小学五年级数学《倍数关系建构与模型应用：最小公倍数深度探究》导学案

小学五年级数学《倍数关系建构与模型应用：最小公倍数深度探究》导学案

一、教学内容分析与顶层架构

（一）【核心素养导向·内容定位】

本课隶属于“数与代数”领域“数的认识”扩展模块，是小学阶段数论初步知识的最后一次系统延伸。本课并非孤立的算法技能课，而是以“公倍数”为载体的概念形成课与模型建立课。本课处在“因数与倍数”知识链的终端位置：上游承接倍数特征、分解质因数、最大公因数；下游直连通分、分数加减法及周期性实际问题。本课的核心价值不在于“求出最小公倍数”，而在于帮助学生完成从“单一数的倍数”到“两数公有倍数”的认知跃迁，初步建立“交集”思想，为中学学习“集合”“代数式最小公倍式”奠定思维基础。【非常重要】【高频考点】

（二）【大概念统摄·知识结构重组】

本设计打破教材“定义-例题-练习”的线性编排，采用“大概念”统摄下的主题整合教学。将“最小公倍数”置于“数的周期性”这一更宏大的视角下进行重构。核心问题链为：现实中的“同时发生”现象对应数学中的什么关系？——如何用数学语言描述这种“公有”关系？——如何高效找到这种关系中的最小值？——这种关系模型可以解决哪些类型的问题？由此将本课知识解构为三个层级：底层（概念根基）是倍数的意义与无限性；中层（核心概念）是公倍数与最小公倍数；上层（思想方法）是交集思想与周期模型。【重要】

二、学情精准画像与教学对策

（一）【认知起点·双维度诊断】

1.知识维度：学生已熟练掌握找一个数倍数的方法，对“一个数倍数的个数是无限的”有清晰认知。但绝大多数学生目前仅能孤立地看待两个数的倍数列，尚未建立“关联审视”的视角。对“既是……又是……”的句式虽能理解，但仅停留在语言层面，缺乏数学结构化的对应。

2.思维维度：五年级学生正处于从“具体形象思维”向“抽象逻辑思维”过渡的关键期，但仍有较强的情境依赖性。他们能够通过操作、列举解决具体问题，但要直接从两个数各自的倍数列表中抽象出“公倍数”这一全新概念，属于典型的概念同化过程，存在思维坡度。【难点】

（二）【教学对策·精准施策】

1.针对概念建构：不直接给出定义，而是通过“铺砖问题”制造认知冲突——为什么有些边长能铺满、有些不能？将“能铺满”转化为“边长既是长倍数又是宽倍数”，使抽象概念获得坚实的物理直观。

2.针对方法多样化：遵循“算法多样化-算法优化-算法条理化”路径，先充分暴露学生原始思维（列举、集合、筛选），再在比较中引导学生发现“大数翻倍法”“短除法”的优越性，尊重差异但不放任低效。

3.针对模型应用：设计三类梯度问题，从“识别公倍数关系”到“求最小公倍数”再到“逆用模型解决问题”，实现知识向能力的转化。

三、素养化教学目标体系（每一条均指向可观测、可测评）

（一）【概念建构维度】

1.经历“铺正方形”的操作与想象活动，能用自己的语言解释“公倍数”就是“同时是几个数的倍数”，并能举例说明；能准确辨别两个数的公倍数与单个数倍数的区别与联系，形成正确的概念表象。【基础】

2.在集合图的填写与解读中，能说出韦恩图中三部分（A独有、B独有、交集）各自的含义，建立初步的集合思想。

（二）【算法掌握维度】

1.独立探究出求两个数最小公倍数的基本策略，至少能熟练运用“列举法”和“大数翻倍法”求解；在教师引导下，理解“短除法”的算理（除以质因数直至商互质），掌握规范的书写格式。【重要】【高频考点】

