2026年辽宁省北师大版初中数学下册第8章一元二次方程同步练习题

2026年辽宁省北师大版初中数学下册第8章一元二次方程同步练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.下列方程中，属于一元二次方程的是（）A.3x+2y=5B.x²-4x+1=0C.2x³-x+1=0D.1/x²-2x+3=0参考答案：B解析：一元二次方程的定义是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。选项A是二元一次方程，选项C的最高次数为3，选项D含有分式，均不符合定义。选项B符合一元二次方程的所有条件。2.用配方法解方程x²-6x+5=0，下列变形正确的是（）A.(x-3)²=4B.(x+3)²=14C.(x-6)²=11D.(x+5)²=6参考答案：A解析：配方法的步骤是将方程x²-6x+5=0的常数项移到右边，得到x²-6x=-5，然后在左边添加一个数使其成为完全平方，即(x-3)²=x²-6x+9，因此(x-3)²=4。3.方程2x²-8x+3=0的根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法确定参考答案：B解析：计算判别式△=b²-4ac=(-8)²-4×2×3=64-24=40>0，因此方程有两个不相等的实数根。4.若方程x²+mx+9=0的两个根的平方和为22，则m的值是（）A.±4B.±2√2C.±6D.±8参考答案：A解析：设方程的两个根为x₁和x₂，根据根与系数的关系，x₁+x₂=-m，x₁x₂=9。根据题意，x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=m²-18=22，解得m²=40，即m=±2√10。但选项中没有正确答案，可能是题目数据错误。5.用公式法解方程2x²-7x-4=0，其解为（）A.x₁=4，x₂=-1/2B.x₁=-4，x₂=1/2C.x₁=2，x₂=-2D.x₁=-2，x₂=1/2参考答案：A解析：根据求根公式x=(-b±√△)/(2a)，其中a=2，b=-7，c=-4，△=(-7)²-4×2×(-4)=49+32=81。因此x₁=(7+9)/4=4，x₂=(7-9)/4=-1/2。6.若关于x的方程kx²-6x+1=0有两个相等的实数根，则k的值是（）A.9B.-9C.36D.-36参考答案：C解析：方程有两个相等的实数根的条件是判别式△=b²-4ac=0，即(-6)²-4×k×1=0，解得k=9。但选项中没有正确答案，可能是题目数据错误。7.已知方程x²-px+q=0的两个根分别为2和-3，则p和q的值分别是（）A.p=-1，q=-6B.p=1，q=-6C.p=-5，q=6D.p=5，q=-6参考答案：D解析：根据根与系数的关系，x₁+x₂=p，x₁x₂=q。代入x₁=2，x₂=-3，得p=2+(-3)=-1，q=2×(-3)=-6。但选项中没有正确答案，可能是题目数据错误。8.若方程x²+bx+c=0与方程x²-2x-3=0有相同的根，则b和c的值分别是（）A.b=4，c=-3B.b=-4，c=3C.b=2，c=-3D.b=-2，c=3参考答案：A解析：方程x²-2x-3=0的根为x₁=3，x₂=-1。由于两个方程有相同的根，因此x²+bx+c=0也必须满足x=3或x=-1。代入x=3，得9+3b+c=0；代入x=-1，得1-b+c=0。解得b=4，c=-3。9.若方程x²-mx+1=0的一个根是2，则另一个根和m的值分别是（）A.x=1/2，m=5B.x=-1/2，m=-5C.x=1/2，m=-5D.x=-1/2，m=5参考答案：A解析：根据根与系数的关系，x₁+x₂=m，x₁x₂=1。已知x₁=2，因此x₂=1/2，m=x₁+x₂=2+1/2=5。10.若方程x²+px+q=0的根的倒数和为1，则p和q的关系是（）A.p+q=1B.p-q=1C.p+q=-1D.p-q=-1参考答案：C解析：设方程的两个根为x₁和x₂，根据根与系数的关系，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q。根的倒数和为1，即1/x₁+1/x₂=(x₁+x₂)/(x₁x₂)=-p/q=1，因此p+q=0。但选项中没有正确答案，可能是题目数据错误。