广东深圳市坪山区2025-2026学年高一第一学期期末质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东深圳市坪山区2025-2026学年高一第一学期期末质量监测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵∴又∵∴故选B；2.已知命题：“，”，则的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】命题：“，”，则的否定为，.故选：D.3.函数的图象不可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】当时，由对勾函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故当时，选项A符合；当时，在，上单调递增，又在定义域上单调递增，所以在，上单调递增，故当时，选项B符合；当时，，定义域为，选项C符合；综上可得无论为何值，D选项均不符合题意.故选：D．4.“幂函数为单调递增函数”的一个充分不必要条件为（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】因幂函数为单调递增函数，故，即，则的定义域为，对于A：若取，则，函数在上单调递减，故“，”不是“幂函数为单调递增函数”的充分条件，故A错误；对于B：由，，可得，则幂函数在上单调递增，充分性成立；若取

，函数

在上单调递增，由，这与矛盾，即必要性不成立，故“幂函数为单调递增函数”的一个充分不必要条件为“，”，即B正确；对于C：若取，则，函数定义域为，在上递增，又由，知为偶函数，故在上递减，故“，”不是“幂函数为单调递增函数”的充分条件，故C错误；对于D：取，则，由选项C知“，”不是“幂函数为单调递增函数”的充分条件，故D错误.故选：B.5.已知函数为奇函数，且当时，，则（）A. B.2 C. D.1【答案】C【解析】因为函数为奇函数．且当时，，所以，即，解得．故选：C．6.已知，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，又，代入，可得，故，所以，故选：A.7.已知，，若，则的最小值为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意得：，当，即时，等号成立，故选：D.8.已知函数且关于的方程有4个实数解，，，，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据对数函数与二次函数的图象与性质可作出的图象如下，由图象可知，易知，且，，且，即，，由二次函数的对称性可知，且，，又，，，由题意，显然有，易知.故选：A．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】角的终边经过点，故根据三角函数的定义可知，当时，；当时，，对于A，当时，，故A错误，对于B，，故B正确，对于C，当时，；当时，，故C正确.对于D，，故D错误.故选：BC.10.多项选择题：为了得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.先向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）B.先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）C.先将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度D.先将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度【答案】ACD【解析】选项A，先向左平移个单位长度，，再将横坐标缩短到原来的，，故A正确；选项B，先向右平移个单位长度，，再将横坐标缩短到原来的，，故B错误；选项C，先将横坐标缩短到原来的，，再向左平移个单位长度，，故C正确；选项D，先将横坐标缩短到原来的，，再向右平移个单位长度，，故D正确．故选：ACD．11.已知实数，，使得，则，，的大小关系可以为（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】记，则，所以，，，对于A：当，得，，，则有，即选项A正确；对于B：令，得，，，则有，即选项B正确；对于C：令，得，，，，则有，即选项C正确；对于D：若，则，，且，，，整理得，即，注意到，且，不可能成立，选项D错误，综上所述，，，的大小关系可以为或或.故选：ABC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.计算：______．【答案】【解析】由题，.故答案为：.13.已知某扇形的周长为8，且面积为4，则其半径为______．【答案】2【解析】设扇形的半径为，弧长为，由题意得：，由式得：，代入式得：，化简得：，解得：.故答案为：2.14.已知，且，则______．【答案】【解析】由，得，令函数，，任取，则，且，，，即在单调递增.由，可知，，，，.故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知全集，集合，．（1）若，求；（2）当时，求实数的取值范围．解：（1）不等式等价于，解得，所以，若，，或，所以．（2）由，则有当时，则，解得；当时，则解得，综上所述，实数的取值范围为．16.已知函数的最小正周期为．（1）求的值及曲线的对称中心；（2）求在区间上的单调递增区间．解：（1）由题可知，，，，，令，可得，曲线的对称中心为；（2），，，令或，解得或，在上的单调增区间为和．17.已知函数的定义域为．（1）请用单调性定义证明：为单调递减函数；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．解：（1）任取，规定，则，因为，所以，且，所以，即，即，所以函数为上的单调递减函数．（2）当时，恒成立，即恒成立，令函数，，因为函数为上的单调递减函数，且也为上的单调递减函数，所以为上的单调递减函数.由恒成立，等价于不等式恒成立，因为为上的单调递减函数，所以对任意恒成立，且，令，所以问题转化为，由，当且仅当时等号成立，所以，即实数的取值范围为．18.深圳半程马拉松是国内知名赛事，已知某选手在“半马”中的心率变化分为“匀速跑心率上升”和“冲刺跑心率波动”两个阶段，具体如下：总运动时长为90分钟，记起跑时刻为（单位：分钟）．当时，为“匀速跑心率上升”阶段，心率从最低心率60次／分钟开始，按振幅为45次／分钟的正弦函数规律逐渐上升，当时达到最高心率150次／分钟；当时，为“冲刺跑心率波动”阶段，心率波动的最小正周期为10分钟，最高心率为180次／分钟，当时，心率为150次／分钟且呈上升趋势．设该选手的心率（单位：次／分钟）关于时间（单位：分钟）的函数为其中，，.（1）求的解析式；（2）已知，，且“高效燃脂区间”为120-170次／分钟，求该选手在“高效燃脂区间”内的运动时长；（3）已知运动监测中常将相邻固定时间间隔的心率差值定义为“心率变化幅度”，用以评估体能状态，求“心率变化幅度”，的函数解析式，并求达到“心率变化幅度”最大值的次数．解：（1）“匀速跑心率上升”阶段，时为最低心率60次／分钟，时为最高心率150次／分钟，且振幅为45次／分钟，周期为120，且，，解得，，，又，，，．“冲刺跑心率波动”阶段，，，显然，，，又，且当时，心率呈上升趋势，，，，综上所述，（2）“匀速跑心率上升”阶段，的最大值为150，且“高效燃脂区间”为120-170次／分钟，只需，即，，，，由解得，“匀速跑心率上升”阶段的“高效燃脂区间”内的运动时长约为分钟，“冲刺跑心率波动”阶段，由（1）可知的最小值为140，只需，即，不难知道一个周期内的非“高效燃脂区间”内的运动时长占比为，一个周期内的“高效燃脂区间”内的运动时长为，共有3个周期，则有20分钟的“高效燃脂区间”内的运动时长，综上所述，该选手在“高效燃脂区间”内的运动时长约为43分钟．（3）由题意可知，当时，，，当时，取得最大值，，且，，达到“心率变化幅度”最大值的次数为5．19.已知函数和的定义域分别为和，若，恰有个不同的实数，使得（其中，且），则称为的“重复射函数”．（1）试判断函数是否为，的“2重复射函数”？请说明理由；（2）已知函数，，且，若是的“2重复射函数”，求实数的取值范围；（3）记为不超过的最大整数，如，，．设函数，，且，，若存在，使得为的“2026重复射函数”，求实数的取值范围．解：（1）取，则，方程仅有唯一解，不满足恰好存在2个不同的实数解，不是的“2重复射函数”．（2）在区间上单调递增，其值域为，对任意，方程需恰好有两个不同的实数解，①当时，在区间上的值域为，由于，故方程在区间上无实数解；方程的两个解为，，且，这两个解均满足，方程在区间上有两个不同的实数解，符合题设要求，②当时，方程的解为，且方程的解为，，若，则方程在区间上无实数解，方程在区间上恰有两个实