2.通过观察、比较、归纳，能总结出特殊关系数对（倍数关系、互质关系）的最小公倍数规律，并能直接运用规律口算。【热点】

（三）【模型意识维度】

1.能将“铺砖”“报数”“接轨”“同时出发”等生活情境中的“同时发生”“正好铺满”等关键信息抽象为“求公倍数或最小公倍数”的数学模型。

2.在解决实际问题的过程中，能根据问题情境准确区分是求“最小公倍数”还是求“指定范围内的公倍数”，避免模型泛化。

四、教学重点与难点切片分析

（一）【教学重点】

理解公倍数与最小公倍数的意义，掌握用列举法和短除法求两个数最小公倍数的方法。

（二）【教学难点】

1.概念建构层面：从“分别找倍数”到“找公有倍数”的思维跃迁，尤其是对“公倍数的个数是无限的，没有最大公倍数”这一逻辑必然性的深刻理解。【难点】

2.算法理解层面：短除法中“商必须互质”的原因，以及为何“把除数和商乘起来”得到的就是最小公倍数。【难点】

3.模型应用层面：当实际问题表述为“至少”“最少”“再次相遇”时，能精准对应到“最小公倍数”；当问题表述为“可能是多少”“哪些时刻”时，能对应到“公倍数”。

五、教学准备与媒材设计

（一）学具准备：每组一张方格纸（模拟墙面）、若干套长3cm宽2cm的长方形纸片（模拟墙砖）、记录单。

（二）教具准备：动态课件（可演示铺砖过程、集合图生成过程、短除法分步分解过程）、磁性黑板贴（长方形、正方形模型）。

（三）学习单设计：包含“猜想-验证-记录”三栏表、方法收集区、规律发现区、分层闯关题。

六、教学实施过程（深度展开·约5000字核心篇幅）

第一课时：公倍数概念的诞生与方法的探寻

（一）【破冰与定向】唤醒经验，确立研究路径（3分钟）

师：同学们，回想我们学习“最大公因数”时，我们是怎么研究两个数的公因数的？

（生回顾：先分别找因数，再找相同的因数，最大的那个就是最大公因数。）

师：非常清晰。我们可以把这种“分别找——找公共——找特殊（最大/最小）”的研究路径称为“数对研究通用模型”。今天，我们将沿着完全相同的路径，去研究两个数的倍数关系。请看大屏幕——（板书副标题：从公因数到公倍数，方法迁移）。【基础】

（二）【具身操作】问题驱动：铺砖中的数学秘密（12分钟）

1.情境呈现与规则内化

课件出示：王叔叔装修厨房，选用一种长方形墙砖，长3分米，宽2分米。他想用这种墙砖铺成一个正方形（要求使用墙砖必须整块，不能切割）。请问：铺成的正方形边长可以是多少分米？最小是多少分米？

师：请一位同学当“翻译官”，把这道题的要求转换成数学条件，说给同桌听。

（生提炼：整块→不能切割，必须用整数块；正方形→边长相等；铺满→无缝隙，完全覆盖。）

2.猜想阶段：激活经验，暴露前概念

师：凭直觉猜一猜，正方形的边长可能是几分米？有同学脱口而出“6分米”，有同学说“12分米”，也有同学小声说“8分米”？意见不统一。请把你们的猜想写在记录单的“猜想栏”里。

3.操作验证：手脑并用，建立表象

（学生以小组为单位，用长方形纸片在方格纸上拼摆。教师巡视，捕捉典型资源。）

师：我看到有的小组动作很快，而且拼出了好几种；有的小组还在尝试。请大家暂停一下，我们先请成功拼出正方形的组来分享。

组1：（展示边长6cm的正方形）我们用长3宽2的长方形，横着摆2个，竖着摆3个，正好拼成一个边长6的正方形。我们算了，一共用了6块砖。

组2：（展示边长12cm的正方形）我们拼的是边长12的。横着摆4个，竖着摆6个，用了24块砖。

师：还有不同的吗？有没有拼出边长18的？（生点头）那你们有没有尝试拼边长8的？（全班沉默，有小组摇头）为什么6、12、18都能拼成，而8却不行？请大家放下学具，用算式来分析。能拼成的正方形边长与砖的长3、宽2之间有什么关系？

