中科大机械设计基础备课讲义07平面弯曲梁的强度计算

PAGEPAGE4七、平面弯曲梁的强度计算在研究了平面弯曲梁的内力之后，从剪力图和弯矩图上可以确定发生最大剪力和最大弯矩的危险截面。剪力是由横截面上的切应力形成，而弯矩是由横截面上的正应力形成。实验表明，当梁比较细长时，正应力是决定梁是否破坏的主要因素，切应力则是次要因素。因此，本节着重研究梁横截面上的正应力。1纯弯曲时梁的正应力梁在AC和DB两段内，横截面上既有弯矩又有剪力，这种弯曲称为剪切弯曲；在梁的CD段内，横截面上只有弯矩没有剪力，且全段内弯矩为一常数，这种弯曲称为纯弯曲。梁在AC和DB两段内，横截面上既有弯矩又有剪力，这种弯曲称为剪切弯曲；在梁的CD段内，横截面上只有弯矩没有剪力，且全段内弯矩为一常数，这种弯曲称为纯弯曲。取CD段为研究对象：纯弯曲时梁的变形为：(1)梁变形后，横向线I-I和II-II仍为直线且与梁的轴线垂直，但倾斜了一个角度；(2)纵向线ab缩短了，而cd伸长了。※梁纯弯曲时的平面假设：横截面变形前为平面，变形后仍为平面，且仍垂直于梁的轴线，但旋转了一个角度。※据此可知梁的各纵向线受到轴向拉伸和压缩，因此横截面上只有正应力。由于材料是均匀连续的，所以变形也是连续的，于是由压缩过渡到伸长之间，必有一条纵向线OO′的长度保持不变。若把OO′纵向线看成材料的一层纤维，则这层纤维既不伸长也不缩短，称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。设中性层的曲率半径为，纵向线到中性层的距离为，则纵向线的绝对伸长为：线应变为：是中性层的曲率，由梁及其受力情况确定，对于整个截面，它是一个常量。线应变的大小与其到中性层的距离成正比。由虎克定律得：※横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比。※在梁的横截面上任取一点K，并取微面积dA，设z为横截面的中性轴，K点到中性轴的距离为，若K点的正应力为，则微面积dA上的法向内力为。截面上各处的法向内力构成一个空间平行力系。由，而为截面对z轴的静矩，∵A≠0，∴说明横截面的形心在z轴上，即中性轴必通过横截面的形心。由,得：令，则——横截面对中性轴z的惯性矩——表示梁的弯曲程度(曲率)，愈大，梁弯曲愈甚。与成反比，所以表示梁抵抗弯曲变形的能力，称为抗弯刚度。讨论：中性轴上y＝0，故＝0y＝ymax时，＝max，即最大正应力产生在离中性轴最远的边缘上，※是在纯弯曲的情况下导出的，而一般的梁横截面上既有弯矩又有剪力，因此用上式计算应力就有误差，但当梁的跨度大于截面高度的五倍时，用上式计算应力的误差不到5%，因此在这种情况下上式是可以应用的。当<5时，也可近似地应用上式来计算，但要注意计算的结果偏低。2惯性矩的计算1、矩形截面，同理可得：2、圆形截面：(——圆截面直径)3、圆环形截面：(D——外径，d——内径)4、平行移轴公式：静矩，等于0设通过形心的惯性矩为，面积为A，则静矩，等于0证明：例题8.1（P146）1弯曲时的最大正应力对于等截面梁，弯曲时的最大正应力一定在弯矩最大的截面上(称为危险截面)的上、下边缘(边缘上的点称为危险点)。危险点的最大正应力为：令，则2抗弯截面系数是衡量截面抗弯能力的一个几何量，单位mm3或m3。矩形截面(宽为b，高为h)：圆形截面(直径为d)：圆环形截面(外径为D，内径为d，d/D=)3梁弯曲时的强度条件为了保证梁能安全地工作，必须使梁具备足够的强度。对等截面梁来说，最大弯曲正应力发生在弯矩最大的截面的上下边缘处．而上下边缘处各点的切应力为零，处于单向拉伸或压缩状态，如果梁材料的许用应力为[‘]，则梁弯曲正应力强度条件