2026年天津市苏教版高中数学下册第11单元数列应用题

2026年天津市苏教版高中数学下册第11单元数列应用题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.某工厂生产一种零件，第1年产量为a₀件，以后每年的产量比前一年增加10%，则第n年的产量y与第1年产量a₀的关系式为（）A.y=a₀(1+10%)ⁿ-1B.y=a₀(1+10%)ⁿC.y=a₀(1+10%)ⁿ+1D.y=a₀(1+10%)ⁿ-2解析：根据题意，第1年产量为a₀，第2年产量为a₀(1+10%)，第3年产量为a₀(1+10%)²，以此类推，第n年产量为a₀(1+10%)ⁿ⁻¹，故正确答案为A。选项B错误在于未减1，选项C错误在于加1，选项D错误在于减2，均不符合增长规律。2.某城市人口在2020年为P₀万人，此后每年人口增长率保持不变，设2021年人口为P₁，2022年人口为P₂，则P₁与P₀、P₂与P₁的关系式正确的是（）A.P₁=P₀(1+r)，P₂=P₁(1+r)B.P₁=P₀(1-r)，P₂=P₁(1-r)C.P₁=P₀(1+r)，P₂=P₀(1+r)²D.P₁=P₀(1-r)，P₂=P₀(1-r)²解析：设年增长率为r，则P₁=P₀(1+r)，P₂=P₁(1+r)=P₀(1+r)²，故选项C正确。选项A仅描述了P₁与P₀的关系，未描述P₂；选项B错误在于增长率应为正；选项D错误在于P₁与P₀的关系及P₂的推导。3.某企业投资一个项目，初始投资为M万元，预计每年收益递增，第1年收益为b万元，第2年收益为b(1+k)，第3年收益为b(1+k)²，则前n年总收益S的表达式为（）A.S=b+b(1+k)+b(1+k)²+…+b(1+k)ⁿB.S=b[1+(1+k)+(1+k)²+…+(1+k)ⁿ⁻¹]C.S=b(1+k)[1+(1+k)+…+(1+k)ⁿ⁻²]D.S=b(1+k)ⁿ-b解析：前n年总收益为等比数列求和，首项为b，公比为(1+k)，项数为n，故S=b[1+(1+k)+(1+k)²+…+(1+k)ⁿ⁻¹]，选项B正确。选项A未写成求和形式；选项C错误在于项数及系数；选项D错误在于未体现等比数列求和公式。4.某池塘养鱼，初始鱼量为a条，若每年鱼量增长率为r，但每年因捕捞损失m条，则第n年鱼量y的表达式为（）A.y=a(1+r)ⁿ-mB.y=a(1+r)ⁿ-mnC.y=a(1+r)ⁿ-m(1+r)ⁿ⁻¹D.y=a(1+r)ⁿ-m(1+r)ⁿ⁻¹+r解析：第1年鱼量为a(1+r)-m，第2年鱼量为[a(1+r)-m](1+r)-m=a(1+r)²-m(1+r)-m，以此类推，第n年鱼量为a(1+r)ⁿ-m[1+(1+r)+(1+r)²+…+(1+r)ⁿ⁻¹]=a(1+r)ⁿ-m[(1+r)ⁿ-1]/r，化简后为a(1+r)ⁿ-m(1+r)ⁿ⁻¹，故选项C正确。选项A未考虑递推关系；选项B错误在于线性减损；选项D错误在于多加r项。5.某产品售价为p元，成本为c元，销量与售价成反比，即销量d与p的关系为d=k/p（k为常数），则该产品销售利润最大时，售价p的值为（）A.p=cB.p=2cC.p=c/2D.p=√(kc)解析：利润函数L=(p-c)d=(p-c)(k/p)=k-kc/p，求导L'=kc/p²，令L'=0得p²=kc，即p=√(kc)，故选项D正确。选项A错误，此时利润为0；选项B错误，此时利润为负；选项C错误，此时成本高于售价。6.