广东省佛山市2025届高三下学期教学质量检测（二）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省佛山市2025届高三下学期教学质量检测（二）数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数（）A. B.25 C. D.5【答案】B【解析】.故选：B.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题设.故选：B.3.已知向量，，若，则实数（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】因为，，所以.若，则，所以，解得.故选：A.4.在平面直角坐标系xOy中，曲线C：的周长为（）A.12 B.14 C.16 D.20【答案】D【解析】曲线C：等价于或或或.对于表示以和为顶点线段，其长度为，对于表示以和为顶点线段，其长度为，对于表示以和为顶点线段，其长度为，对于表示以和为顶点线段，其长度为，所以曲线C：的周长为.故选：D.5.若，则（）A.－1 B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】因为，则，则，所以，则，所以.故选：D.6.学校举办篮球赛，将6支球队平均分成甲、乙两组，则两支最强的球队被分在不同组的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知，两支最强的球队被分在不同组的分组组数为：，所有的分组组数为：，结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：.故选：C.7.已知函数，命题p：是奇函数，命题q：在上是减函数，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若的奇函数，则，即恒成立，所以，则，在上单调递增，所以在上是减函数，充分性成立；若在上是减函数，在上单调递增，所以，故，此时不一定有，必要性不成立；所以p是q的充分不必要条件.故选：A.8.已知球O的表面积为，球面上有A，B，C，D四点，，，与平面所成的角均为，若是正三角形，则（）A. B. C.2 D.3【答案】D【解析】由题意三棱锥为正三棱锥，球O为该正三棱锥的外接球，设其半径为，因为球O的表面积为，所以，设，即正的边长为，取中点，连接，作，根据正三棱锥的性质可知球心O在上，如下图所示：根据线面角的定义知，则，因为，，所以，在中，，所以，解得或，即.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.最小正周期为 B.是奇函数C.在上单调递增 D.最大值为1【答案】BD【解析】由，显然不是的周期，A错；由的定义域为R，且，所以为奇函数，B对；由解析式，易得，显然在上不是单调递增，C错；由，令，则，且，若，则，又在、上都单调递减，在上，，在上，，所以的最大值为1，D对.故选：BD10.市场监督管理局对9家工厂生产的甲、乙产品进行抽查评分，且得分的平均数分别为77、60，其中A工厂生产的产品得分如下表：分数名次（按高分到低分排名）甲产品754乙产品666则在此次抽查评分中（）A.9家工厂甲产品得分的中位数一定小于平均数B.9家工厂乙产品得分的中位数一定大于平均数C.9家工厂甲产品得分中一定存在极端高分数（高于平均数10分以上）D.9家工厂乙产品得分中一定存在极端低分数（低于平均数10分以上）【答案】ABD【解析】对于甲乙产品，9家工厂抽查评分从低到高的第5位是中位数，由75分是甲产品按高分到低分的第4位，即从低到高的第6位，故中位数小于等于75分，由66分是乙产品按高分到低分的第6位，即从低到高的第4位，故中位数大于等于66分，又甲、乙得分的平均数分别为77分、60分，A、B对；甲产品评分可以为，此时不存在极端高分数，C错；对于乙产品，由题意，前六名的得分均大于等于66，假设前六名所有评分都为66分，则后三名总分为分，所以后三名的得分中必定有小于等于48分的情况，故必存在极端低分数，D对.故选：ABD.11.圆C过抛物线：上的两点、，则（）A.圆C面积的最小值为B.圆C与抛物线的公共点个数为2或4C.若圆C与抛物线还有另外两个交点P、Q，则P、Q的纵坐标之和为2D.若圆C与抛物线还有另外两个交点P、Q，则直线PQ的斜率为2【答案】ACD【解析】因为点在抛物线：上，所以，解得，所以抛物线的方程为，对于A，因为圆C过抛物线上的两点、，则以为直径时，圆的面积最小，半径，此时圆C的面积为，故A正确；对于B，过、、的圆C的方程为，与联立，得，所以或，解得或，则圆C与抛物线的公共点为，个数为3，故B错误；对于D，直线的方程为，由已知可知直线的斜率存在，设为，则直线的方程设为，设过、P、Q的曲线方程为，方程左边的系数为，因为、P、Q的曲线方程为圆，所以，即，故D正确；对于C，直线的方程为，与联立，得，设的纵坐标为，则，故C正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题.12.