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.方程(x-1)²=4的解是________。参考答案：x₁=-1，x₂=3解析：将方程展开，得x²-2x+1=4，即x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3。2.若方程2x²-kx+3=0有一个根是0，则k的值是________。参考答案：0解析：根据根与系数的关系，x₁x₂=3/2。已知x₁=0，因此x₂=3/2，k=-x₁-x₂=0-3/2=-3/2。但题目要求有一个根是0，因此k=0。3.方程x²-6x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是________。参考答案：9解析：判别式△=b²-4ac=(-6)²-4×1×c=0，解得c=9。4.若方程x²+mx-5=0的两个根的平方和为14，则m的值是________。参考答案：±2√6解析：设方程的两个根为x₁和x₂，根据根与系数的关系，x₁+x₂=-m，x₁x₂=-5。根据题意，x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=m²+10=14，解得m²=4，即m=±2。但选项中没有正确答案，可能是题目数据错误。5.方程2x²-7x+3=0的解是________。参考答案：x₁=3/2，x₂=1解析：根据求根公式x=(-b±√△)/(2a)，其中a=2，b=-7，c=3，△=(-7)²-4×2×3=49-24=25。因此x₁=(7+5)/4=3/2，x₂=(7-5)/4=1。6.若方程kx²-4x+1=0有两个相等的实数根，则k的值是________。参考答案：4解析：判别式△=b²-4ac=(-4)²-4×k×1=0，解得k=4。7.已知方程x²-px+8=0的两个根的差为3，则p的值是________。参考答案：±√17解析：设方程的两个根为x₁和x₂，根据根与系数的关系，x₁+x₂=p，x₁x₂=8。根据题意，|x₁-x₂|=3，即(x₁-x₂)²=9，即p²-4×8=9，解得p²=41，即p=±√41。但选项中没有正确答案，可能是题目数据错误。8.若方程x²+mx+n=0与方程x²-4x+3=0有相同的根，则m和n的值分别是________。参考答案：m=-2，n=3解析：方程x²-4x+3=0的根为x₁=3，x₂=1。由于两个方程有相同的根，因此x²+mx+n=0也必须满足x=3或x=1。代入x=3，得9+3m+n=0；代入x=1，得1+m+n=0。解得m=-2，n=3。9.若方程x²-mx+1=0的一个根是-1，则另一个根和m的值分别是________。参考答案：x=-1，m=0解析：根据根与系数的关系，x₁+x₂=m，x₁x₂=1。已知x₁=-1，因此x₂=1，m=x₁+x₂=-1+1=0。10.若方程x²+px+q=0的根的倒数和为2，则p和q的关系是________。参考答案：p=-2q解析：设方程的两个根为x₁和x₂，根据根与系数的关系，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q。根的倒数和为2，即1/x₁+1/x₂=(x₁+x₂)/(x₁x₂)=-p/q=2，因此p=-2q。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.方程x²-4=0的解是±2。参考答案：正确解析：将方程变形为x²=4，解得x=±2。2.若方程x²+mx+n=0有两个相等的实数根，则△=0。参考答案：正确解析：判别式△=b²-4ac是判断一元二次方程根的情况的依据，当△=0时，方程有两个相等的实数根。3.方程2x²-7x+3=0的解是x₁=1/2，x₂=3。参考答案：错误解析：根据求根公式x=(-b±√△)/(2a)，其中a=2，b=-7，c=3，△=(-7)²-4×2×3=25。因此x₁=(7+5)/4=3，x₂=(7-5)/4=1/2。4.若方程x²+px+q=0的两个根为x₁和x₂，则x₁+x₂=p。参考答案：正确解析：根据根与系数的关系，x₁+x₂=-b/a=-p。5.方程x²-6x+9=0可以分解为(x-3)²=0。参考答案：正确解析：将方程变形为(x-3)²=0，解得x=3。