福建南安第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建南安第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的单调递增区间是（

）A. B. C. D.【答案】C2.设等比数列的前项和为，若，则公比（）A.4 B. C.2 D.【答案】C3.已知（）的展开式中的系数为13，则实数b的值为（）.A. B. C. D.【答案】D4.某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（）A. B. C. D.【答案】B5.某空间站由三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，则不同的安排方法的种数为（）A.150 B.90 C.60 D.30【答案】A6.已知函数满足，且，设数列满足，则数列的前n项和的表达式为（）A. B.C. D.【答案】C7.甲、乙、丙、丁四名高三毕业生和一名老师站成一排拍照留念，则在甲不站最左端，乙不站最右端的条件下，老师站在最中间的概率为（）A. B. C. D.【答案】A8.已知，其中，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（）A.事件相互独立 B.事件互斥C. D.【答案】AC10.设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，，，则下列结论正确的是（）A.0<q<1 B.C.Sn的最大值为S7 D.Tn的最大值为T6【答案】AD11.已知，则下列正确的是（）A.直线为的切线B.若，则C.若在上单调递增，则D.设为曲线在处的两条切线，若，则【答案】ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.12.已知随机变量，若，则_______．【答案】##0.613.已知函数的最小值为0，则___________．【答案】##14.假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率都为50%，每局赌赢可以赢得1金币，赌输就要输掉1金币.赌徒自以为理智地决定，遇到如下两种情况就会结束赌博游戏：一是输光了手中金币;二是手中金币达到预期的1000金币，出现这两种情况赌徒都会停止赌博.记赌徒的本金为70金币，求赌徒输光所有金币的概率___________.【答案】##四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列，前项和为，（1）若是等差数列，求数列的前项和；（2）若，求；解：（1）设等差数列的公差为，由题意，所以，所以；（2）由题意，16.已知函数，且．（1）求的值；（2）若．（i）求在上的最大值和最小值；（ii）若，求实数的取值范围．解：（1）因为，所以，

则，所以．（2）（i）由（1）得，则，因为，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，

，又，所以在[0，3]上的最大值为，最小值为．

（ii）因为，，所以，

由（i）可知在上的最大值为，由，

所以，即，所以实数的取值范围为．17.某工厂两条生产线分别生产甲、乙两种元件，元件质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为正品，小于76为次品.现分别从两条生产线随机抽取元件甲和元件乙各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标元件甲12840337元件乙17840287（1）试分别估计生产一件元件甲、一件元件乙为正品的概率；（2）生产一件元件甲，若是正品则盈利90元，若是次品则亏损10元；生产一件元件乙，若是正品则盈利100元，若是次品则亏损20元，则在（1）的前提下：①求生产5件元件乙所获得的利润不少于300的概率；②记X，Y分别为生产1000件元件甲和1000件元件乙所得的总利润，试比较和的大小.（结论不要求证明）解：（1）由已知100件甲元件的样本中正品的频率为，100件乙元件的样本中正品的频率为，所以生产一件元件甲为正品的概率为，生产一件元件乙为正品的概率为.（2）①设生产的5件乙元件中正品件数为，则有次品件，由题意知得到，设“生产5件乙元件所获得的利润不少于300元”为事件，则．②设生产一件甲元件的利润为，则的所有取值为90,-10，则，，所以的分布列为：90-10P，所以设生产一件乙元件的利润为，则的所有取值为100,-20，则，，所以的分布列为：100-20P，所以所以18.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）是否存在，使得曲线关于直线对称，若存在，求的值，若不存在，说明理由.（3）证明：时，在上不存在极值（1）解：当时，，则，据此可得，函数在处的切线方程为，即.（2）解：令，函数的定义域满足，即函数的定义域为，定义域关于直线对称，由题意可得，由对称性可知，取可得，即，则，解得，经检验满足题意，故.即存在满足题意.（3）证明：因为，，所以，令，，则，当时，所以在区间上单调递增，则，又，所以恒成立，即在上单调递减，故函数在上不存在极值.19.有编号为的个空盒子，另有编号为的个球，现将个球分别放入个盒子中，每个盒子最多放入一个球．放球时，先将1号球随机放入个盒子中的其中一个，剩下的球按照球编号从小到大的顺序依次放置，规则如下：若球的编号对应的盒子为空，则将该球放入对应编号的盒子中；若球的编号对应的盒子为非空，则将该球随机放入剩余空盒子中的其中一个．记号球能放入号盒子的概率为．（1）求；（2）当时，求；（3）求．解：（1）1号球放入1号盒中的概率为,此时2,3号球分别放入2,3号盒中；1号球放入2号盒中的概率为,欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号盒中，概率为,1号球放入3号盒中时，此时3号球不能放入3号盒中;综上所述：.（2）1号球放入1号,4号，5号，,n号盒中的概率为，此时3号球可放入3号盒中;1号球放入2号盒中的概率为,欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号，4号，5号，n号盒中，概率为,1号球放入3号盒中时，此时3号球不能放入3号盒中;综上所述：（3）1号球放入1号，号，号，号，...,n号盒中的概率为,此时k号球可放入k号盒中：1号球放入号盒中的概率为,此时2号，3号，号球都可以放入对应编号的盒中，剩下编号为的球和编号为的空盒，此时j号盒非空，j号球在所有空盒中随机选择一个放入，此时要让k号球放入k