小学五年级数学《四则混合运算（二）》周末深度研学设计

小学五年级数学《四则混合运算（二）》周末深度研学设计

一、导学思想与核心素养锚点

【非常重要】本设计立足冀教版五年级上册第五单元“四则混合运算（二）”的教学内容，以课程改革倡导的“深度学习”与“大单元教学”理念为指导。本设计旨在引导学生超越单纯的计算技能掌握，深入理解四则混合运算的内在逻辑与结构，发展高阶思维。我们锚定数学核心素养的三大支柱：【核心·数学眼光】通过在实际情境中抽象数量关系，培养符号意识与模型意识；【核心·数学思维】通过探究运算顺序的规定性与运算律的推广，发展推理意识与灵活简算的策略意识；【核心·数学语言】通过严谨的算理表达和解题步骤书写，规范数学表达，养成严谨的逻辑习惯。本学案作为周末拔尖提升材料，不仅要巩固基础，更要拓展视野，打通知识间的隔断墙，为后续学习小数、分数四则运算奠定坚实的思维基础。

二、教学内容深度整合

本单元教学内容是整数四则混合运算的深化与完善，主要包括：带括号的三步混合运算（包括方括号[]的引入）、整数运算律在小数范围内的推广与应用、以及运用综合算式解决稍复杂的实际问题。从知识体系看，它既是整数运算的终结性提升，又是过渡到小数、分数运算的桥梁。从思维层次看，它要求学生的思维从“程序性计算”向“结构性分析”转变。因此，本学案将内容整合为三大模块：模块一【基础·运算顺序的再建构】、模块二【核心·运算律的横向迁移与纵向深挖】、模块三【难点·数量关系的模型化表达与策略优化】。

三、学情精准研判

五年级学生已经掌握了整数两级运算的混合顺序以及小括号的使用，具备了一定的计算能力和初步的简算意识。然而，在实际学习中，存在以下【高频易错点】与【难点】：

1.【易错·运算顺序混淆】当题目中同时出现小括号、方括号以及多级运算时，部分学生会因步骤繁琐而产生顺序错误，尤其是括号内运算未完成就急于去括号。

2.【难点·简算意识的盲目性】学生往往“为了简算而简算”，看到数字（如25、125、4、8）就盲目凑整，而不先审题、观察整体运算结构，导致在不能用运算律的地方强行使用，造成错误。

3.【思维瓶颈·信息干扰】在解决实际问题时，面对多余条件和隐含条件，学生难以准确提取核心数量关系，无法自主建构正确的综合算式，尤其是需要逆向思考或涉及“归一”、“归总”变式的问题。

四、研学目标层级设定

（一）基础性目标（面向全体）

1.熟练掌握含有小括号和方括号的三步混合运算的运算顺序，能正确、规范地进行脱式计算。

2.理解整数乘法运算律（交换、结合、分配）在小数加法、乘法中同样适用，并能初步应用于简算。

（二）拓展性目标（面向大部分）

3.能根据算式特点，灵活、合理地选择简便算法，并清晰阐述简算依据（即运用了哪条运算律）。

4.能借助线段图、列表格等策略分析稍复杂的实际问题，能独立列出综合算式并解答。

（三）挑战性目标（面向学有余力）

5.能对运算律进行结构化梳理，发现其在整数、小数范围内的统一性，并尝试用字母或符号进行一般化表达。

6.能通过改编问题条件或问题，实现从“解题”到“编题”的思维跃迁，深刻理解数量间的互逆关系。

五、教学准备与资源

1.教师准备：研学任务单（分层设计）、多媒体课件（动态演示运算顺序、数量关系）、微课视频（方括号的由来与作用）。

2.学生准备：双色笔、草稿本、思维导图本。

六、教学实施过程（核心环节深度展开）

本过程设计为180分钟的周末自主研学与深度探究，建议分时段完成，每个环节均配有“研学指导语”和“自我反思提问”。

（一）前置挑战：唤醒经验，暴露迷思（建议用时20分钟）

【研学任务1：计算诊断室】

呈现一组对比强烈的算式，不要求计算结果，只要求判断运算顺序是否正确，并说明理由。

算式A:12.6÷(5.7-1.9×3)算式B:12.6÷(5.7-1.9)×3

算式C:[150-(80+30)]×4算式D:150-(80+30)×4

【实施要点】

学生首先独立判断，用红笔圈出每一步应先算的部分。然后对照答案，分析错误原因。

【研学指导语】请仔细观察，括号的位置变化如何改变了“算命的顺序”？在算式D中，如果我想让最后的差乘以4，括号应该加在哪里？

【设计意图】通过“找茬”和“加括号改变运算顺序”的活动，【基础·运算顺序】被强化。这不仅是复习，更是对学生思维定势的冲击，让他们深刻认识到括号在数学表达中的“优先权”和“改变结构”的威力。同时，引入小数，为后续推广做铺垫。