某投资者每年年初存入银行一笔固定金额M元，年利率为r，则第n年末本息和的表达式为（）A.An=M(1+r)ⁿB.An=M(1+r)ⁿ⁻¹C.An=M[1+(1+r)+(1+r)²+…+(1+r)ⁿ⁻¹]D.An=Mr(1+r)ⁿ解析：第1年存入的M元在第n年末本息和为M(1+r)ⁿ⁻¹，第2年存入的M元在第n年末本息和为M(1+r)ⁿ⁻²，以此类推，第n年存入的M元在第n年末本息和为M，故An=M[1+(1+r)+(1+r)²+…+(1+r)ⁿ⁻¹]=M[(1+r)ⁿ-1]/r，选项C正确。选项A仅考虑第1年；选项B错误，未考虑递推；选项D错误，未体现等比求和。7.某城市地铁线路长度为L公里，计划每年新建长度为L/n的线路，则第n年地铁总长度y与n的关系式为（）A.y=L+L/nB.y=L(1+1/n)ⁿC.y=L+L(1-1/n)ⁿD.y=L[1+1/(2n)+1/(3n)+…+1/(n²)]解析：第1年总长度为L，第2年总长度为L+L/2，第3年总长度为L+L/2+L/3，以此类推，第n年总长度为L[1+1/2+1/3+…+1/n]，即y=L[1+1/(2n)+1/(3n)+…+1/(n²)]，选项D正确。选项A仅考虑第1年；选项B错误，未体现逐年累加；选项C错误，未考虑调和级数性质。8.某工厂生产一种产品，固定成本为F元，单位可变成本为v元，售价为p元，则当销量为x时，利润函数L的表达式为（）A.L=px-vx-FB.L=px+vx-FC.L=px-vx+FD.L=px-vx+F²解析：利润为收入减去成本，收入为px，成本为固定成本F加上可变成本vx，故L=px-vx-F，选项A正确。选项B错误，可变成本应减去；选项C错误，可变成本应减去；选项D错误，多加F²项。9.某种细菌分裂，每分钟分裂一次，初始数量为a个，则第n分钟后细菌数量y的表达式为（）A.y=a(2n)B.y=a(2ⁿ)C.y=a(2n⁻¹)D.y=a(2ⁿ⁻¹)解析：细菌每分钟分裂一次，即数量翻倍，第1分钟后数量为a×2，第2分钟后数量为a×2²，以此类推，第n分钟后数量为a×2ⁿ，故选项B正确。选项A错误，指数应为n而非2n；选项C错误，指数应为n而非n-1；选项D错误，应为2ⁿ而非2ⁿ⁻¹。10.某商场促销，商品原价为P元，第一周降价10%，第二周在第一周基础上再降价10%，则第二周商品售价与原价P的关系为（）A.0.9PB.0.81PC.1.1PD.0.19P解析：第一周售价为P(1-10%)=0.9P，第二周售价为0.9P(1-10%)=0.9P×0.9=0.81P，故选项B正确。选项A错误，仅考虑第一周降价；选项C错误，应为降价而非涨价；选项D错误，计算错误。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.某工厂年产量第一年为a万吨，以后每年比前一年增产5%，则第5年产量y与a的关系式为__________。参考答案：y=a(1+5%)⁵解析：根据等比数列递推公式，第n年产量为a(1+5%)ⁿ⁻¹，故第5年产量为a(1+5%)⁴，化简为a(1+5%)⁵。2.某城市人口2020年为P₀万人，年增长率为r，则2025年人口P与P₀的关系式为__________。参考答案：P=P₀(1+r)⁵解析：每年人口增长率为r，5年后人口为P₀(1+r)⁵。3.某产品成本第一年为c₁元，以后每年比前一年增加2%，则第n年成本c与c₁的关系式为__________。参考答案：c=c₁(1+2%)ⁿ⁻¹解析：第n年成本为c₁(1+2%)ⁿ⁻¹。4.某账户每年末存入M元，年利率为r，则第n年末本息和An的表达式为__________。参考答案：An=M[1+(1+r)+(1+r)²+…+(1+r)ⁿ⁻¹]解析：等比数列求和，首项为M，公比为(1+r)，项数为n。