甘肃省徽县第一中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省徽县第一中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试试题注意事项：1.

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.

回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合.1.已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于（）A. B.2 C. D.6【答案】C2.已知，，若，则实数（）A. B. C.1 D.2【答案】D3.已知复数，则（）A.2 B. C.0 D.【答案】A4.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左、右支分别交于点P、Q.若，且，则C的离心率为（）A.3 B.2 C. D.【答案】A5.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形中对角线的长度为（）A. B. C. D.【答案】C6.在中，是上一点，满足是的中点，若，则（）A. B.1 C. D.【答案】C7.已知向量满足，则（）A.2 B. C.4 D.【答案】C8.正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，an，则这n个向量()A.都相等 B.都共线 C.都不共线 D.模都相等【答案】D二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于复数（为虚数单位），下列说法正确的有（）A.B.复数对应的点在第二象限C.D.复数是方程的一个根【答案】ACD10.已知为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是（）A.B.C.若，则D.若，则的最小值为【答案】BD11.已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则（）A.正三棱锥与圆柱的体积的比值为B.正三棱锥与圆柱的侧面积的比值小于C.正三棱锥外接球的体积与圆柱外接球的体积相等D.正三棱锥的内切球与圆柱的内切球的半径的比值小于【答案】BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，则__________．【答案】213.的内角的对边分别为.已知，则的面积为__________.【答案】14.平面凸四边形中，，，，，若满足上述条件的平面凸四边形有且只有1个，则的取值范围为_______.【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数，（）．（1）当时，求函数的对称中心；（2）若为偶函数，不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；（3）若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）当时，，令，得，故函数的对称中心为.（2）因为为偶函数，所以，因为，所以，则，则，若，则，则，因为不等式在上恒成立，所以，，得，故实数m的取值范围为.（3）因为过点，所以，因为，所以，则，得，即，因为，所以，则，因为对任意的，，都有，所以，则对任意的，都有，则，令，则对任意的恒成立，若，则恒成立；若，则，因为在上单调递减，所以，则，即；若，则，因为在上单调递减，所以，则，即；综上，实数a的取值范围是.16.如图，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，，．（1）求向量，的仿射坐标；（2）若点是线段上的动点（含端点），当时，求的取值范围；（3）设，若对恒成立，求的最大值．【答案】解：（1）由，，可得；.（2）若，则，设，，，，；，．（3）由对恒成立，即恒成立；，对恒成立，即对恒成立，，即，所以的最大值为.17.如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且，设为棱上的点.（1）若为棱的中点，求证；（2）若三棱台两底面间的距离为，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.【答案】解：（1）如图：取中点，连接，因为四边形为等腰梯形，且为中点，所以.又为正三角形，所以，平面，所以平面，又平面，所以.（2）解法1：延长三棱台侧棱交于点，补成三棱锥，取中点，中点，连接；侧面为等腰梯形，故；侧面底面，交线为，平面，因此平面；已知两底面距离为，即；由相似比，得；底面为正三角形，，则，；在中，；在中，；设点到平面（即平面）的距离，由，即，，，代入得：，解得；设点到平面的距离，由相似比，得；设，点到平面的距离，由相似性：，得，其中；作于，则，，，由余弦定理：，，设直线与平面所成角为，则，代入得：，化简得，解得或（舍去），即点与重合,所以存在点，当与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为.解法2：设中点为，连接，则，又侧面底面，侧面底面侧面，所以底面，又底面，所以，又，所以两两垂直，故可以为原点，所在的直线分别为轴建立如图空间直角坐标系.因为三棱台两底面间的距离为，即，又三角形为正三角形，且，则，设，则，设平面的法向量为，则，可取设直线与平面所成的角为，则，由，所以，故或（因为，故舍去），此时与点重合，所以存在点，当与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为.18.若，是两个非零向量，求证：当时，最小.【答案】解：当与垂直时，，即，又，是两个非零向量，所以；所以，所以当时，取得最小值，所