江苏省苏州市常熟中学2025-2026学年高一（下）学情检测数学试卷（2月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省苏州市常熟中学高一（下）学情检测数学试卷（2月份）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知向量满足，，则在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.2.如图，在四边形ABCD中，设，，，则=（）A.

B.

C.

D.3.

在中，为边上的中线，为的中点，则(

)A.​ B. C. D.4.已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=(

)A. B. C. D.5.如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC=150°，点P在弧BC上运动，=λ+μ，则λ-μ的最小值是（）A.0 B. C.2 D.-16.已知且3sinβ=sin（2α+β），则tanβ的最大值为（）A. B. C.1 D.7.已知3cos2α-4sin2β=1，3sin2α-2sin2β=0，且α、β都是锐角，则α+2β=（）A. B.π C. D.8.若，则=（）A.3 B. C.2 D.4二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知函数，则（）A.f（x）的最小正周期为π

B.f（x）的图象关于直线对称

C.是奇函数

D.f（x）的单调递减区间为10.如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的点，当△APQ的周长为2时，则（）A.∠PCQ=45°

B.PQ的长度有最大值

C.△APQ的面积有最大值

D.△CPQ的面积有最小值11.点O是△ABC所在平面内的一点，下列说法正确的有（）A.若则O为△ABC的重心

B.若，则点O为△ABC的垂心

C.在△ABC中，向量与满足，且，则△ABC为等边三角形

D.若，S△AOC，S△ABC分别表示△AOC，△ABC的面积，则S△AOC：S△ABC=1：6三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数f（x）=sin（ωx+3φ）-2sinφcos（ωx+2φ）（ω＞0，0＜φ＜π），设T为函数f（x）的最小正周期，，且函数f（x）在（π，2π）上单调，则ω的取值范围为

.13.在锐角三角形ABC中,若,则tanAtanBtanC的最小值是

．14.已知向量，不共线，且满足，记，当，的夹角取得最大值时，的值为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数cos（2ωx）-1（ω＞0），f（x）的最小正期为π.

（1）求f（x）的值域；

（2）方程f（x）-n+1=0在上有且只有一个解，求实数n的取值范围；

（3）是否存在实数m满足对任意x1∈[-1，1]，都存在x2∈R，使成立.若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由.16.(本小题15分)

已知函数f（x）=2cosωx•sinωxcos2ωx，其中ω＞0．

（1）若函数f（x）的周期为π，求函数f（x）在[-，]上的值域；

（2）若f（x）在区间[-，]上为增函数，求ω的最大值，并探究此时函数y=f（x）-lg（x2）的零点个数．17.(本小题15分)

如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠POC=α.

​​​​​​​

（1）用角α表示AB，BC的长度；

（2）当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.18.(本小题17分)

如图，已知△ABC的面积为14，D、E分别为边AB、BC上的点，且AD：DB=BE：EC=2：1，AE与CD交于P．设存在λ和μ使，，，．

（1）求λ及μ；

（2）用，表示；

（3）求△PAC的面积．19.(本小题17分)

函数.

（1）若a=1，，求函数f（x）的值域；

（2）当，且f（x）有意义时，

①若0∈{y|y=|f（x）|}，求正数a的取值范围；

②当1＜a＜2时，求|f（x）|的最小值N.

1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】A

8.【答案】A

9.【答案】ACD

10.【答案】ACD

11.【答案】ACD

12.【答案】（0，]∪[，]