4.本质抽象：从操作到概念

生1：边长6，6÷3=2，6÷2=3，所以6既是2的倍数，也是3的倍数。

生2：边长12，12÷3=4，12÷2=6，所以12既是2的倍数，也是3的倍数。

生3：边长8，8÷2=4，8÷3=2……2，8只是2的倍数，不是3的倍数，所以不能正好铺满。

师：（缓慢而有力）也就是说，“能正好铺满”这个生活现象，翻译成数学语言，就是——正方形的边长“既是2的倍数，又是3的倍数”。（板书：既是……又是……）数学家给这样的数起了一个名字：2和3的公倍数。（板书：公倍数）那6、12、18……这些都是2和3的公倍数。其中，谁是最小的？6。6就是2和3的——最小公倍数。（完整板书课题）【非常重要】【核心概念建立】

（三）【方法群探】开放探索：寻找6和8的最小公倍数（15分钟）

1.独立尝试，暴露原始思维

师：刚才我们从操作中“看”到了公倍数。如果现在没有纸片，给你两个数，比如6和8，你能想办法找出它们的最小公倍数吗？请你独立思考，把你想到的所有方法都记录下来，方法越多越好。

（学生独立探究，教师巡视，收集典型解法。此时不急于交流，给足思维时间。）

2.分层展示，从粗糙到精细

师：老师收集了4位同学的作品。我们不看对错，先看思路。

方法一（列举法）：6的倍数：6，12，18，24，30，36，42，48……8的倍数：8，16，24，32，40，48……公倍数有24，48……最小公倍数是24。

方法二（筛选法）：先写出8的倍数：8，16，24，32，40，48……在这些数中圈出6的倍数，24是第一个，所以24是它们的最小公倍数。

方法三（集合图法）：画两个相交的圈，左边写6的倍数（24、48…写中间交集），右边写8的倍数，交集部分写公倍数。

方法四（大数翻倍法）：只看大数8，8×1=8，不是6倍数；8×2=16，不是6倍数；8×3=24，是6倍数！所以24就是它们的最小公倍数。【热点·最优策略】

3.算法比较与优化

师：这四种方法，你更喜欢哪一种？为什么？

生1：我喜欢列举法，最清楚，不会漏。

生2：我觉得大数翻倍法最快，尤其是两个数比较大的时候，不用写那么多。

生3：集合图看起来很直观，哪个数属于哪一目了然。

师：其实方法没有好坏，只有“是否合适”。当我们需要从小到大找第一个公倍数时，大数翻倍法效率最高；当我们需要找出多个公倍数时，列举法更全面。而短除法，是一种更专业、更高级的方法，想知道吗？

4.短除法的算理突破（难点攻坚）

师出示短除法算式：

2|68

-------

34

师：为什么除以2？因为2是6和8的公有的质因数。除到什么时候停？（生：除到3和4只有公因数1，互质了）那么最小公倍数怎么算？

板书：6和8的最小公倍数=2×3×4=24

师追问关键的三个问题：

（1）为什么要把除数和商乘起来？【非常重要】

（生结合矩形模型理解：2表示“行”的公因数，3和4分别表示“行”和“列”各自剩下的倍数因子，乘起来正好是能同时被6和8整除的最小正方形边长——即最小公倍数。）

（2）为什么除到商互质就不能再除了？

（3）如果继续除下去，比如再除以1，商变成3和4，结果一样，但1不是质数，没有意义；如果强行再除以别的数，商就不是整数了。）

师：短除法本质是“分解质因数后，公有质因数取一次，各自独有质因数全取”的简洁算法。它和列举法求出的结果完全一致，但书写简洁，适合任意两个数，是中学数学的必备技能。【高频考点】

5.概念深挖：公倍数的个数

师：刚才我们找到了24、48……都是6和8的公倍数。请继续往下写，还能写吗？（72，96……）能写完吗？（不能，因为倍数是无限的，所以公倍数也是无限的。）有没有最大的公倍数？（没有。）我们在公因数里学过，两个数的公因数是有限的，有最大的；但公倍数是无限的，没有最大的，只有最小的。【基础·易错】

