江西省2026届高三上学期9月开学联考数学试卷（含解析）

江西省2026届高三上学期9月开学联考数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．复数在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2．已知集合，，则(

)A. B. C. D.3．圆与直线的位置关系是(

)A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定的4．已知向量，满足，且，则(

)A.0 B.3 C.6 D.5．已知定义在R上的函数满足，则(

)A.0 B.1 C.2 D.6．已知数列满足，，则中的项小于0的有(

)A.0项 B.5项 C.6项 D.无数项7．已知函数是奇函数，且是的一个极值点，记的最小正周期为T，则T的最大值为(

)A. B. C. D.8．已知正三棱柱所有的顶点都在球O的球面上，记球O的体积为，正三棱柱的体积为，则的最小值为(

)A.3 B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知函数，则(

)A.当时，的解集为B.若是增函数，则a的取值范围为C.有且仅有一个零点D.曲线在点处的切线的斜率为10．从且中任取两个数，设这两个数的乘积为偶数的概率为，已知，则n的值可以为(

)A.3 B.4 C.2024 D.202511．已知椭圆的左､右焦点分别为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，下列结论正确的是(

)A.若，则C的离心率为B.若，则C的离心率为C.若，则C的离心率为D.若，则C的离心率为三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若，则________.13．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，若，则_____________.14．已知函数，若，则的最小值为________.四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知双曲线的左焦点为，离心率为2.(1)求C的方程；(2)过点F的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点P，且P是的中点，求.16．（15分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求C；(2)若，，求的面积.17．（15分）某知识竞赛中有A，B，C三类问题.参赛者从这三类问题中抽取两个问题进行回答，要求这两个问题属于不同类别.回答正确一个A，B，C类问题分别得30分，20分，10分，回答错误得0分.已知甲参与了该竞赛，且甲能正确回答A，B，C类问题的概率分别为0.5，0.6，0.8，每道问题回答正确与否相互独立，设甲的累计得分为X.(1)若甲从A，B两类问题中各抽取一个问题回答，求X的分布列及期望；(2)为使得累计得分更高，试分析，甲应该从哪两类问题中抽取问题回答.18．（17分）如图，是矩形的对角线，以为折痕将折起，使点C到达点P的位置.(1)若，证明：平面平面.(2)若，，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.19．（17分）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若，讨论的单调性；(3)若，，求a的取值范围.参考答案1．答案：A解析：复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A2．答案：C解析：，解得或，则集合或，则.故选：C.3．答案：A解析：圆圆心到直线的距离，所以圆与直线的位置关系是相交.故选：A4．答案：D解析：由题意知向量，满足，且，故，，即，，即，则，故选：D5．答案：A解析：由得：令，，则，得；令，则，得；令，，则，得.故选：A.6．答案：B解析：由，，可得：，又，所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，所以，所以，由，可得：，且，所以中的项小于0的有5项，故选：B7．答案：C解析：因为函数是奇函数，所以，且函数图象关于原点对称，，有，且，即化简可得对于任意x成立，因为不恒为0，所以且，即得，因为是的一个极值点，，即，可得，解得，的最小正周期为，所以当或时，T取最大值为.故选：C.8．答案：D解析：设正三棱柱的底面棱长为a，高为h，则；由正三棱柱的性质可知球心O位于上下底面中心连线的中点处，设半径为R，则，所以，.令，则，代入上式可得.令，则，其中；令得，当时，，为减函数，当时，，为增函数，所以的最小值为，所以的最小值为.故选：D9．答案：ABC解析：对于A，当时，，即，因为对数函数在上单调递增，所以，解得，其解集为，选项A正确；对于B，，函数有意义有，当时，函数定义域为，，在上单调递增，所以是增函数；当时，函数定义域为，，在上单调递减，所以是减函数.若是增函数，则a的取值范围为，选项B正确；对于C，令，即，则，，所以有且仅有一个零点，选项C正确；对于D，时，，求导得，则曲线在点处的切线斜率，时，在处无意义，故选项D错误.故选：ABC10．答案：AD解析：从n个数中任取两个数的组合数为，若两数的乘积为奇数，则这两个数都为奇数，当n为偶数时，奇数和偶数各有个，从个奇数中任取两个数的组合数为，此时，当n为奇数时，则奇数有个，从个奇数中任取两个数的组合数为，此时，对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确；故选：AD11．答案：ABD解析：由椭圆，可得，，且，则，对于A中，若，可得，又由椭圆的定义，可得，所以，在中，由余弦定理得，在中，可得，因为，所以，整理得，所以椭圆的离心率为，所以A正确；对于B中，若，因为，可得，，在和中，由余弦定理得，，因为，所以，整理得，所以椭圆的离心率为，所以B正确；对于C中，若，可得：由椭圆的定义，且，所以，可得，所以，在和中，由余弦定理得，，因为，所以，整理得，所以椭圆的离心率为，所以C不正确；对于D中，若，设，则，由勾股定理，可得，即，解得，即，，由，，且A，，B三点共线，可得，代入椭圆C的方程，可得，整理得，所以椭圆C的离心率为，所以D正确.故选：ABD.12．答案：/0.625解析：由于，故.故答案为：13．答案：4解析：如图，设直线与准线交于点H，分别过点A，B作准线的垂线，垂足为，，且准线与x轴的交点为，则由抛物线的定义可知，，，则，即，得，又，则，得.故答案为：414．答案：解析：由题设得，即为，故，整理得到：，令，，则，，故，故，由对称性不妨设，若，则，故，故，整理得：，故，矛盾.若，则，设，则，故在有解，令，，故或，故或，故或，故，故即故答案为：.15．答案：(1)(2)解析：（1）由已知可得，所以，，所以，所以C的方程为.（2）因为P是中点，所以点B的横坐标为2，所以，所以直线l的斜率，方程为，由，得，设，，则，，所以.16．答案：(1)；(2).解析：（1）在中，由，得由正弦定理得，由余弦定理得，而，所以.（2）由及正弦定理得，而，解得，由（1）得，解得，所以的面积.17．答案：(1)分布列见详解，.(2)从A，B两类问题中抽取问题回答得分更高.解析：（1）设甲回答A类问题正确为事件A，回答B类问题正确为事件B，则，.累计得分X可以取以下几种情况：0，20，30，50，，，，，所以X的分布列为：X0203050P0.20.30.20.3所以.（2）从A，C两类问题中抽取一个问题回答，设甲回答C类问题正确为事件C，则.累计得分Y可以取以下几种情况：0，10，30，40，，，，，所以Y的分布列为：Y0103040P0.10.40.10.4所以.从B，C两类问题中抽取一个问题回答，累计得分Z可以取以下几种情况：，，，，，所以Z的分布列为：Z0102030P0.080.320.120.48所以.结合(1)，因为，所以甲应该从A，B两类问题中各抽取问题回答.18．答案：(1)证明见解析.(2)解析：（1）因为，，，平面，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）过点P作，垂足为E，连接，则，所以就是二面角的平面角.因为，所以，作，垂足为F，则，，因为，，，平面，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面.过F作，垂足为G，因为，所以，所以，以D为原点，分别以，所在直线为x，y轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以是平面的一个法向量.设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值是.19．答案：(1)(2)时，单调递减，时，单调递增，(3)解析：（1）