5.某池塘养鱼，初始鱼量为a条，每年增长率为r，但每年捕捞m条，则第n年鱼量y的表达式为__________。参考答案：y=a(1+r)ⁿ-m[(1+r)ⁿ-1]/r解析：等比数列求和变形，化简后为y=a(1+r)ⁿ-m(1+r)ⁿ⁻¹。6.某产品售价为p元，销量与p成反比，即d=k/p，则收入函数R的表达式为__________。参考答案：R=pd=k解析：收入为售价乘销量，R=pd=k。7.某工厂固定成本为F元，单位可变成本为v元，售价为p元，则当销量为x时，利润函数L的表达式为__________。参考答案：L=px-vx-F解析：利润为收入减去成本，L=px-vx-F。8.某细菌每分钟分裂一次，初始数量为a个，则第n分钟后细菌数量y的表达式为__________。参考答案：y=a(2ⁿ)解析：细菌每分钟翻倍，第n分钟后数量为a×2ⁿ。9.某商品原价P元，连续两次降价10%，则最终售价与原价P的关系为__________。参考答案：0.81P解析：两次降价后售价为P(1-10%)²=0.81P。10.某城市地铁线路长度为L公里，每年新建L/n公里，则第n年总长度y与n的关系式为__________。参考答案：y=L[1+1/2+1/3+…+1/n]解析：调和级数求和，y=L∑(1/k)fromk=1ton。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若某城市人口年增长率为r，则5年后人口将变为初始人口的(1+r)⁵倍。参考答案：正确解析：每年增长率为r，5年后人口为初始人口×(1+r)⁵。2.某产品成本第一年为c₁元，以后每年比前一年增加5%，则第3年成本为c₁(1+5%)²元。参考答案：正确解析：第3年成本为c₁(1+5%)²。3.某账户每年末存入M元，年利率为r，则第n年末本息和为M(1+r)ⁿ。参考答案：错误解析：应为等比数列求和，An=M[1+(1+r)+(1+r)²+…+(1+r)ⁿ⁻¹]。4.某池塘养鱼，初始鱼量为a条，每年增长率为r，但每年捕捞m条，则第n年鱼量y为等比数列。参考答案：错误解析：y=a(1+r)ⁿ-m[(1+r)ⁿ-1]/r，非等比数列。5.某商品售价为p元，销量与p成反比，即d=k/p，则收入函数R为常数。参考答案：正确解析：R=pd=k，与销量无关。6.某工厂固定成本为F元，单位可变成本为v元，售价为p元，则当销量为x时，利润函数L为线性函数。参考答案：正确解析：L=px-vx-F，为线性函数。7.某细菌每分钟分裂一次，初始数量为a个，则第n分钟后细菌数量y为等比数列。参考答案：正确解析：y=a(2ⁿ)，为等比数列。8.某商品原价P元，连续两次降价10%，则最终售价为P(1-10%)元。参考答案：错误解析：应为P(1-10%)²=0.81P。9.某城市地铁线路长度为L公里，每年新建L/n公里，则第n年总长度y为调和级数求和。参考答案：正确解析：y=L[1+1/2+1/3+…+1/n]。10.某账户每年初存入M元，年利率为r，则第n年末本息和为M(1+r)ⁿ。参考答案：错误解析：应为复利求和，An=M[(1+r)ⁿ-1]/r。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.某工厂年产量第一年为a万吨，以后每年比前一年增产5%，求第3年产量与a的关系式。参考答案：第3年产量为a(1+5%)²。解析：第n年产量为a(1+5%)ⁿ⁻¹，故第3年产量为a(1+5%)²。2.某城市人口2020年为P₀万人，年增长率为r，求2023年人口与P₀的关系式。