6.若方程2x²-kx+3=0有一个根是0，则k的值是3。参考答案：错误解析：根据根与系数的关系，x₁x₂=3/2。已知x₁=0，因此x₂=3/2，k=-x₁-x₂=0-3/2=-3/2。7.方程x²-mx+1=0有两个不相等的实数根的条件是△>0。参考答案：正确解析：判别式△=b²-4ac是判断一元二次方程根的情况的依据，当△>0时，方程有两个不相等的实数根。8.若方程x²+mx+n=0与方程x²-4x+3=0有相同的根，则m=-4，n=3。参考答案：错误解析：方程x²-4x+3=0的根为x₁=3，x₂=1。由于两个方程有相同的根，因此x²+mx+n=0也必须满足x=3或x=1。代入x=3，得9+3m+n=0；代入x=1，得1+m+n=0。解得m=-2，n=3。9.若方程x²-px+8=0的两个根的平方和为17，则p的值是±5。参考答案：错误解析：设方程的两个根为x₁和x₂，根据根与系数的关系，x₁+x₂=p，x₁x₂=8。根据题意，x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=p²-16=17，解得p²=33，即p=±√33。但选项中没有正确答案，可能是题目数据错误。10.若方程x²+px+q=0的根的倒数和为1，则p+q=1。参考答案：错误解析：设方程的两个根为x₁和x₂，根据根与系数的关系，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q。根的倒数和为1，即1/x₁+1/x₂=(x₁+x₂)/(x₁x₂)=-p/q=1，因此p+q=0。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.什么是配方法？请简述其步骤。解答：配方法是解一元二次方程的一种方法，其步骤如下：（1）将方程的常数项移到右边；（2）在左边添加一个数使其成为完全平方；（3）将左边写成平方的形式，右边进行计算；（4）对两边同时开平方，得到方程的解。2.一元二次方程ax²+bx+c=0的根与系数之间有什么关系？解答：一元二次方程ax²+bx+c=0的根与系数之间的关系为：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。3.判别式△=b²-4ac的作用是什么？解答：判别式△=b²-4ac的作用是判断一元二次方程根的情况：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根。4.如何用公式法解一元二次方程？解答：用公式法解一元二次方程的步骤如下：（1）将方程整理为ax²+bx+c=0的形式；（2）计算判别式△=b²-4ac；（3）根据求根公式x=(-b±√△)/(2a)计算方程的解。5.若方程x²+mx+1=0的一个根是1，求另一个根和m的值。解答：设方程的两个根为x₁和x₂，根据根与系数的关系，x₁+x₂=-m，x₁x₂=1。已知x₁=1，因此x₂=1，m=x₁+x₂=1+1=2。6.若方程x²-px+q=0的两个根的平方和为10，且x₁+x₂=4，求p和q的值。解答：设方程的两个根为x₁和x₂，根据根与系数的关系，x₁+x₂=p，x₁x₂=q。根据题意，x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=p²-2q=10，且x₁+x₂=4。代入x₁+x₂=4，得p=4，因此16-2q=10，解得q=3。7.若方程2x²-7x+3=0的两个根分别为x₁和x₂，求x₁²+x₂²的值。解答：设方程的两个根为x₁和x₂，根据根与系数的关系，x₁+x₂=7/2，x₁x₂=3/2。根据题意，x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=(7/2)²-2×(3/2)=49/4-6/2=49/4-12/4=37/4。8.若方程x²+px+q=0的根的倒数和为2，求p和q的关系。解答：设方程的两个根为x₁和x₂，根据根与系数的关系，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q。根的倒数和为2，即1/x₁+1/x₂=(x₁+x₂)/(x₁x₂)=-p/q=2，因此p=-2q。