13.【答案】8

14.【答案】4

15.【答案】解：（1）函数，

∵f（x）的最小正周期为π．ω＞0，

∴，∴ω=1．

那么f（x）的解析式，

则当sin（2x-）=1时，函数取得最大值2，

当sin（2x-）=-1时，函数取得最小值-2

则取值范围是[-2，2]．即函数的值域为[-2，2]．

（2）方程f（x）-2n+1=0；在上有且有一个解，

转化为函数y=f（x）与函数y=n-1只有一个交点．

∵，∴，

因为函数在上增，在上减，

且，

∴或n-1=2，

所以1-≤n＜2或n=3．

（3）由（1）可知，∴f（x2）min=-2．

实数m满足对任意x1∈[-1，1]，都存在x2∈R，使得成立．

即成立，

令，

设，

那么，

∵x1∈[-1，1]，∴，可得t2+mt+6＞0在上恒成立．

令g（t）=t2+mt+6，其对称轴，∵上，

∴①当时，即m≥3，，解得；

②当，即-3＜m＜3时，，解得-3＜m＜3；

③当，即m≤-3时，，解得；

综上可得，存在m，可知m的取值范围是．

16.【答案】解：（1）f（x）=2cosωx•sinωxcos2ωx

​​​​​​​=sin2ωxcos2ωx=2sin（2ωx+），

若函数f（x）的周期为π，则=π，可得ω=1，

所以f（x）=2sin（2x+），

由x∈[-，]，可得2x+∈[-，]，

所以sin（2x+）∈[-，1]，

所以2sin（2x+）∈[-，2]，

即函数f（x）在[-，]上的值域为[-，2]．

（2）因为x∈[-，]，

所以-+≤2ωx+≤+，

因为f（x）在区间[-，]上为增函数，

所以（k∈Z），

所以（k∈Z），

又ω＞0，所以取k=0，可得ω≤，

所以ω的最大值为，

此时f（x）=2sin（x+），

则函数y=f（x）-lg（x2）的零点个数即为函数f（x）=2sin（x+）与y=lg（x2）图象交点的个数，

作出两函数图象如图所示：

由图象可知函数f（x）=2sin（x+）与y=lg（x2）图象有6个交点，

所以函数y=f（x）-lg（x2）的零点个数为6．

17.【答案】解：（1）在Rt△OBC中：OB=cosα，BC=sinα，

在Rt△OAD中：=tan=1，

∴OA=AD=BC=sinα，AB=OB-OA=cosα-sinα；

（2）矩形ABCD的面积

​​​​​​​S=AB•BC=（cosα-sinα）sinα

=cosαsinα-sin2α

=sin2α-

=（sin2α+cos2α）-

=（sin2α+cos2α）-

=sin（2α+）-，

由0＜α＜，得＜2α+＜，

所以当2α+=，即α=时，Smax=-．

18.【答案】解：（1）由于，，则，

，，，，

，∴

①，

②，

由①②得，．

（2）．

（3）设△ABC底边AB上的高为h,△PAB底边AB上的高为h1，

，，

设△ABC底边BC上的高为h2,△PBC底边BC上的高为h3,

，，

所以S△PAC=4．

19.【答案】解：（1）当a=1时，，

∵，则，令，

则t2=1+2sinxcosx=1+sin2x,可得sin2x=t2-1，

设，其中-1≤t＜1，

令m=t-1，则，

令，其中-2≤m＜0，下面证明函数h（m）在上单调递增，在上单调递减，

任取m1、m2∈[-2，0）且m1＜m2，则

=，

当，则m1m2＞2，此时h（m1）＜h（m2），

当，则0＜m1m2＜2，此时h（m1）＞h（m2），

∴函数h（m）在上单调递增，在上单调递减，

则，

∴函数f（x）在上的值域为．

（2）∵，则，

令，

设，

①若0∈{y|y=|f（x）|}，必有，

∵a＞0，∴a≥2，

当时，即当时，则，

解得，合乎题意；

当时，即当a≥2且时，则|p（t）|min=0，合乎题意．

综上所述，正数a的取值范围是{a|a≥2}；

②令n=at-1∈[-a-1，a-1]，则，

则，

令．

下面证明函数s（x）在上单调递减，在上为增函数，

任取x1、且x1＜x2，则x1-x2＜0，0＜x1x2＜q,，

∴s（x1）＞s（x2），∴函数s（x）在上单调递减，

同理可证函数s（x）在上为增函数，

在上为增函数，在