四川省广元市广元中学2026届高三上学期入学考试数学试卷（含解析）

四川省广元中学2026届高三上学期入学考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，则，则等于(

)A. B. C. D.2．复数的虚部为()A. B.2 C.11 D.3．函数的图象大致为(

)A. B. C. D.4．已知，为单位向量，且，则向量与的夹角为(

)A. B. C. D.5．双曲线的一条渐近线的倾斜角为,则C的离心率为(

)A. B. C. D.6．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为()A.8 B.24 C.48 D.1207．已知等差数列的公差，，，记该数列的前n项和为，则的最大值为()A.66 B.72 C.132 D.1988．已知定义在R上的连续函数的导函数为，则下列说法错误的是()A.若关于中心对称，则关于对称B.若关于对称，则有对称中心C.若为周期函数，则为周期函数D.若为奇函数，为偶函数，则周期为2二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知函数在处取得最小值，与此最小值点最近的图象的一个对称中心为，则下列结论正确的是(

)A.B.将的图象向左平移个单位长度即可得到的图象C.在区间上单调递减D.在区间上的值域为10．如图，正四面体的棱长为1，E，F分别是棱，上的点，且，，则(

)A.不存在t，使得平面 B.直线与直线异面C.不存在t，使得平面平面 D.三棱锥体积的最大值为11．已知抛物线和椭圆有相同的焦点F，且交于M，N两点，C的准线与交于P，Q两点，则(