（四）【规律发现】特殊关系数对的最小公倍数（8分钟）

1.分组计算，对比发现

师：请快速求出下面每组数的最小公倍数，看看你有什么惊人的发现。

第一组：3和6、2和8、5和25

第二组：5和6、4和9、3和8

第三组：4和6、6和9、8和12

（学生计算，小组交流）

生1：第一组，大数是小数的倍数，最小公倍数就是那个大数！比如3和6，最小公倍数是6。

生2：第二组，两个数只有公因数1，比如5和6，最小公倍数是30，就是它们的乘积。

生3：第三组，既不是倍数关系，也不是互质关系，最小公倍数比大数大，比乘积小。

师：总结得极其精准！这就是求最小公倍数的三种类型。其中，倍数关系和互质关系是“特例”，可以直接口算。【重要】【高频考点】

2.即时巩固与变式

快速抢答：9和18（18）；7和8（56）；4和6（12）；10和11（110）；14和21（42）。（重点追问14和21：你是怎么想的？不是倍数，也不互质，短除法除7，商2和3，乘起来42。）

（五）【分层实训】核心巩固与思维爬坡（7分钟）

1.基础层（所有学生完成）：用短除法求12和18、15和20的最小公倍数。要求书写规范，商互质才停。

2.提高层（中等以上完成）：已知A=2×3×5，B=2×3×7，求A和B的最小公倍数。（生：2×3×5×7=210）追问：为什么没有把两个2和两个3都乘起来？【重要】

3.挑战层（学有余力）：甲数是乙数的1/3，甲乙两数的最小公倍数是54，求乙数。（逆向思维，54是乙数的倍数，且乙数是甲数的3倍，引导推理乙=18，甲=6。）

（六）【课堂小结与反思】结构化梳理（3分钟）

师：今天我们沿着“研究公因数”的路径，研究了“公倍数”。请你根据板书，从“概念、算法、特例、思想”四个维度，和同桌说说这节课的收获。

生1：我明白了公倍数就是几个数公有的倍数，最小的那个叫最小公倍数。

生2：我会用三种方法求最小公倍数了，最喜欢短除法，很帅。

生3：我知道了如果两个数是倍数关系，大的就是它们的最小公倍数；如果互质，乘积就是。

生4：我发现数学和生活联系很紧，铺砖问题就是找公倍数。

第二课时：最小公倍数的模型应用与深度拓展

（一）【复习导入】从技能回滚到思想强化（5分钟）

1.限时口算：求下列各组数的最小公倍数（卡片出示）

4和10（20）、6和9（18）、5和7（35）、8和12（24）、1和9（9）、3和5（15）。

（重点关注1和9，明确：1和任何非零自然数互质，最小公倍数是那个非零自然数本身。）

2.思维热身：用一句话说说公倍数和公因数的最大区别。

（生：公因数的个数有限，有最大公因数；公倍数的个数无限，没有最大公倍数，只有最小公倍数。）

（二）【模型建立】从“铺砖”到“周期”的抽象（10分钟）

1.模型提炼

师：回顾昨天的铺砖问题，实际上是一种“正好铺满”模型。在这个模型中，正方形的边长必须同时是砖长和砖宽的倍数。这是一个典型的“同时满足两个条件”的数学问题。

师：生活中有大量这样的问题。比如——（课件出示）

问题1：公交站，3路车每6分钟发一班，5路车每8分钟发一班。如果早上6:00两车同时发车，下一次同时发车是几时几分？

问题2：小兰的跳绳训练，她3天去一次体育馆，小刚5天去一次。某天两人在体育馆相遇，至少再过多少天再次相遇？

师：请大家找找，这两个问题，和铺砖问题有什么相同的数学结构？

生：都是要找两个数的公倍数。铺砖找边长，发车找时间，相遇找天数。都是同时发生，求下一次，就是求最小公倍数；求哪些时刻，就是求公倍数。

2.建模语言

师：我们把这类问题称为“周期性事件同时发生问题”。数学模型是：若事件A的周期为a，事件B的周期为b，则两事件同时发生的间隔是a和b的公倍数，第一次同时发生后的再次同时发生间隔是最小公倍数。【非常重要】【核心模型】

