福建恒一教育集团2025-2026学年第二学期四月联考高二数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建恒一教育集团2025-2026学年第二学期四月联考高二数学试卷一､单选题（每题5分，共40分）1.下列求导数运算正确的有（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依题意，.2.有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法有（）A.10种 B.20种 C.25种 D.32种【答案】C【解析】每位同学都有5种选择，则不同的报名方法有（种）．故选：C．3.已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（）A.3， B.，3 C.2， D.，2【答案】A【解析】将代入直线方程可得，因为切线的斜率为，所以，因此与分别为3，.故选：A.4.曲线在点处的切线方程为（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】求导函数得到，则切线斜率为，所以曲线在点处的切线方程为，即；故选：D.5.计算的值是（

）A.41 B.61 C.62 D.82【答案】B【解析】，，,因此.故选：B.6.安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，则不同排法的种数是（）A.240种 B.360种 C.480种 D.600种【答案】C【解析】先排这名歌手有种方法，余下5名歌手全排列种方法，所以不同排法的种数为种.故选:C7.已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由于直线与曲线相切，设切点为，且，所以，所以切点的横坐标，则，即，又，，所以，即，当且仅当时取等号，所以的最小值为2.8.已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】显然该函数的定义域为全体正实数，由，设，，当时，，所以函数在上单调递增，当时，，所以函数在上单调递减，则有，问题函数有两个零点，转化为直线与曲线有两个不同的交点，如下图所示：由数形结合思想可知：当时，直线与曲线有两个不同的交点，即函数有两个零点，所以实数a的取值范围为.二､多选题（每题6分，共18分）9.已知函数，则（）A.在单调递增B.有两个零点C.曲线在点处切线的斜率为0D.是偶函数【答案】AC【解析】由题意，，在中，，∴当时，，∴曲线在点处切线的斜率为，C正确；A项，当时，，故在单调递增，A正确；B项，当时，，当时，，所以只有0一个零点，B错误；D项，函数的定义域为，不关于原点对称，∴不是偶函数，D错误.故选：AC.10.已知定义在上的的导函数为，且，则下列判断中正确的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】设g(x)=f(x)cosx因为f'xcosx+fx易知gπ6>gπ4，所以f因为，所以g(0)=f(0)cos0=0所以glnπ3=flnπ易知gπ6>gπ3，所以f易知gπ4>gπ3，所以fπ11.若，则下列选项正确的有（）A. B.展开式中所有项的二项式系数的和为C.奇数项的系数和为 D.【答案】ABD【解析】对于A：因为，因此，故A正确；对于B：展开式中所有项的二项式系数的和为，故B正确；对于C：令，可得；再令，可得，将两式相加，即得展开式中所有奇数项系数的和为，故C错误；对于D：令，则，再令，可得，所以，故D正确．三､填空题（每题5分，共15分）12.已知函数是增函数，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】函数的定义域为，由题可知恒成立，故，当时，，当且仅当时等号成立，故．13.2025年泡泡玛特旗下的IP“LABUBU”突然爆火．现有5个不同造型的“LABUBU”．把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有_______种不同的装法．【答案】150【解析】把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，分组方式有两种：按分组：先从个中选个为一组，剩下的个各成一组，组数；按分组：先从个中选个为一组，剩下的个中选个为一组，最后个为一组(消除重复分组)，组数，分配到3个不同的盒内，，故装法总数.14.如图所示，用4种不同的颜色涂三棱台的顶点，同一线段的端点不同色，且每种颜色至少用1次，则不同的涂法有______种．【答案】216【解析】先对上底面的顶点进行涂色，有种涂法．再将剩下1种颜色涂在下底面的顶点处，有种涂法.以涂在点处为例，可对点的涂法进行分类：①若点与点同色，则点只能与点同色，此时有1种；②若点与点同色，则点可在点与所涂的颜色中选1种，此时有2种．可得，故不同的涂法有216种.故答案为：.四､解答题（共计77分）15.设.已知.（1）求n的值；（2）设，其中，求的值.解：（1）因为，所以，．因为，所以，解得．（2）由（1）知，．．解法一：因为，所以，从而．解法二：．因为，所以．因此．16.已知函数，其中．（1）求函数的极值；（2）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求a的值；解：（1）由题设且，则，令，则，解得.当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，所以有极小值为，无极大值；（2）由，则，故切线方程为，而，令，则，所以切点，且在上，所以，可得．17.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求的取值范围.解：（1）由题知：若，，在上单调递增若，令解得：当时，，单调递减；当时，，单调递增，综上，当，的递增区间是，没有单调递减区间，若，的递增区间是，递减区间是；（2）依题意，时，恒成立，即在上恒成立，令，则=，令，由（1）知函数上单调递增，所以函数在上单调递增，则有，即，即当时，则，当时，则，即在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取最小值，于是得，所以的取值范围为.18.已知函数．（1）若恒成立，求a的取值集合；（2）当时，证明：当时，恒成立．（1）解：的定义域为．①若，因为，所以不满足题意；②若，由知，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故在时取得最小值，所以，令，则当时，，单调递减；当时，，单调递增；又，故，当且仅当时取到等号，所以的解为，故．（2）证明：，且时，则故.要证明即证，而，令，下证即可．，再令，则，由于函数在上递增，故在上递增，则，即在上递增，故，即在上单调递增，故，得证．19.已知函数．（1）证明：在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．（1）证明：函数的定义域为..令，则.令，得，所以；令，得，所以.所以在上单调递减，在上单调递增.所以在处取得最小值，最小值为.当时，，所以.又，所以当时，.当时，.其简图如下