A.若m//l，则m//β B.若m⊥l，则m⊥β

C.平面β内存在与m异面的直线 D.平面β内存在与m垂直的直线11.已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)，则下列说法正确的是(

)A.f(x)的最大值为2

B.若f(x)的最小正周期为π，则ω=2

C.若f(x)的一个对称中心为(−π4,0)，则ω=1

D.若f(x)在区间(0,三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在二项式(2x−1x)6的展开式中，常数项为

13.已知圆O：x2+y2=4与圆M：(x−2)2+(y−2)2=r214.在△ABC中，D为BC边的中点，BC=2，AD=2，则cosA的最小值为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an−2(n∈N∗)．

(1)求数列{a16.(本小题15分)

如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=1，∠ABC=90°，PA=2．

(1)求证：BC⊥平面PAB；

(2)求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值．17.(本小题15分)

已知函数f(x)=ex−ax(a∈R)．

(1)讨论函数f(x)的极值点的个数；

(2)若xf(x)≥a(lnx−x2+x)18.(本小题17分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长是虚轴长的2倍，焦距为25．

(1)求C的标准方程；

(2)设A，B是C上关于y轴对称的两点，P是C上异于A，B的一点.直线PA，PB的斜率均存在且不为0，且分别与y轴交于M，N两点．

(i)若A，B在x轴上，求19.(本小题17分)

一箱子中共有5件大小形状质地完全相同的产品，其中3件次品，2件正品.从箱子中一次随机取出两件产品进行检测，如果检测出的产品是正品，则将它放回箱子中：如果检测出的产品是次品，则不放回箱子中，另补相同数量的正品放入箱子中.重复进行上述操作n次后，箱子中正品的件数记为Xn．

(1)求恰好2次操作后，箱子中产品全为正品的概率；

(2)求随机变量X2的分布列；

(3)求E(X1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】ABC

10.【答案】ACD

11.【答案】ABD

12.【答案】−160

13.【答案】2

14.【答案】1315.【答案】解：(1)数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an−2(n∈N∗).①

当n=1时，S1=a1=2a1−2，

解得：a1=2．

当n≥2时，Sn−1=2an−1−2②，

①−②得：an=2an−2an−1，

则：an=2an−1，

即：anan−1=2(常数16.【答案】(1)证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

所以PA⊥BC，

由∠ABC=90°，知AB⊥BC，

又PA∩AB=A，PA、AB⊂平面PAB，

所以BC⊥平面PAB．

(2)解：以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴，作Bz//PA，建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，P(1,0,2)，

所以PA=(0,0,−2)，PC=(−1,1,−2)，BC=(0,1,0)，

设平面PAC的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅PA=−2z=0n⋅PC=−x+y−2z=0，

取n=(1,1,0)，

设平面PBC的法向量为m=(a,b,c)，则m⋅PC=−a+b−2c=0m⋅BC=b=0，

取m=(2,0,−1)，

设平面PAC17.【答案】解：(1)已知函数f(x)=ex−ax且定义域为R，求导得f′(x)=ex−a，

当a≤0时，ex>0≥a，所以f′(x)>0恒成立，

函数f(x)在R上单调递增，无极值点，即极值点个数为0，

当a>0时，令f′(x)=0，解得x=lna，

当x<lna时，f′(x)<0，函数f(x)在(−∞,lna)上单调递减；

当x>lna时，f′(x)>0，函数f(x)在(lna,+∞)上单调递增，

所以f(x)在x=lna处取得极小值，极值点个数为1，

综上所述：当a≤0时，极值点个数为0，

当a>0时，极值点个数为1；

(2)由xf(x)≥a(lnx−x2+x)，得x(ex−ax)≥alnx−ax2+ax，

化简得xex−ax2≥alnx−ax2+ax，即xex≥a(lnx+x)，

令t=xex，x∈(0,+∞)，且函数y=xex求导得y=(x+1)ex>0，

所以y=xex在(0,+∞)上单调递增，其值域为(0,+∞)，即t∈(0,+∞)，

注意到lnx+x=lnx+lnex=ln(xex)=lnt，

等价于：对任意t∈(0,+∞)，都有t≥alnt恒成立，

当t=1时，即1≥0，此时a为任意实数均成立，

当t>1时，lnt>0，不等式等价于a≤tlnt，

设h(t)=tlnt(t>1)，则h′(t)=lnt−1(lnt)2，

当1<t<e时，h′(t)<0，h(t)在(1,e)上单调递减，

当t>e时，h′(t)>0，h(t)在(e,+∞)上单调递增，

所以h(t)在t=e处取得极小值(也是最小值)，即h(t)18.【答案】(1)解：实轴长2a，虚轴长2b，焦距2c=25得c=5，

实轴长是虚轴长2倍得2a=2×2b，即a=2b，

因为c2=a2+b2，所以(5)2=(2b)2+b2⇒5=5b2⇒b2=1,a2=4，

所以C的标准方程是x24−y2=1；

(2)(i)解：令y=0，得x=±2，故A(2,0)，B(−2,0)．

设P(x0,y0)在双曲线上：x024−y02=1，y0≠0，

斜率kPA=y0x0−2，直线PA方程y=y0x0−2(x−2)，

令x=0，得M纵坐标：yM=−2y0x0−2，

斜率kPB=y0x0+2，直线PB方程y=y0x0+2(x+2)．

令x=0，得N纵坐标：yN=2y0x0+2，

|MN|=|2y0x0+2+2y0x019.【答案】解：(1)设第一次操作后正品数增加i件，第二次增加j件，

初始正品数为2，要使恰好2次操作后全为正品(即正品数为5)，则需满足i+j=3，

因为每次最多增加2件正品，所以有两种情况：

情况一：i=1，j=2，

第一次取出1正品1次品，概率P11=C21C31C52=610=35，此时箱中有3正品2次品，

第二次取出2件次品，概率P12=C22C52=110，

此路径概率为35×110=350；

情况二：i=2，j=1，

第一次取出2件次品，概率P21=C32C52=310，此时箱中有4正品1次品，

第二次取出1正品1次品，概率P22=C41C11C52=410=25，

此路径概率为310×25=650，

所以，恰好2次操作后全为正品的概率为350+650=950；

(2)由题设X2的可能取值为2，3，4，5，

当X2=2时，两次都取2正品，则P(X2=2)=110×110=1100，

当X2=3时，分两种路径，

先取2正品(概率110)，再取1正品