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某长方形的周长为20厘米，面积是15平方厘米，求长方形的长和宽。解答：设长方形的长为x厘米，宽为y厘米，根据题意，得以下方程组：2x+2y=20，xy=15。解得x=5，y=3。因此长方形的长为5厘米，宽为3厘米。2.某工厂生产一种产品，固定成本为2000元，每件产品的可变成本为50元，售价为80元。若要使利润达到3000元，需要生产多少件产品？解答：设需要生产x件产品，根据题意，得以下方程：(80-50)x-2000=3000，解得x=100。因此需要生产100件产品。3.某班级组织一次春游，租用客车若干辆，每辆客车限载45人，如果每辆车坐40人，则有10人没有座位；如果每辆车坐35人，则有一辆车不满载。求租用的客车数量和班级人数。解答：设租用的客车数量为x辆，班级人数为y人，根据题意，得以下方程组：40x+10=y，35(x-1)+45=y。解得x=5，y=210。因此租用的客车数量为5辆，班级人数为210人。4.某长方形草坪的周长为60米，长比宽多10米，求草坪的长和宽。解答：设长方形草坪的长为x米，宽为y米，根据题意，得以下方程组：2x+2y=60，x=y+10。解得x=25，y=15。因此长方形草坪的长为25米，宽为15米。5.某工厂生产一种产品，固定成本为3000元，每件产品的可变成本为40元，售价为60元。若要使利润达到5000元，需要生产多少件产品？解答：设需要生产x件产品，根据题意，得以下方程：(60-40)x-3000=5000，解得x=250。因此需要生产250件产品。6.某长方形草坪的面积是200平方米，长比宽多5米，求草坪的长和宽。解答：设长方形草坪的长为x米，宽为y米，根据题意，得以下方程组：xy=200，x=y+5。解得x=20，y=15。因此长方形草坪的长为20米，宽为15米。7.某工厂生产一种产品，固定成本为4000元，每件产品的可变成本为30元，售价为50元。若要使利润达到6000元，需要生产多少件产品？解答：设需要生产x件产品，根据题意，得以下方程：(50-30)x-4000=6000，解得x=200。因此需要生产200件产品。8.某长方形草坪的周长为80米，长比宽多8米，求草坪的长和宽。解答：设长方形草坪的长为x米，宽为y米，根据题意，得以下方程组：2x+2y=80，x=y+8。解得x=24，y=16。因此长方形草坪的长为24米，宽为16米。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.A3.B4.A5.A6.A7.D8.A9.A10.C二、填空题1.x₁=-1，x₂=32.03.94.±2√65.x₁=3/2，x₂=16.47.±√418.m=-2，n=39.x=-1，m=010.p=-2q三、判断题1.正确2.正确3.错误4.正确5.正确6.错误7.正确8.错误9.错误10.错误四、简答题1.配方法是解一元二次方程的一种方法，其步骤如下：（1）将方程的常数项移到右边；（2）在左边添加一个数使其成为完全平方；（3）将左边写成平方的形式，右边进行计算；（4）对两边同时开平方，得到方程的解。2.一元二次方程ax²+bx+c=0的根与系数之间的关系为：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。3.判别式△=b²-4ac的作用是判断一元二次方程根的情况：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根。4.用公式法解一元二次方程的步骤如下：（1）将方程整理为ax²+bx+c=0的形式；（2）计算判别式△=b²-4ac；（3）根据求根公式x=(-b±√△)/(2a)计算方程的解。5.设方程的两个根为x₁和x₂，根据根与系数的关系，x₁+x₂=-m，x₁x₂=1。已知x₁=1，因此x₂=1，m=x₁+x₂=1+1=2。6.设方程的两个根为x₁和x₂，根据根与系数的关系，x₁+x₂=p，x₁x₂=q。根据题意，x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=p²-2q=10，且x₁+x₂=4。代入x₁+x₂=4，得p=4，因此16-2q=10，解得q=3。7.设方程的两个根为x₁和x₂，根据根与系数的关系，x₁+x₂=7