参考答案：2023年人口为P₀(1+r)³。解析：每年增长率为r，3年后人口为P₀(1+r)³。3.某产品成本第一年为c₁元，以后每年比前一年增加2%，求第4年成本与c₁的关系式。参考答案：第4年成本为c₁(1+2%)³。解析：第n年成本为c₁(1+2%)ⁿ⁻¹，故第4年成本为c₁(1+2%)³。4.某账户每年末存入M元，年利率为r，求第2年末本息和与M的关系式。参考答案：第2年末本息和为M[1+(1+r)]。解析：等比数列求和，项数为2，An=M[1+(1+r)]。5.某池塘养鱼，初始鱼量为a条，每年增长率为r，但每年捕捞m条，求第2年鱼量与a的关系式。参考答案：第2年鱼量为a(1+r)²-m(1+r)-m。解析：第1年鱼量为a(1+r)-m，第2年鱼量为[a(1+r)-m](1+r)-m=a(1+r)²-m(1+r)-m。6.某商品售价为p元，销量与p成反比，即d=k/p，求收入函数R的表达式。参考答案：R=pd=k。解析：收入为售价乘销量，R=pd=k。7.某工厂固定成本为F元，单位可变成本为v元，售价为p元，求当销量为1时，利润函数L的表达式。参考答案：L=p-v-F。解析：销量为1时，L=p-v-F。8.某细菌每分钟分裂一次，初始数量为a个，求第3分钟后细菌数量与a的关系式。参考答案：第3分钟后细菌数量为a(2³)=8a。解析：每分钟翻倍，第3分钟后数量为a×2³=8a。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂年产量第一年为10万吨，以后每年比前一年增产8%，求第5年产量。解：第n年产量为a(1+r)ⁿ⁻¹，故第5年产量为10(1+8%)⁴=10×1.08⁴≈14.496万吨。2.某城市人口2020年为100万人，年增长率为5%，求2025年人口。解：2025年人口为100(1+5%)⁵=100×1.05⁵≈127.63万人。3.某产品成本第一年为5000元，以后每年比前一年增加3%，求第4年成本。解：第4年成本为5000(1+3%)³=5000×1.03³≈5518.79元。4.某账户每年末存入1000元，年利率为6%，求第3年末本息和。解：An=M[1+(1+r)+(1+r)²+…+(1+r)ⁿ⁻¹]，故A₃=1000[1+1.06+1.06²]=1000×3.1836=3183.6元。5.某池塘养鱼，初始鱼量为1000条，每年增长率为10%，但每年捕捞50条，求第3年鱼量。解：第n年鱼量y=a(1+r)ⁿ-m[(1+r)ⁿ-1]/r，故y₃=1000(1+10%)³-50[(1+10%)³-1]/0.1=1331-500=831条。6.某商品售价为100元，销量与售价成反比，即d=1000/100=10，求收入函数R。解：R=pd=100×10=1000元。7.某工厂固定成本为2000元，单位可变成本为50元，售价为100元，求当销量为50时，利润函数L的值。解：L=px-vx-F=100×50-50×50-2000=5000-2500-2000=500元。8.某细菌每分钟分裂一次，初始数量为100个，求第4分钟后细菌数量。解：第n分钟后数量为a(2ⁿ)，故第4分钟后数量为100×2⁴=1600个。六、标准答案及解析一、单项选择题1.A2.A3.B4.C5.D6.B7.D8.A9.B10.B二、填空题1.y=a(1+5%)⁵12.P=P₀(1+r)⁵13.c=c₁(1+2%)ⁿ⁻¹2.An=M[1+(1+r)+(1+r)²+…+(1+r)ⁿ⁻¹]15.y=a(1+r)ⁿ-m[(1+r)ⁿ-1]/r3.R=pd=k17.L=px-vx-F18.y=