（二）深研精讲：聚焦核心，建构模型（建议用时70分钟）

本环节分为两个层次：运算律的推广与深化、运算律的综合应用。

1.运算律的横向迁移与纵向深挖

【研学任务2：发现“新大陆”】

呈现两组计算题，请学生分别计算，并比较结果。

第一组（小数乘法）：0.7×1.2与1.2×0.7

第二组（小数乘法）：(0.8×0.5)×0.4与0.8×(0.5×0.4)

第三组（小数乘法）：2.4×(0.5+0.3)与2.4×0.5+2.4×0.3

【研学过程】

（1）学生独立计算，发现每组算式的结果都相等。

（2）【核心·推理意识】引导学生思考：为什么结果会相等？这背后蕴含着我们学过的什么规律？

（3）【核心·模型意识】引导学生用语言描述：整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于小数乘法同样适用。

（4）【非常重要·结构化认知】教师进一步追问：“那么，这些运算律仅仅适用于乘法吗？在小数加法中呢？在整数加减乘除混合运算中，是否所有运算律都能照搬？”引导学生展开讨论，明确：加法交换律、结合律在小数加法中同样适用；但减法和除法没有交换律和结合律，除法虽然有“商不变性质”，但其应用场景与运算律有区别，不能混淆。

【设计意图】此任务【核心·运算律建模】通过计算、比较、归纳，让学生经历了一次从特殊到一般的科学探究过程。学生不仅记住了结论，更理解了运算律的本质——它们揭示了数运算中的不变关系，是脱离具体数值而存在的“数学定律”。这为学生后续灵活运用奠定了坚实的理论基础。

2.运算律的巅峰应用：灵活简算的策略选择

【研学任务3：简算策略“奥斯卡”】

呈现一组可以简便计算的题目，要求学生不急于动笔，而是先进行“审题观察”，然后选择最简洁的方法计算，并说明每一步的依据。

题目设计（由易到难，层层递进）：

(1)基础层：12.5×3.2×2.5

(2)进阶层：4.8×99+4.8

(3)挑战层：7.2×5.8+0.72×42（或72×0.58+7.2×4.2）

(4)巅峰层：3.6÷0.25

【研学过程】

（1）【难点·审题与变式】对于第(1)题，引导学生思考：12.5和2.5是“黄金搭档”，但3.2不是它们的直接伙伴，怎么办？（拆分3.2为8×0.4或0.8×4，实现“凑整”）。

（2）【热点·乘法分配律的逆用】对于第(2)题，引导学生识别“99个4.8加1个4.8”的模型，理解“×1”的隐身意义，【高频考点·分配律】得以强化。

（3）【难点·积不变的规律】对于第(3)题，这是乘法分配律的高级变式。引导学生观察两个乘法算式中的因数，能否通过“积不变的规律”（一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变）将它们转化成相同的因数？例如，将0.72×42转化成7.2×4.2，或者将7.2×5.8转化成0.72×58。这个过程是思维含量极高的【难点突破】环节。

（4）【拓展·商不变性质的应用】对于第(4)题，学生可能直接用竖式除法。引导学生思考：能否利用“商不变的性质”，将被除数和除数同时乘以4，将除数0.25变成1，从而实现口算？即3.6÷0.25=(3.6×4)÷(0.25×4)=14.4÷1=14.4。这虽然不是运算律，但同样是基于运算性质的灵活简算，打通了除法与乘法的联系。

【研学指导语】请记住，真正的简算高手，第一件事不是拿笔算，而是用眼睛“审题”。你要像侦探一样，寻找数字间的“关系”和“特征”。在计算过程中，每一步都要问自己：这一步的依据是什么？（是用了交换律？结合律？分配律？还是商不变性质？）

【设计意图】此环节【核心·灵活简算策略】将计算技能的培养上升为策略选择。通过层次分明的题目，让学生在应用中辨析、在辨析中优化，最终形成“审题—观察—定策—计算—检验”的完整计算链条。特别是第(3)(4)题，极大地拓宽了学生的简算视野，打破了思维定势，培养了思维的深刻性和灵活性。

（三）综合提升：解决问题，建模应用（建议用时60分钟）

本环节将数学运算与实际问题深度融合，培养学生用数学模型解决复杂情境问题的能力。

【研学任务4：走进生活“数学坊”】

呈现三道由易到难的实际问题，要求学生不仅会做，还要会讲、会变。

题目1（基础·归一问题）：“一支修路队，3小时修路2.4千米。照这样计算，修10千米长的路，需要多少小时？”

