四川省大数据联盟2026届高三上学期开学考试数学试卷（含解析）

四川省大数据联盟2026届高三上学期开学考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设命题,,则：()A., B.,C., D.,2．设复数z在复平面内对应的点位于第二象限,则复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3．已知点关于原点的对称点在抛物线的准线上,且为C上第一象限内一点,则()A.4 B.8 C.2 D.14．样本数据5.8,5.9,5.9,6.0,6.1,6.1,6.3,6.1的极差与第70百分位数之差为()A. B. C.5.6 D.5.85．已知集合,则A的非空真子集个数为()A.6 B.7 C.14 D.156．在中,,,,则()A.11 B.7 C.16 D.7．已知函数在R上单调递增,则的最大值为()A.0 B.3 C.6 D.88．如图,棱长为2的正方体中,A,B,C均为顶点,P为所在棱的中点,若平面,且A,B均在平面内,则平面截正方体所得图形的外接圆面积为(

)A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知偶函数满足：当时,,则()A. B.当时,C. D.函数在区间上有零点10．为提高同学们的科学积极性,某高中组织进行了一系列的自然物理实验.在某个实验中,统计同学们得到的实验测量结果X近似服从正态分布.已知,则()A. B.C. D.11．记双曲线的左、右焦点分别为,.若,以为圆心、4为半径的圆与E的右支交于P,Q两点,点M为E上一点,满足,则(

)A.E的渐近线方程为 B.的面积为3C. D.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知向量,,若在上的投影向量的模为3,则____________.13．已知函数,若,则_______________.14．已知,,若,则的最小值为____________.四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知函数的图象关于点对称.(1)求；(2)探究在区间上有几条平行于y轴且被曲线无限逼近的直线.16．（15分）2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年,某校以“铭记历史、缅怀先烈、珍视和平、开创未来”为主题举行纪念活动.为了解男、女同学对该活动的兴趣程度,对多位该校同学进行了调查,并将结果整理为如下列联表,其中a为正整数.

参加不参加合计男生女生合计(1)若根据小概率值独立性检验,认为是否参加该活动与性别有关,求a的最小值；(2)若,从参与调查且参加活动的同学中每次随机不放回地选1人,直到选中女生为止,求总选取次数X的分布列和数学期望.附：,.0.10.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82817．（15分）如图,在四棱锥中,与均为等边三角形,平面平面,点P与点Q在平面的异侧,.(1)证明：平面；(2)若A,P,C,Q四点共圆,求平面与平面夹角的余弦值.18．（17分）记为数列的前n项和,为数列的前n项和,已知.(1)证明：为等比数列；(2)求；(3)求.19．（17分）已知函数.(1)当时,求函数的图象在点处的切线方程；(2)若有唯一零点.（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）若为的极小值点,证明：.参考答案1．答案：A解析：因命题,,所以,.故选：A.2．答案：C解析：不妨设,,,则,所以在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C.3．答案：B解析：因为点关于原点对称点的坐标为,准线方程为,所以,则,所以曲线的方程为；由已知在曲线上,且为第一象限内一点,则,则.故选：B.4．答案：B解析：依题意,样本数据从小到大排列为5.8,5.9,5.9,6.0,6.1,6.1,6.1,6.3,极差为,由,得样本数据的第70百分位数为6.1,所以所求差为.故选：B.5．答案：C解析：由可得,即,即解得.于是,共4个元素,故其非空真子集个数为个.故选：C.6．答案：D解析：由,可得.显然,故,于是.在中由正弦定理可得,故.故选：D.7．答案：C解析：因为函数在R上单调递增,当时,,对称轴为,则,当时,,则,要使函数在区间上单调递增,则在区间上恒成立,得到.又因为,即,综上所述,,,所以则的最大值为6,故选：C.8．答案：C解析：如图,设Q,R为所在棱的中点,又且,所以四边形为平行四边形,则有,则经过点A,B,Q三点的平面即为符合题意的平面,则平面截正方体所得图形为矩形,其中,,故,所以平面截正方体所得图形的外接圆面积为.故选：C.9．答案：ACD解析：对于A,,A正确；对于B,当时,,则,B错误；对于C,当时,,,当且仅当时取等号,则,当时,,因此,C正确；对于D,,,即,因此在区间上有零点,D正确.故选：ACD.10．答案：AD解析：根据正态分布的对称性,若,则.由于,表明分布中心向右偏移,因此,故A正确；方差影响分布的宽度,但已知条件无法直接推导出方差的大小,当且时,满足,但,因此不一定大于4,故B错误；正态分布中,,,由于,正态分布的均值大于0,故,故C错误；同理,,故D正确.故选：AD.11．答案：BC解析：由题知,解得,故E的方程为,对于A,因为E的方程为,其渐近线方程为,所以A错误,对于B,由双曲线定义可知,不妨令,,而,故,即,整理得到,所以的面积,故B正确,对于C,易知圆的方程为,联立,消y得,解得（舍去）或,代入,可得,不妨令P在第一象限,则,,显然.由B知M与P,Q不重合,而在中,,故C正确,对于D,因为,在中,由余弦定理可得,所以D错误,故选：BC.12．答案：3或解析：在上的投影向量的模为,解得或.故答案为：3或.13．答案：2解析：,,所以,则.故答案为：2.14．答案：9解析：因,,则,,两边同乘得,整理得,又,,从而,则,当且仅当且,,即,时等号成立,则有,即,即,又,解得,当且仅当,时等号成立,所以的最小值为9.故答案为：9.15．答案：(1)(2)4条解析：(1)由函数的图象关于点对称,可得,,解得,,又因为,所以,故.(2)平行于y轴且被曲线无限逼近的直线的方程为,,解得,,由,,得,共4个取值,所以在区间上有4条平行于y轴且被曲线无限逼近的直线.16．答案：(1)10(2)分布列见解析,解析：(1)零假设为：否参加活动与性别无关．由题意可得若根据小概率值的独立性检验,认为是否参加该活动与性别有关,即不成立,则,解得.因为a为正整数,所以a的最小值为10.(2)当时,参与调查且参加活动的同学中共有男生3名,女生8名,故总选取次数X的可能取值有1,2,3,4.,,,,故X的分布列为X1234P所以.17．答案：(1)证明见解析(2)解析：(1)证明：因为是等边三角形,所以,在平面中,由,可知是的中垂线,故,而平面平面,平面平面,平面,故平面.(2)记O为的中点,由A,P,C,Q四点共圆可知,而,故.不妨令,易知,,,故以O为坐标原点,,,所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,故,,,.记平面的法向量为,,即,可取,记平面的法向量为,,即,可取.记平面与平面的夹角为,则.18．答案：(1)详见解析；(2)；(3).解析：(1)由可得,当时,两式相减,可得,又,则,,整理可得当时,当时,,,,解得,所以,数列是以1为首项,为公比的等比数列；(2)由(1)可知,,则,因为,则,化简整理,.(3)由(2)可知,,则设则则,整理可得：,则；设则,则,整理可得：,则；.19．答案：(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析解析：(1)当时,,则,又,,所以所求切线方程为,即.(2)（ⅰ）由题意得,若,则,故当时,,单调递减；当时,,单调递增.又,,当时,,,所以.由单调性和零点存在性定理可知,此时有两个零点,不符合题意；若,令,得或,①当,即时,有当时,,单调递减；当时,,单调递增；当时,,单调递减；又,时,,故在区间上必有一个零点,要使有唯一零点,只需,即.②当,即时,,单调递减,仅