云南省普洱市宁洱哈尼族彝族自治县普洱中学2025届高三上学期开学考试数学试卷（含解析）

云南省普洱市宁洱哈尼族彝族自治县普洱中学2025届高三上学期开学考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．已知集合,,则(

)A. B.C. D.2．若,则(

)A. B. C. D.3．已知向量,,则(

)A.2 B.3 C. D.4．已知数列是等比数列,若,则的值为()A.-4B.-2C.4D.165．已知,则()A. B. C. D.16．已知一个圆柱的轴截面是正方形,一个圆锥与该圆柱的底面半径及侧面积均相等,则圆柱与圆锥的体积之比为()A. B. C. D.7．已知函数区间上单调递增,则实数a的范围是(

)A. B. C. D.8．设函数若,且,,则的最小值为(

)A.9 B. C.5 D.二、选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．随机变量X服从正态分布,若,则()A. B.C. D.10．下列说法正确的是()A.已知随机变量X服从二项分布，则B.设随机变量X服从正态分布，若，则C.已知一组数据为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，则它的第70百分位数为7D.若事件A，B满足，，则事件A，B相互独立11．已知数列,下列结论正确的有(

)A.若,,则B.若,,则C.若,则数列是等比数列D.若为等差数列的前n项和,则数列为等差数列三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分。12．设是等差数列,且,,则数列的前项和_____________.13．曲线在处的切线方程为____________.14．双曲线的左､右焦点分别是,,过且垂直于x轴的直线与双曲线交于A､B两点,若为正三角形,则双曲线的离心率为______________.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知为等差数列的前n项和,,.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前10项和.16．随着AI技术的不断发展,人工智能科技在越来越多的领域发挥着重要的作用.某校在寒假里给学生推荐了一套智能辅导系统,学生可自愿选择是否使用该系统完成假期的作业.开学时进行了入学测试,随机抽取了100名学生统计得到如下列联表：

使用智能辅导系统未使用智能辅导系统合计入学测试成绩优秀202040入学测试成绩不优秀402060合计6040100(1)判断是否有95%的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关;(2)若把这100名学生按照入学测试成绩是否优秀进行分层随机抽样,从中抽取5人,再从这5人中随机抽取2人,记抽取的2人中入学测试成绩优秀的人数为X,求X的分布列及数学期望.附：,其中.0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.63517．如图所示,在直四棱柱中,底面是平行四边形,点M,N分别在棱,上,且,.(1)求证：平面;(2)若,,,求二面角的大小.18．已知双曲线的中心为坐标原点O,点在双曲线上,且其两条渐近线相互垂直.(1)求双曲线的标准方程;(2)若过点的直线l与双曲线交于E,F两点,的面积为,求直线l的方程.19．已知函数的图象过点,且.(1)求a,b的值;(2)求函数的极值.参考答案1．答案：D解析：由可得,因在R上为增函数,故,则,故.故选：D.2．答案：A解析：由,得,所以,所以.故选：A.3．答案：A解析：根据题意,,所以.故选：A.4．答案：D解析：因为是等比数列,所以,所以.故选:D.5．答案：C解析：由,由,可得,所以.故选：C.6．答案：B解析：设圆柱的底面半径为r,因为圆柱轴截面是正方形,所以圆柱的高为,依题意圆锥的底面半径为r,设圆锥的母线长为l,因为圆锥与该圆柱的侧面积相等,所以,解得,则圆锥的高为,圆柱的体积,圆锥的体积,所以.故选：B.7．答案：D解析：因为函数的导函数为,并且在上单调递增,所以在上恒成立,即,则,即恒成立,,因在上最大值为1,所以.故选：D.8．答案：B解析：因为,,所以,即,又,,所以,当且仅当,即,时取等号,故选：B.9．答案：AB解析：对于A,由知是1和3的中间值,故,故A正确;对于B,C,在正态分布中,,故B正确,C错误;对于D,当时,,由正态曲线的特征可得,,所以D错误.故选：AB.10．答案：AD解析：因为随机变量X服从二项分布，则，故A正确；因为随机变量X服从正态分布，则对称轴为，，故B错误；这组数据的第70百分位数为，故C错误；因为，所以，所以事件A，B相互独立故选：AD.11．答案：ABD解析：对于选项A,由,得,则,故A项正确;对于选项B,由得,所以为等比数列,首项为,公比为2,所以,所以,故B项正确;对于选项C,因为,当时,,当时,,将代入,得,所以,所以数列不是等比数列,故C项错误.对于选项D,设等差数列的公差为d,由等差数列前n项和公式可得,所以与n无关,所以数列为等差数列,故D项正确.故选：ABD.12．答案：100解析：因为,所以,所以的公差,又,所以.故答案为：100.13．答案：解析：当时,,即切点坐标为则曲线在处的切线方程为,即故答案为：.14．答案：解析：为正三角形,,又,,,（舍去）故答案为：.15．答案：(1)(2)解析：(1)设等差数列的公差为d.因为,且,所以,解得,所以.(2)由(1)得,所以,所以,所以.16．答案：(1)没有(2)分布列见解析,解析：(1),没有的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关;(2),,人中2人成绩优秀,3人成绩不优秀,X的取值可能为0、1、2,,,,分布列为：X012P.17．答案：(1)见解析(2)解析：(1)证明：如图所示,连接,交于E,取的中点F,连接,,由,,故,且,故四边形为平行四边形,所以,由底面是平行四边形可得E为中点,所以,所以由平面,平面,所以平面;(2)因为,,所以,由,得,以D为原点,以,,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则,,,,所以,,,设平面的一个法向量为,由,令,得,设平面的一个法向量为,由得,由,所以二面角的大小为.18．答案：(1)(2)或.解析：(1)因为双曲线C的两条渐近线互相垂直,所以双曲线C为等轴双曲线,所以设所求双曲线方程为,,又双曲线C经过点,所以,即,所以双曲线的方程为,即.(2)根据题意可知直线l的斜率存在,又直线l过点,所以直线l的方程为,所以原点O到直线l的距离,联立,得,所以且,所以,且,所