【实施要点】引导学生先求单一量（每小时修多少千米），再求总量所需时间。重点训练列综合算式：(10÷(2.4÷3)或10÷2.4×3？讨论两种列式的合理性，区分“归一”和“倍比”两种思路。强调每一步的实际意义。

题目2（核心·相遇问题中的小数运算）：“甲、乙两艘轮船同时从A、B两港相对开出，甲船每小时行25.5千米，乙船每小时行22.5千米，4.5小时后两船还相距36千米。A、B两港之间的航程是多少千米？”

【实施要点】

（1）【难点·线段图辅助】要求学生必须画出线段图，标出速度、时间和相距部分。通过数形结合，理清数量关系：航程=甲走的路程+乙走的路程+相距路程。

（2）【热点·三步混合运算】列出综合算式：25.5×4.5+22.5×4.5+36。引导学生观察，能否运用乘法分配律使计算简便？即(25.5+22.5)×4.5+36。

（3）【拓展·变式思维】如果问题是“两船相遇后，又继续行驶了0.5小时，此时两船相距多少千米？”又该如何分析？引导学生理解，相遇后两船背向而行，此时距离是两船速度和乘以0.5小时。

题目3（挑战·综合与实践：购物中的数学）：“学校要购买35套课桌椅。桌子每张128.5元，椅子每把62.5元。甲商店：买五送一（只针对桌子）。乙商店：所有商品八折优惠。请问，到哪个商店购买更划算？请通过计算说明。”

【实施要点】

（1）【核心·多步骤决策】这是一个开放性的综合问题，需要学生分步计算，比较分析。

（2）【难点·促销策略理解】理解“买五送一”的含义：买5张桌子，实际得到6张，相当于每6张桌子为一组，只需付5张的钱。需要计算35张桌子需要买几组，零头几张。

（3）【综合·四则混合运算大练兵】计算甲商店总价：先算桌子的钱（分组计算），再算椅子的钱（无优惠）。计算乙商店总价：(128.5+62.5)×35×80%或(128.5+62.5)×35×0.8。

（4）【模型意识·方案优化】引导学生将决策过程用表格整理，使思路更清晰。最终得出结论，并思考，如果人数变化，比如买36套，哪个更划算？

【设计意图】这三个问题层层递进。【题目1】巩固归一基本模型；【题目2】在行程问题中嵌入小数混合运算，并强化数形结合与简算应用；【题目3】则是将数学知识置于真实、复杂的购物情境中，考验学生的信息筛选能力、模型建构能力和策略优化能力，实现了数学与生活的深度链接，是【核心·应用意识】的最高体现。

（四）反思重构：思维导图与错题诊疗（建议用时30分钟）

【研学任务5：构建我的“运算宇宙”】

学生以小组或独立形式，绘制本单元的思维导图。

【核心梳理要点】

1.中心：四则混合运算（二）。

2.主干一：运算顺序（先括号内，后括号外；先乘除，后加减；同级从左到右）。特别标注方括号的出现，是在小括号完成使命之后。

3.主干二：运算律的疆域（整数、小数）。详细列出交换律、结合律、分配律的字母表达式，并注明其适用范围。用红笔标注“易错警示”：如a-(b+c)=a-b-c而不是a-b+c；a÷(b×c)=a÷b÷c而不是a÷b×c。

4.主干三：简算策略（审题—观数—选律—计算—检验）。整理本单元遇到的各种简算“题型”，如“拆数凑整”、“分配律逆用”、“积不变找公因数”、“商不变巧除法”等。

5.主干四：实际应用（归一、相遇、购物决策……）。提炼每种问题的基本数量关系式和解题模型。

【研学指导语】请你像一个科学家一样，把你学到的碎片化的知识，整理成一个有结构的系统。这个思维导图，就是你大脑中关于“运算”的宇宙图谱。同时，拿出你的错题本，把本周做错的题拿出来，在导图中找到对应的知识点，分析错误是因为“基础不牢”（顺序错）？还是“核心未掌握”（定律用错）？还是“难点未突破”（模型没建立）？

【设计意图】【非常重要·元认知能力培养】反思与重构是将知识内化为能力的关键一步。思维导图的绘制，帮助学生建立起结构化的知识体系。而错题诊疗，则引导学生对自己的学习过程进行监控和调节，实现从“学会”到“会学”的转变。这不仅是知识的总结，更是学习能力的升华。

七、作业设计：分层进阶，各取所需

1.基础巩固层（必做）：

计算：(15.4-30.6÷3)×0.512.5×883.96-1.8+2.04-2.2

应用：某工厂计划生产一批零件，每天生产240个，需要15天完成。实际每天多生产60个，实际多少天完成？

【设计意