甘肃酒泉市2025-2026学年高二下学期学情检测数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃酒泉市2025-2026学年高二下学期学情检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.书架上有5本不同的小说和4本不同的散文，随机取出2本，则不同的取法有（）A.10种 B.20种 C.36种 D.72种【答案】C2.已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】A3.用数字2，3，4，6组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数是（）A.24 B.18 C.12 D.6【答案】B4.下列各式正确的是（）A. B.C. D.【答案】C5.已知直四棱柱的棱长均为2，，则（）A.4 B.2 C. D.【答案】B6.函数的单调递减区间为（）A. B.C.和 D.【答案】D7.在舞台上，智能机器人随着音乐节拍，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，仿佛在跳一支充满不确定性的“随机舞”，开始时，机器人M在舞台中心，机器人N在舞台中心正东方向2米处．下列说法中正确的是（）A.经过4秒，机器人N来到舞台中心的路径有12条B.经过1秒，机器人M与N的距离为米的情况有2种C.经过2秒，机器人M与N首次相遇的情况有6种D.经过2秒，机器人M与N的距离为2米（未相遇）的情况有45种【答案】D8.已知函数恰有两个极值点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知异面直线，所成角的大小为，设的一个方向向量为，的一个方向向量为，则的可能值为（）A. B. C. D.【答案】BC10.将5个小球放入3个盒子中，则下列说法正确的有（）A.若小球相同、盒子不同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为12B.若小球相同、盒子不同，且允许有空盒子，则不同的放法种数为21C.若小球不同、盒子不同，且恰有1个盒子放3个球，其余盒子至少放1个球，则不同的放法种数为60D.若小球不同、盒子相同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为25【答案】BCD11.已知函数，则下列说法正确的有（）A.当时，曲线在点处的切线与x轴平行B.当时，在上单调递减C.当时，的极大值是D.当时，方程有2个根【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知平面，的法向量分别为，，则平面和所成角的余弦值为______．【答案】13.已知的展开式中的系数为，则______．【答案】14.已知函数（）单调递增，则实数a的取值范围为______．【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.用二项式定理证明能被8整除．【答案】证明：能被8整除.所以能被8整除.16.某校为丰富学生的业余活动，开设了5项不同的活动，由甲、乙、丙三位教师负责．（1）若每位教师至多负责2项活动，每项活动有且只有一位教师负责，共有多少种不同的分配方案？（2）若每位教师至少负责1项活动，教师甲只负责1项活动，每项活动有且只有一位教师负责，共有多少种不同的分配方案？【答案】解：（1）由题意，有1位老师负责1项活动，另外2位老师，每人负责2项活动，即5项不同的活动分为1，2，2三组，则共有种不同的分配方案.（2）教师甲只负责1项活动，有种方法，另外2位老师，可以1人负责3项，1人负责一项，或者每人负责2项活动，则有种方法，则共有种不同的分配方案17.如图，等腰梯形中，，，，现将沿翻折，使得点到点处，得四棱锥，若点，分别在，上，且．（1）求证：平面；（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】解：（1）在上取一点，使得，连接，因为分别在和上，且，在中，可得，所以，又因为平面，平面，所以平面，在中，可得，所以，因为，所以，又因为平面，平面，所以平面，因为，且平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面.（2）因为，且，平面，所以平面，则即为二面角的平面角，所以，以为原点，以所在直线为轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，可得，，，，，则，，设平面的法向量为，则，取，可得，，所以，又由，可得，，设，，可得且，解得，，，，，，所以，设与平面所成的角为，其中，则，所以与平面所成的角的正弦值为.18.已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）若恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：（1）易知，当时，，此时函数在上单调递减；当时，令，可得；又因为为增函数，所以时，，此时函数在上单调递减；当时，，此时函数在上单调递增；综上可得当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）可知当时，在上单调递减，不合题意；当时，恒成立；当时，结合（1）中分析可知在处取得极小值，也是最小值；因此，即可得，解得；综上可得，实数m的取值范围为.19.已知函数，直线l为曲线在点处的切线．O为坐标原点．（1）求函数的单调区间；（2）设，研究函数的零点个数；（3）若l与x轴、y轴分别交于点A，B，且为等腰直角三角形，求的面积．【答案】解：（1）定义域：，函数求导得.令，得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.综上所述,单调递减区间为：，单调递增区间为：.（2）由题可知，.所以研究函数的零点个数等价于研究的零点个数.，令得.，，单调递减；，，单调递增.所以函数有极小值同时也为最小值.故恒成立，所以无零点.（3）函数求导得.所以，切线：.化简得.所以由题可知分别令可得，.为等腰直角三角形，且，故.即，因为，所以化简得.若即.代入：左边,右边.此时都与原点重合,不能构成三角形,舍去.若两边约去,得：令,则,方程变为：