（三）【模型应用】分层问题解决（15分钟）

1.基础应用——直接对应模型

题目：一种零件，长8毫米，宽6毫米。需要将若干个这种零件拼成一个正方形（无缝隙、不切割），这个正方形的边长至少是多少毫米？此时需要多少个零件？

（生独立完成，汇报：先求8和6的最小公倍数24，正方形边长24mm；再算长需要24÷8=3个，宽需要24÷6=4个，共3×4=12个。）

师追问：为什么是“乘”而不是“加”？（因为铺满是一个二维问题，长铺几个、宽铺几个，总块数是长方向块数乘宽方向块数。）

2.变式应用——辨析“至少”与“可能”

题目：有一筐苹果，如果每人分4个，还剩3个；如果每人分6个，也还剩3个。这筐苹果至少有多少个？

（很多学生读完马上写：4和6的最小公倍数是12，苹果有12+3=15个。）

师：为什么不是直接用公倍数，而是公倍数加余数？

生：因为两种情况都剩3个，说明苹果数减去3后，既能被4整除又能被6整除，所以苹果数减3是4和6的公倍数。问至少，就是最小公倍数12，再加3得15。

师：这就是“不足问题”或“余同问题”的模型。关键是把“多几”或“少几”转化成“公倍数±余数”。【难点·易错】

3.拓展应用——逆用模型

题目：甲、乙两数的最小公倍数是24，甲数是8，乙数可能是多少？

（小组合作，列举8的倍数：8、16、24、32……但乙数必须小于或等于24？不一定！引导学生用短除法逆向思考：24÷8=3，说明乙数里必须包含8没有的质因数3，且乙数不能超过24？不，也可以是24的倍数。所以乙数可能是3、6、12、24。重点讨论：为什么不能是15？因为15和8的最小公倍数是120，不是24。逐个验证，深化对最小公倍数概念的理解。）【热点·挑战】

（四）【跨学科融合】公倍数在时间周期中的应用（5分钟）

师展示月历：2025年3月1日是星期六。

问题1：这个月的16日是星期几？（周期7天，1日周六，16-1=15天，15÷7=2周……1天，周日。）

问题2：这个月的几号是星期六？（1号、8号、15号、22号、29号。这是7的倍数加1？不，是日期减1是7的倍数。）

问题3：科学课中，单摆实验，甲摆周期4秒，乙摆周期6秒。它们从同一位置同时开始摆动，几秒后再次同时回到起始位置？

（生：就是求4和6的最小公倍数12秒。）

师：你看，公倍数不仅在数学书里，在科学、体育、音乐节拍中无处不在。它是描述“周期性同步”最简洁的数学语言。

（五）【当堂检测】精准评估，查漏补缺（7分钟）

1.求下面各组数的最小公倍数（短除法）：16和20、18和24、26和39。

2.判断题：两个数的公倍数一定大于其中任何一个数。（×，反例：4和8的公倍数8等于8。）

3.解决问题：一条公路，一端有路灯，每隔45米装一盏，另一端也有路灯，每隔60米装一盏。如果起点处都装了，至少再隔多少米又会同时装路灯？

（求45和60的最小公倍数。短除法：用15除，商3和4，15×3×4=180米。）

4.思维拓展题：a÷b=4，a和b的最小公倍数是（a），最大公因数是（b）。

（六）【全课总结】知识系统化纳入（3分钟）

师：请同学们拿出白纸，用你喜欢的方式（思维导图、表格、数轴等）整理这一单元“因数和倍数”与“公倍数”的知识网络。标出你认为最重要的概念、最容易错的点、最巧妙的解法。

（学生绘制，教师巡视。选取优秀作品投影展示：有学生以“因数”为树根，分出公因数、最大公因数、互质数、质因数分解；以“倍数”为另一树根，分出公倍数、最小公倍数、通分。并在交集处注明“短除法是共同工具”。）【重要·结构化】

七、作业体系设计：精准分层，弹性选择

（一）基础巩固类（必做）

1.数学书第71页第1、2、3题（用短除法求解，书写规范）。

2.找出下列每组数的最小公倍数，并说明你是用什么方法找到的：12和16、15和20、7和9、10和25。

（二）综合应用类（必做）

1.暑假期间，小红每4天去一次图书馆，小明每6天去一次图书馆。7月1日两人都去了图书馆，下一次两人同去图书馆是几月几日？

2.一张长方形纸，长45厘米，