大学毕业数学结业试题及答案全解

大学毕业数学结业试题及答案全解考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.函数f(x)=ln(x^2-2x+3)的定义域是().A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[1,3]C.(-∞,3]∪[1,+∞)D.R2.极限lim(x→2)(x^3-8)/(x^2-4)的值等于().A.4B.2C.1D.03.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间(1,+∞)上的单调性是().A.递增B.递减C.先递增后递减D.先递减后递增4.若函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)=0，则函数f(x)在x0处().A.必有极值B.必无极值C.可能取得极值也可能不取极值D.曲线在x0处的切线平行于x轴5.级数∑(n=1to∞)(-1)^(n+1)*(1/2^n)是().A.发散级数B.条件收敛级数C.绝对收敛级数D.无法判断敛散性二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。请将答案填在题中横线上。）6.曲线y=e^(x^2)的拐点是________.7.函数f(x)=|x-1|在区间[0,2]上的积分值等于________.8.设函数z=z(x,y)由方程x^2+y^2+z^2=1确定，则z对x的偏导数∂z/∂x在点(0,1,-1)处的值等于________.9.行列式|A|=|[1,2;3,4]|的值等于________.10.矩阵A=[[1,2;3,4]]的秩r(A)等于________.三、计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）11.计算极限lim(x→0)(sin3x)/(5x).12.求函数f(x)=x^2-4x+5的单调区间和极值.13.计算不定积分∫(x^2+1)/(x+1)dx.14.求解线性方程组：x1+2x2+x3=12x1+x2+3x3=3x1+x2+2x3=2四、证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分。）15.证明：函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-2,2]上至少存在一个零点.16.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)>0。证明：在(a,b)内至少存在一点ξ，使得∫[a,b]f(x)dx=f(ξ)*(b-a).试卷答案一、单项选择题1.C2.A3.B4.C5.C二、填空题6.(0,1)7.18.-1/29.-210.2三、计算题11.解析：利用极限等价无穷小替换，lim(x→0)(sin3x)/(5x)=lim(x→0)(3x)/(5x)=3/5.答案：3/512.解析：f'(x)=2x-4.令f'(x)=0，得x=2.当x<2时，f'(x)<0；当x>2时，f'(x)>0.故f(x)在(-∞,2)上递减，在(2,+∞)上递增.极小值为f(2)=2^2-4*2+5=1.无极大值.答案：递减区间(-∞,2)，递增区间(2,+∞)，极小值1，无极大值.13.解析：∫(x^2+1)/(x+1)dx=∫[(x^2-1)+2]/(x+1)dx=∫(x-1)dx+∫2/(x+1)dx=(x^2/2-x)+2ln|x+1|+C.答案：(x^2/2-x)+2ln|x+1|+C14.解析：对增广矩阵进行行变换：[[1,2,1|1][2,1,3|3][1,1,2|2]]→[[1,2,1|1][0,-3,1|1][0,-1,1|1]]→[[1,2,1|1][0,1,-1/3|-1/3][0,-1,1|1]]→[[1,2,1|1][0,1,-1/3|-1/3][0,0,2/3|2/3]]→[[1,2,1|1][0,1,-1/3|-1/3][0,0,1|1]]→[[1,2,0|0][0,1,0|0][0,0,1|1]]→[[1,0,0|0][0,1,0|0][0,0,1|1]]得唯一解x1=0,x2=0,x3=1.答案：x1=0,x2=0,x3=1四、证明题15.解析：令F(x)=x^3-3x+1.则F(x)在[-2,2]上连续.F(-2)=(-2)^3-3*(-2)+1=-8+6+1=-1<0,F(2)=2^3-3*2+1=8-6+1=3>0.因为F(x)在[-2,2]上连续，且F(-2)*F(2)<0，根据零点定理，存在ξ∈(-2,2)，使得F(ξ)=0，即ξ^3-3ξ+1=0.故函数F(x)=x^3-3x+1在区间[-2,2]上至少存在一个零点.答案：证明完毕16.解析：令F(x)=∫[a,x]f(t)dt.则F(x)在[a,b]上连续可导，且F'(x)=f(x).根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈(a,b)，使得F(b)-F(a)=