焦点分别为，且经过点的双曲线的标准方程为_______.【答案】【解析】由题意得，可设双曲线的标准方程为，将代入方程可得，解得或（舍），从而，，所以，故答案为：.13.已知的面积为，，，则______.【答案】2【解析】由题设，则，又，所以，则，综上，.故答案为：2.14.已知函数，若有三个零点，，，则实数a的取值范围为______；若，则的最大值为______.【答案】；【解析】根据函数解析式，可得函数大致图象如下，由有三个零点，则，由，而，则，又，则，，则，且，对于且，则，当，，在上单调递增，当，，在上单调递减，所以，综上，最大值.故答案为：，.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数，.（1）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求a；（2）若图象恒在图象的上方，求a的取值范围.解：（1）由题设，则，则切线为，由，令，可得且，则，所以切线为，则，曲线在点处的切线与曲线也相切，则；（2）由图象恒在图象的上方，则恒成立，所以在上恒成立，对应，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以，故.16.如图，将一个棱长为2的正方体沿相邻三个面的对角线截出多面体，E是的中点.过点C，E，的平面与该多面体的面相交，交线围成一个多边形.（1）在图中画出该多边形（说明作法和理由），并求其面积；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.解：（1）若为的中点，连接，显然，所以共面，即交线围成的多边形为，由题意，为等腰梯形，且，，所以.（2）由正方体的结构特征，易知，由平面，平面，则平面，同理得平面，都在平面内，所以平面平面，故平面与平面的夹角，即为平面与平面的夹角，而是棱长为的正四面体，所以.17.因部分乘客可能误机，航空公司为减少座位空置损失，会对热门航班售卖超过实际座位数的机票，简称“超售”.已知某次热门航班的信息如下：①票价1000元，有195个座位，航空公司超售了5张票；②每一位乘客准时乘机的概率为，航空公司对误机乘客不予以退费；③对于在超售情况下，如出现满座导致个别旅客不能按原定航班成行，航空公司会让受到影响的乘客乘坐下一趟非热门航班，并赔偿每人500元.（1）求该次航班不会发生赔偿事件的概率；（2）航空公司在该次航班的收入记为Y，求.参考数据：若，则X的分布列部分数据的近似值如下：X0123456…P000.0020.0070.0170.0360.061…解：（1）由每一位乘客准时乘机的概率为，得每一位乘客误机的概率为，航班不会发生赔偿事件，即实际乘机人数不超过195人，也就是误机的乘客至少5人，设误机人数为，则，所以该次航班不会发生赔偿事件的概率为；（2）当误机人数时，该次航班的收入元，其概率为；当误机人数时，有人乘机，需要赔偿人，该次航班的收入元，其概率为；当误机人数时，有人乘机，需要赔偿人，该次航班的收入元，其概率为；当误机人数时，有人乘机，需要赔偿人，该次航班的收入元，其概率为；当误机人数时，有人乘机，需要赔偿人，该次航班的收入元，其概率为；当误机人数时，有人乘机，需要赔偿人，该次航班的收入元，其概率为；所以元18.在等差数列和等比数列中，和是下表第i行中的数（），且，，中的任何两个数不在同一列，，，中的任何两个数也不在同一列.第一列第二列第三列第四列第一行1234第二行5678第三行9101112（1）请问满足题意的数列和各有多少个？写出它们的通项公式（无需说明理由）；（2）若的公比为整数，且.数列满足，求的前n项和.解：（1）对于等差数列，设公差为d，当时，则，所以，当时，则，所以，当时，则，所以，当时，则，所以，满足题意的数列有4个，分别为，，，；对于等比数列，设公比为q，当时，则，所以，当时，则，所以，满足题意的数列有2个，分别为，；（2）因为的公比为整数，由（1）知，则，所以，所以，所以，所以，所以的前n项和.19.对于椭圆：上的任意两点P，Q定义“”运算满足：过点作直线直线（规定当P和Q相同时，直线就是在点P处的切线），若l与有异于S的交点T，则；否则.已知“”满足交换律和结合律，记.（1）若，，求，以及；（2）对于上的四点，，，，求证：的充要条件是；（3）是否存在异于S的点P，使得？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由.（1）解：由题设，直线的斜率为，则过且平行于直线的直线方程，联立，可得，解得（舍）或，则，所以，过且平行于椭圆在点处切