甘肃酒泉市2025-2026学年4月高三年级调研考试数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃酒泉市2025-2026学年4月高三年级调研考试试题注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间为120分钟，满分150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某校园文创店统计了开学第一周（7天）的动漫周边产品销量（单位：件），数据如下：，则该组数据的第40百分位数为（）A.27 B.28.5 C.30 D.33【答案】C2.已知复数满足，其中是的共轭复数，则（）A. B. C. D.【答案】A3.设全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B4.已知，且满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B5.在中，内角所对的边分别为.若，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C6.已知等差数列的公差，前项和为.若，且，则（）A. B. C. D.【答案】A7.已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴的正半轴上，点在抛物线上，且.过焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，则（）A.8 B.12 C.16 D.20【答案】C8.已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.的图象关于直线对称，且在区间上单调递减.若，则（）A. B. C. D.【答案】B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知等比数列的首项，公比为，前项和为，且满足，则下列说法正确的有（）A.的可能取值有3个B.若，则数列是递增数列C.若，则D.若，则【答案】AC10.已知函数，下列说法正确的有（）A.对任意，函数都是偶函数B.若，则函数在上存在唯一极小值点C.若，则函数在上存在极值点D.若，且方程有且仅有一个实数解，则【答案】ABD11.已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，线段交双曲线于点，则下列说法正确的有（）A.B.若，则双曲线的离心率为C.若双曲线的离心率为，则D.若为线段的中点，则双曲线的离心率为【答案】ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知为坐标原点，平面向量.若点满足，且，则实数__________.【答案】13.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则曲线在点处的切线方程为__________.【答案】14.已知底面为正方形的直四棱柱的高为4，底面边长为4，其内部有一个与直四棱柱所有面均相切的内切球.现以直四棱柱上底面的中心为顶点，下底面的外接圆为底面作一个圆锥，则该圆锥与内切球的公共部分的体积为__________.注：球缺的体积公式为为球的半径，为球缺的高.【答案】四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.某市施行“垃圾分类”后，为了解该市某区居民对“垃圾分类”政策的支持度与年龄的关系，随机抽取该区100名居民进行调查，得到如下列联表：支持不支持合计18-40岁（青年）35155041岁及以上（中老年）252550合计6040100（1）根据小概率值的独立性检验，分析该区居民对“垃圾分类”政策的支持度是否与年龄有关；（2）按“支持”和“不支持”分层，采用比例分配的分层随机抽样方法从上述100名居民中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行进一步访谈，记抽取的3人中支持“垃圾分类”的人数为，求的分布列.参考公式：，其中.参考数据：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】解：（1）零假设居民对“垃圾分类”政策的支持度与年龄无关，则，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为居民对“垃圾分类”政策的支持度与年龄有关.（2）“支持”和“不支持”的人数比为，则抽取的10人中“支持”和“不支持”的人数分别为,则的可能取值为，则，，则的分布列为16.已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作轴的垂线交椭圆于两点（点在第一象限），且的周长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作两条直线分别交椭圆于两点（均不与重合），若直线与的倾斜角互补，证明：直线的斜率为定值，并求出该定值.【答案】解：（1）设椭圆的焦距为，则，由的周长为，得，所以.所以，所以椭圆的标准方程为.（2）将代入，得，点在第一象限，所以.易知，直线与的倾斜角均不为，所以斜率均存在，不为零，且斜率互为相反数.设直线的方程为，则直线的方程为.设，由，得，则，所以，，同理，用代换，得，，所以直线的斜率为.所以直线的斜率为定值，该定值为.17.如图，在直角梯形中，为的中点.将沿翻折，使点到达点的位置，且平面平面.（1）求证：平面平面.（2）在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）在直角梯形中，为的中点，所以，四边形是正方形，所以.所以在四棱锥中，.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以.又正方形中，，因为平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）由（1）知平面，，所以两两垂直.以坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则.所以，设平面的法向量为，则.令，则，所以平面的一个法向量为.假设在线段上存在点，满足题意，且，则.由与平面所成角的正弦值为，得，所以，化简得，所以（负值舍去）.所以，所以.即存在点M满足题意，且.18.已知函数.（1）当时，求的单调区间和极值；（2）当时，证明：存在两个零点；（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围，并比较与的大小.【答案】解：（1）当时，，，则时，，因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，又，则时，，时，，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.时，函数取得极小值，无极大值.（2）当时，，，则，因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，又，，则存在，使得，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，因为，，，所以根据零点存在性定理可知，函数存在两个零点.（3）由，即对任意恒成立，设，，则，设，，则，当时，，，则，所以函数在上单调递增，则，即，所以函数在上单调递增，则，即，所以实数的取值范围为.由，，，则，由（1）知，函数在上单调递增，且时，，则，即，所以函数在上单调递增，又，所以.19.某种微生物的繁殖规则如下：初始时刻有1个该微生物，每经过1个单位时间，每个现存的微生物独立地发生三种变化之一：①死亡，概率为；②保持1个，不繁殖也不死亡，概率为；③分裂为2个微生物，概率为.当微生物的数量为0时，繁殖过程终止.设为经过个单位时间后，该微生物处于繁殖过程终止的概率.（1）求的值；（2）令，证明：；（3）在（2）的条件下，证明：对任意正整数，都有.【答案】解：（1）由题知，经过个单位时间后，该微生物处于繁殖过程终止有三种互斥情况：经过1个单位时间后生物直接死亡，概率为；经过1个单位时间后生物保持一个后，再经过1个单位时间繁殖过程终止，概率为；经过1个单位时间后分裂为2个微生物，再经过1个单位时间繁殖过程终止，概率为.所以.（2）经过个单位时间后，该微生物处于繁殖过程终止有三种互斥情况：经过1个单位时间后生物直接死亡，概率为；经过1个单位时间后生物保持一个，再经过个单