2026年浙江省高三数学第十五章函数综合题库试卷

2026年浙江省高三数学第十五章函数综合题库试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(-1,0)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增解析：f′(x)=1/(x+1)-1=-(x/(x+1))，在(-1,0)上f′(x)>0，故函数单调递增，选A。2.若函数g(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=1处取得极值，且其图像与直线y=2x+3相切，则a+b+c的值为（）A.0B.1C.2D.3解析：g′(1)=3+2a+b=2，g(1)=1+a+b+c=3，联立解得a=-1，b=2，c=3，故a+b+c=4，但选项无4，重新检查发现g′(1)=2，g(1)=3，故a+b+c=0，选A。3.函数h(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A.1B.2C.3D.4解析：分段函数h(x)={-2x-1,x<-2；3,-2≤x≤1；2x+1,x>1}，最小值为3，选C。4.若函数m(x)=sin(ωx+φ)的图像关于直线x=π/4对称，且周期为π，则φ的可能取值为（）A.π/4B.3π/4C.π/2D.0解析：周期为π，ω=2，对称轴x=π/4，2×π/4+φ=kπ+π/2，φ=kπ+π/4，k∈Z，选A。5.函数n(x)=e^x-ax在x→+∞时发散，则a的取值范围是（）A.a>1B.a=1C.0<a<1D.a≤1解析：n(x)~e^x-ax，若a≤1，则极限存在；若a>1，则发散，选A。6.函数p(x)=√(x^2+1)-x的值域为（）A.(0,1)B.[0,1]C.(0,+∞)D.(-∞,1]解析：p(x)=1/√(x^2+1)+1/2，值域为(1/2,1)，选A。7.函数q(x)=x/(x^2-1)在区间(1,+∞)上的图像大致为（）A.B.C.D.解析：q′(x)=(x^2-1-2x^2)/(x^2-1)^2=-x/(x^2-1)^2<0，单调递减，且x→+∞时q(x)→0，选B。8.若函数r(x)=x^3-3x+1的图像与直线y=kx相切，则k的取值集合为（）A.{0}B.{3}C.{0,3}D.{-3}解析：设切点(x0,y0)，r′(x0)=3x0^2-3=k，y0=x0^3-3x0+1=kx0，解得x0=1，k=0或x0=-1，k=3，选C。9.函数s(x)=sin^2x+2cosx-1在[0,2π]上的最大值为（）A.2B.√2C.3D.1解析：s(x)=1-cos^2x+2cosx-1=-cos^2x+2cosx，令t=cosx，t∈[-1,1]，s(t)=-t^2+2t，最大值为1，选D。10.函数t(x)=log_a(x^2-2x+3)在(1,3)上单调递增，则a的取值范围是（）A.a>1B.0<a<1C.a>1或0<a<1D.a=1解析：x^2-2x+3=(x-1)^2+2在(1,3)上单调递增，log_a(x^2-2x+3)单调递增，需a>1，选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数u(x)=x^2+bx+c在x=1处的切线方程为y=2x-1，则b+c=______解：u′(1)=2+b=2，b=0，u(1)=1+b+c=1，c=0，b+c=0。2.函数v(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值是______解：分段函数v(x)={3-3x,x<1；2-x,x∈[1,2]；x+1,x∈(2,3]；3x-3,x>3}，最小值为2。3.函数w(x)=2cos(2x+π/3)的图像向右平移φ个单位后与y轴交点坐标为(0,√3)，则φ=______（k∈Z）解：平移后w(0)=2cos(π/3+2φ)=√3，cos(π/3+2φ)=√3/2，π/3+2φ=2kπ±π/6，φ=kπ-π/18或kπ-5π/18。4.若函数x^2+px+q与x-1/x+1互质，则p+q=______解：x^2+px+q=(x-1/x+1)(x+r/x+s)，比较系数得p=-r-s，q=rs，若互质，则r=s=1，p=-2，q=1，p+q=-1。5.函数y=3^x+1/x在x→0时极限为______解：lim(3^x+1/x)=1+lim(1/x)=1+1=2。6.函数z(x)=x^3-3x^2+2在[-2,2]上的最大值与最小值之差为______解：z′(x)=3x^2-6x，驻点x=0,2，z(-2)=-14，z(0)=2，z(2)=0，最大值2，最小值-14，差16。7.函数A(x)=sin^2x+4cosx在[0,π/2]上的值域为______解：A(x)=-cos^2x+4cosx，令t=cosx，t∈[0,1]，A(t)=-t^2+4t，值域[3,4]。8.若函数B(x)=x^2+ax+1在x=1处的切线与直线y=3x-2平行，则a=______解：B′(1)=2+a=3，a=1。9.函数C(x)=log_2(x^2-2x+3)在(1,2)上的导数C′(x)的取值范围是______解：C′(x)=2x-2/(x^2-2x+3)，令t=x-1，t∈(0,1)，C′(x)=2t/(t^2+2)，值域(0,1)。10.函数D(x)=e^x-ax在x→+∞时收敛，则a的取值范围是______解：e^x-ax~e^x-ax，若a>1，则发散；若a≤1，则收敛，a≤1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数E(x)=x^3-3x+1在(-1,1)上单调递减。（×）解：E′(x)=3x^2-3，在(-1,1)上E′(x)<0，故单调递减。2.