甘肃省定西市4校2026届高三下学期二诊模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省定西市4校2026届高三下学期二诊模拟考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合.1.已知集合，，则（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】当时，，所以，由得，所以，所以，，故选：D.2.已知是奇函数，则实数的值为（）A. B. C.0 D.1【答案】C【解析】要使有意义，则，即，解得或.所以函数的定义域为，关于原点对称..因为，所以，即，也即，因为，所以.故选：C.3.已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】如图，，若，则与相交或异面，不一定垂直；若，则不一定成立.所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.4.设是两个随机事件，已知，，，记，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知得，注意到，所以相互独立，故，，又因为，故，所以.故选：C.5.已知抛物线，其中AC，BD是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，直线AC的倾斜角为，当时，如图所示的四边形的面积为（

）A.43 B. C. D.42【答案】C【解析】由题意可知：抛物线的焦点为，当时，，则直线，直线，联立方程，消去y可得，则，可得；联立方程，消去y可得，则，可得，所以四边形的面积为.6.已知正实数满足，则（）A.2 B.1 C.-1 D.0【答案】C【解析】，由基本不等式得，，即，又因为恒成立，所以，故即，所以．7.已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（

）（残差=观察值－估计值）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】∵，∴增加两个样本点后的平均数为；∵，∴，∴增加两个样本点后y的平均数为，∴，解得，∴新的经验回归方程为，则当时，，∴样本点的残差为故选：B.8.已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为.若且关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，因为曲线与直线的交点中，相邻交点的距离为.所以函数的最小正周期为，可得，即，由可得，解得或，当时，，由可得，可得，解得，所以方程在上只有一个解，故方程在上有两个不等的解，令，由可得，由可得，所以函数在区间上单调递减，在上单调递增，由题意可知，函数在区间上有两个不等的零点，所以，解得.因此，实数的取值范围是.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若复数，则（）A.的共轭复数B.C.复数的实部与虚部相等D.复数在复平面内对应的点在第四象限【答案】ABD【解析】选项A：，故正确；选项B：，故正确；选项C：，实部为，虚部为，故错误；选项D：在复平面对应坐标为，在第四象限，故正确；故选:ABD.10.设点是边长为2的正方形内部及边界上的动点，则的取值可能为（）A. B. C. D.4【答案】BCD【解析】以为原点，分别为轴建立直角坐标系，则，设，，所以，又，当时取得最小值为，因为，所以，当时取得最大值为，则的取值范围为，选项BCD符合.11.已知成等差数列，若关于的方程组恰有组解，则（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】因为成等差数列，则，代入得到，整理得到，令，解得，所以直线过定点，又由，得到，因为方程组恰有组解，则与直线恰有个交点，设过点的直线与切于点，又，则，得到，解得所以过点且与相切的直线方程为，即，又的斜率为，由图可知，要使与直线恰有个交点，则，即，所以，，故A和D正确，取，显然满足，但，所以B错误，取，显然满足，但，所以C错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在平面直角坐标系内，圆，若直线绕原点逆时针旋转后与圆恰有两个交点，则的取值范围是___________．【答案】【解析】直线的斜率为1，过点，绕原点逆时针旋转后，斜率为，过点，得到直线，若该直线与圆存在两个公共点，则圆心到直线的距离，解得，即的取值范围是．13.在中，若，则的最小值为________.【答案】【解析】，若，则，此时均为钝角，不合要求，故，，即均为锐角，，，故，令，因为，所以，，则，令，则，，其中，当且仅当，即时，等号成立，故.故答案为：.14.过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则线段的长度的范围是______．【答案】【解析】由题意知，，则圆心，半径，如图，过点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，连接AB，CA，CB，CP，则，易知，所以，有，，所以，得，当最小时，取得最大值，即点C到直线的距离为，此时，所以；又三点不共线，AB为圆C的一条弦，所以，所以，即线段AB的长度的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.为增强学生的法制意识，打造平安校园，某高中学校组织全体学生开展了“智慧法治，平安校园”知识竞赛，根据成绩，制成如下统计图.（1）估算成绩的中位数；（2）以频率估计概率，从该校学生中随机抽取人，用X表示成绩在的人数，求X的分布列和方差；（3）用分层抽样的方法从成绩在，的两组中共抽取人，再从这人中随机抽取人，记为这人中至少一人成绩落在的人数，求的数学期望.解：（1）由图知，解得，设中位数为，则，解得.（2）由题知成绩在内的概率为，，的可能取值为，又，，，，所以的分布列为.（3）因为，则抽取的人中，有个成绩在，个在，由题知的可能取值为，又，，，所以的数学期望为.16.如图，在四棱锥中，，且．（1）证明：平面平面；（2）若，，且四棱锥的体积为，求与平面所成的线面角的大小．（1）证明：因为在四棱锥中，，所以，，又，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面．（2）解：取中点，连结，因为，所以，由（1）知平面，平面，所以，因为，底面，所以底面，设，求得，，因为四棱锥的体积为，所以，解得，所以，因为底面，所以为与平面所成的角，在中，，所以．所以与平面所成的线面角为．17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.（1）求角C；（2）若的面积为，点D为AB中点，且，求c边的长.解：（1）由得，，因为所以.（2）由已知得，所以，所以，所以，因为的面积为，所以，即，，由余弦定理得，所以.18.已知双曲线与双曲线的焦距相等.（1）求的值及的离心率.（2）设为坐标原点，直线且与交于两点.（i）若，证明：.（ii）若直线的斜率之积为，证明：直线不经过的左焦点.（1）解：依题意可得，解得，所以双曲线中，，则，所以的离心率.（2）证明：设.（i）将代入，得，则，所以.（ii）将代入得，则，.，∵，∴，则整理得.的左焦点的坐标为，假设直线经过的左焦点，则，则，因为，所以，所以，即，这与矛盾，所以假设不成立，故直线不经过的左焦点.19.对于数列，若存在常数满足，则称为“上界数列”，为的“上界”，并把最小的值叫做“上界临界值”，记为．记数列的前项和为，已知，．（1）判断是否为“上界数列”，并说明理由；（2）若，为数列的前项和，求数列的“上界临界值”；（3）若，数列的“上界临界值”为，证明：．（1）解：当时，，作差得