甘肃省文县第二中学等校2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省文县第二中学等校2025-2026学年高一下学期5月期中试题注意事项：1.

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.

回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合.1.下列命题正确的是（）A.三个点可以确定一个平面B.长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体C.一条直线和一个点可以确定一个平面D.两条直线可以确定一个平面【答案】B2.设，则的虚部是（）A. B. C. D.【答案】A3.已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B4.如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，，则的周长为（）A. B. C. D.【答案】A5.下列说法中，正确的是（）A.有一个面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥B.用一个平面去截圆锥，圆锥底面与截面之间的部分是圆台C.底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形【答案】A6.在平行四边形中，点满足，与交于点.若，则（）A. B. C. D.1【答案】B7.在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥的外接球体积为A. B. C. D.【答案】C8.设为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（）A. B. C. D.【答案】B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（）A.B.在方向上的投影向量为C.若，则D.若，则【答案】AB10.已知为复数，下列说法正确的是（）A. B.C.若，则 D.若，则【答案】AB11.在△ABC中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（

）A.若△ABC是锐角三角形，则B.若，则△ABC为等腰三角形C.若，则△ABC是钝角三角形D.若，，，则满足这组条件的三角形有两个【答案】AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，则与的夹角为_______________．【答案】13.已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，已知角，，若是锐角三角形，则的面积为S的取值范围为______.【答案】14.已知平面内有5个互不相等的单位向量，，，，.若这5个向量中恰有1对向量互相平行，恰有3对向量互相垂直，则的最大值为____________.【答案】##四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知复数是关于的方程的两个根，且.（1）求和的值；（2）记复数在复平面内对应的点分别为，已知为坐标原点，且，求复数.【答案】解：（1）由复数是实系数方程的一个根，可知也是方程的一个根，由韦达定理，可得，，所以，.（2）因为，所以，则，则得，由（1）可得，，所以.16.如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且，设为棱上的点.（1）若为棱的中点，求证；（2）若三棱台两底面间的距离为，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.【答案】解：（1）如图：取中点，连接，因为四边形为等腰梯形，且为中点，所以.又为正三角形，所以，平面，所以平面，又平面，所以.（2）解法1：延长三棱台侧棱交于点，补成三棱锥，取中点，中点，连接；侧面为等腰梯形，故；侧面底面，交线为，平面，因此平面；已知两底面距离为，即；由相似比，得；底面为正三角形，，则，；在中，；在中，；设点到平面（即平面）的距离，由，即，，，代入得：，解得；设点到平面的距离，由相似比，得；设，点到平面的距离，由相似性：，得，其中；作于，则，，，由余弦定理：，，设直线与平面所成角为，则，代入得：，化简得，解得或（舍去），即点与重合,所以存在点，当与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为.解法2：设中点为，连接，则，又侧面底面，侧面底面侧面，所以底面，又底面，所以，又，所以两两垂直，故可以为原点，所在的直线分别为轴建立如图空间直角坐标系.因为三棱台两底面间的距离为，即，又三角形为正三角形，且，则，设，则，设平面的法向量为，则，可取，设直线与平面所成的角为，则，由，所以，故或（因为，故舍去），此时与点重合，所以存在点，当与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为.17.已知函数．（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）在锐角中，设角所对的边分别是，若且，求周长的取值范围．【答案】解：（1）由题意，函数，所以函数的最小正周期为，令，解得，所以函数的单调递增区间是，.（2）由（1）可得，因为，可得，由正弦定理可知，所以，，由及为锐角三角形，解得，则.因为，可得，所以，所以，故周长的取值范围为.18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，D为边BC上一点，且．（1）求角A的大小；（2）若，且，求a的值；（3）若AD为角平分线，求的最小值．【答案】解：（1）由已知，由正弦定理，可得，又因为，代入上式，化简得：，因为中，，所以，从而，故，因为，所以．（2）因为，所以，由（1）知，，所以，由已知，所以，即，又，联立两式解得，，由余弦定理，可得，即．（3）若AD为角平分线，则，在中，由正弦定理，得，即，所以，，所以，即，又因为，所以，，从而，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．19.如图1，椰子树是海南最具代表性的树木之一，树干笔直无分枝，叶片形似巨大的羽毛伞.如图2，、两处观测点与树干底部点在同一水平面内，树干垂直于水平面，某同学在地面处，测得树干顶端处的仰角为，、两处相距米，，.（1）求观测点到树干底部点的距离的长度；（2）