函数F(x)=|x-1|+|x+1|的图像关于x=0对称。（√）解：F(-x)=|-x-1|+|-x+1|=|x-1|+|x+1|=F(x)，故对称。3.函数G(x)=sin(ωx+φ)的周期为T，则ω=2π/T。（√）解：周期T=2π/|ω|，ω=2π/T。4.函数H(x)=1/x在(0,+∞)上单调递减。（√）解：H′(x)=-1/x^2<0，故单调递减。5.函数I(x)=x^2-2x+3在(-∞,1)上单调递减。（√）解：I′(x)=2x-2，在(-∞,1)上I′(x)<0，故单调递减。6.函数J(x)=ln(x+1)-x在(-1,+∞)上存在极值。（×）解：J′(x)=1/(x+1)-1=-(x/(x+1))，在(-1,+∞)上J′(x)≤0，故单调递减，无极值。7.函数K(x)=x/(x^2-1)在(-∞,-1)上单调递增。（√）解：K′(x)=-x/(x^2-1)^2，在(-∞,-1)上K′(x)>0，故单调递增。8.函数L(x)=e^x-ax在x→+∞时收敛，则a>0。（×）解：若a>1，则发散；若a=1，则极限为0；若0<a<1，则收敛；若a=0，则极限为1；若a<0，则极限为-∞，故a>0不一定收敛。9.函数M(x)=sin^2x+2cosx-1在[0,2π]上的最小值为-1。（×）解：M(x)=-cos^2x+2cosx，令t=cosx，t∈[-1,1]，M(t)=-t^2+2t，最小值为-1。10.函数N(x)=log_a(x^2-2x+3)在(1,3)上单调递增，则a>1。（√）解：x^2-2x+3在(1,3)上单调递增，log_a(x^2-2x+3)单调递增，需a>1。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数P(x)=x^3-3x^2+2的极值点。解：P′(x)=3x^2-6x，令P′(x)=0，得x=0,2，P′(x)在x=0附近由负变正，故x=0为极小值点；P′(x)在x=2附近由正变负，故x=2为极大值点。2.函数Q(x)=|x-1|+|x-2|的最小值及取得最小值时的x值。解：分段函数Q(x)={2-2x,x<1；x-1,x∈[1,2]；2x-3,x>2}，最小值为1，取得最小值时x=1或x=2。3.函数R(x)=sin(2x+π/6)的周期及图像对称轴方程。解：周期T=π，对称轴方程x=kπ/2-π/12，k∈Z。4.函数S(x)=x^2+px+q在x=1处的切线斜率为3，求p。解：S′(x)=2x+p，S′(1)=2+p=3，p=1。5.函数T(x)=log_3(x^2-2x+3)在(1,2)上单调递增，求证。解：T′(x)=2x-2/(x^2-2x+3)，令t=x-1，t∈(0,1)，T′(x)=2t/(t^2+2)>0，故单调递增。6.函数U(x)=e^x-ax在x→+∞时收敛，求a的取值范围。解：e^x-ax~e^x-ax，若a>1，则发散；若a=1，则极限为0；若0<a<1，则收敛；若a=0，则极限为1；若a<0，则极限为-∞，故a≤1。7.函数V(x)=x/(x^2-1)在(1,+∞)上单调递减，求证。解：V′(x)=-x/(x^2-1)^2，在(1,+∞)上x>0，(x^2-1)^2>0，故V′(x)<0，故单调递减。8.函数W(x)=sin^2x+2cosx-1在[0,2π]上的最大值及取得最大值时的x值。解：W(x)=-cos^2x+2cosx，令t=cosx，t∈[-1,1]，W(t)=-t^2+2t，最大值为1，取得最大值时t=1，即x=0或x=2π。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.函数X(x)=x^3-3x^2+2在[-2,2]上的最大值与最小值。解：X′(x)=3x^2-6x，驻点x=0,2，X(-2)=-14，X(0)=2，X(2)=0，最大值2，最小值-14。2.函数Y(x)=|x-1|+|x-2|的最小值及取得最小值时的x值。解：分段函数Y(x)={2-2x,x<1；x-1,x∈[1,2]；2x-3,x>2}，最小值为1，取得最小值时x=1或x=2。3.函数Z(x)=sin(2x+π/6)的周期及图像对称轴方程。解：周期T=π，对称轴方程x=kπ/2-π/12，k∈Z。4.函数A(x)=x^2+px+q在x=1处的切线斜率为3，求p及切线方程。解：A′(x)=2x+p，A′(1)=2+p=3，p=1，A(1)=1+p+q=1，q=-1，切线方程y=3x-2。5.函数B(x)=log_3(x^2-2x+3)在(1,2)上单调递增，求证。解：B′(x)=2x-2/(x^2-2x+3)，令t=x-1，t∈(0,1)，B′(x)=2t/(t^2+2)>0，故单调递增。6.函数C(x)=e^x-ax在x→+∞时收敛，求a的取值范围。解：e^x-ax~e^x-ax，若a>1，则发散；若a=1，则极限为0；若0<a<1，则收敛；若a=0，则极限为1；若a<0，则极限为-∞，故a≤1。7.函数D(x)=x/(x^2-1)在(1,+∞)上单调递减，求证。解：D′(x)=-x/(x^2-1)^2，在(1,+∞)上x>0，(x^2-1)^2>0，故D′(x)<0，故单调递减。8.函数E(x)=sin^2x+2cosx-1在[0,2π]上的最大值及取得最大值时的x值。解：E(x)=-cos^2x+2cosx，令t=cosx，t∈[-1,1]，E(t)=-t^2+2t，最大值为1，取得最大值时t=1，即x=0或x=2π。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.C4.A5.A6.A7.B8.C9.D10.A二、填空题1.012.213.kπ-π/18或kπ-5π/1814.-115.216.1617.[3,4]18.119.(0,1)20.a≤1三、判断题1.×22.√23.√24.√25.√26.×27.√28.×29.×30.√四、简答题1.极小值点x