)A.存在，使为等边三角形B.存在，使四边形PQNM为正方形C.任意，点M总在圆外D.任意，椭圆上任一点总在圆外三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知向量在向量上投影向量是，且，则______.13．某圆台的上、下底面半径和高的比为，若母线长为15，则该圆台的侧面积为______.14．函数，若在恒成立，则a的取值范围是___.四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知数列满足，，（1）求；（2）当n为奇数时，求数列的前n项和16．（15分）如图1，，，且，D是中点，沿将折起到的位置（如图2），使得.（1）求证：面面；（2）若线段上存在一点M，使得平面与平面夹角的余弦值是，求的值.17．（15分）已知双曲线M与双曲线有共同的渐近线.（1）若M经过抛物线的顶点，求双曲线M的方程；（2）若双曲线M的两个焦点分别为，，点P为M上的一点，且，求双曲线M的方程.18．（17分）如果曲线存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”.已知，设曲线在点处的切线为.（1）当，时，是否存在直线满足，且与曲线相切？请说明理由；（2）如果函数是“正交函数”，求满足要求的实数a的集合D；（3）若对任意，曲线都不存在与垂直的切线，求的取值范围.19．（17分）从A，B，C，D，E五个网络节点中随机选择三个进行数据传输测试.（1）若A，B，C三个核心节点中被选中的数量为随机变量X，求X的分布列；（2）若现只有A，B，C三个节点进行数据传输测试.每次传输规则如下：数据在A节点时：掷骰子，若点数大于3，则传输至B节点；否则保留在A节点；数据在B节点时：掷骰子，若点数大于4，则传回A节点；否则传输至C节点；数据在C节点时：掷骰子，若点数大于3，则传回A节点；否则传回B节点.初始时数据在A节点，设经过n次骰子投掷（即n次传输）后，数据在A节点的概率为，①求②求参考答案1．答案：B解析：集合，，在数轴上表示如图所示：由图可得.故选：B2．答案：D解析：复数的虚部为.故选：D.3．答案：B解析：由题意知的定义域为，且，故为奇函数，图象关于原点对称，A错误；当时，，，则，D错误；当时，，结合图象可知C错误，只有B中图象符合题意，故选：B4．答案：C解析：因为，为单位向量，且，所以，得，所以，因为，所以.故选：C5．答案：D解析：由已知可得,,,故选：D.6．答案：C解析：由题意知本题需要分步计数，2和4排在末位时，共有种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有种排法，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有（个）.故选：C.7．答案：A解析：因为等差数列的公差，，，所以，，则，所以，由，得，所以或12时，该数列的前n项和取得最大值，最大值为，故选：A8．答案：D解析：对于A，若关于中心对称，则，两边求导可得0，即，所以关于对称，故A正确；对于B，若关于对称，则，令，则，所以（C为常数），即，所以有对称中心，故B正确；对于C，若为周期函数，则，两边求导可得，即，故C正确；对于D，因为为奇函数，所以，，即①，又为偶函数，故，可得，即②，由①②得到，，故周期为4，故D错误.故选：D.9．答案：ABD解析：A选项：由题知，设的最小正周期为T，则，，.，，则，得，又，，，故A正确；B选项：因为，所以其图象可以由的图象向左平移个单位长度得到，故B正确；C选项：由得，则在区间上不单调，故C错误；D选项：，，，，在区间上的值域为，故D正确.故选：ABD.10．答案：BC解析：因为直线与平面交于点C，平面，且不经过点C，所以直线与直线异面，故B正确.当时，E，F分别是棱，的中点，此时，因为平面，平面，所以平面，故A错误.设O为的中心，连接，因为经过点A有且只有一条直线垂直于平面，所以经过点A且垂直于平面的平面一定经过直线，即当且仅当E，O，F三点共线时，平面平面，因为，，所以，，设的中点为M，连接，则，因为E，O，F三点共线，所以，整理得，因为，所以此方程无解，所以不存在，使得平面平面，故C正确.易知，在中，，，所以的面积，当且仅当时等号成立，所以三棱推体积的最大值为.故D错误.故选：BC11．答案：ACD解析：根据题意，椭圆，，所以焦点，则抛物线，准线方程为，设椭圆左焦点为，准线过点，若为等边三角形，即，即，解得，故A正确；根据椭圆、抛物线的对称性，若四边形PQNM为正方形，则，所以直线方程为，代入抛物线方程，得，，此时，矛盾，B错误；根据题意，又由抛物线定义，，所以任意，点M总在圆外，C正确；设椭圆上任意一点T，根据椭圆定义，则，而，所以，所以点T在圆外，D正确.故选：ACD12．答案：解析：因为，则，且向量在向量上的投影向量是，所以，即，所以，故答案为：.13．答案：解析：设该圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，则，其母线长，所以，，故，故答案为：.14．答案：解析：要使，即在上恒成立，设，则，当时，；当时，，则上递减，在上递增，且，设，则，当，；当时，，所以在上递增，在上递减，则，所以只需，则，故答案为：15．答案：（1）（2）解析：（1）因为，所以数列构成首项为，公差为3的等差数列，所以.（2）由，所以数列构成首项为，公差为3的等差数列，得到，设，则，又，所以n为奇数时，16．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）因为，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）面面，面面，故以D为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，在平面内过D点作的垂线所在直线为z轴，建立空间直角坐标系.，，，，，，，，则平面的一个法向量，设，则，，设面的一个法向量为，，即，令，得，平面与平面夹角记为，则，解得.所以.17．答案：（1）（2）或解析：（1）依题意可设M的方程为.抛物线，顶点为，将代入M的方程，得，则M的方程为.（2）由题意易知，.当焦点在x轴上时，，可设双曲线M的方程为，则，，则双曲线M的方程为.当焦点在y轴上时，，可设双曲线M的方程为，则，，则双曲线M的方程为.综上所述，双曲线M的方程为或.18．答案：（1）存在，理由见解析（2）（3）.解析：（1）当时，，则，即的斜率，假设存在，则的斜率，则有解，即在上有解，该方程化简为，解得或，符合要求，因此该函数存在另外一条与垂直的切线.（2），令，则，当时，单调递减；当时，单调递增；设曲线的另一条切线的斜率为，当时，，显然不存在，即不存在两条相互垂直的切线；当时，，且，，，且，，在、上各有一个零点，，故当，或时，都有；当时，，故必存在，即曲线存在相互垂直的两条切线，所以，所以.（3）因为，由（2）知，曲线存在相互垂直的两条切线，不妨设，，满足，即，又，，所以，故，当且仅当时等号成立，所以，解得，又，即，解得，因为，，所以.综上可知，对任意满足的所有函数不存在与垂直的切线的的取值范围是.19．答案