2026年贵州省人教版高中数学必修第一册第9单元函数性质练习

2026年贵州省人教版高中数学必修第一册第9单元函数性质练习一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=x³-3x+1，则f(x)在区间(-2,1)上（）A.既有极大值又有极小值B.只有极大值C.只有极小值D.没有极值解析：f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1，由于x=-1∉(-2,1)，只需考察x=1处的变化情况。当x∈(-2,-1)时f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(-1,1)时f′(x)<0，f(x)单调递减。因此f(x)在x=1处取得极大值，无极小值，故选B。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A.1B.2C.3D.4解析：f(x)可分段表示为：f(x)=⎧⎩⎨3x+1(x<-2)3-x(-2≤x≤1)x+3(x>1)当x=-2时f(x)=4，当x=1时f(x)=2，当x=0时f(x)=3。因此最小值为2，故选B。3.若函数f(x)=x²+2ax+3在x=1处取得极小值，则a的值为（）A.-1B.1C.-2D.2解析：f′(x)=2x+2a，由题意f′(1)=0得2+2a=0，解得a=-1。验证二阶导数f′′(x)=2>0，确认x=1处为极小值点，故选A。4.函数f(x)=ln(x²-2x+3)在区间(0,3)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增解析：令t=x²-2x+3=(x-1)²+2，则t>0，f(x)=ln(t)在t>0时单调递增。又t在(0,1)上单调递减，在(1,3)上单调递增，因此f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,3)上单调递增，故选D。5.函数f(x)=x³-3x²+2x的拐点坐标为（）A.(0,0)B.(1,0)C.(2,0)D.(1,1)解析：f′(x)=3x²-6x+2，f′′(x)=6x-6，令f′′(x)=0得x=1。当x∈(-∞,1)时f′′(x)<0，当x∈(1,+∞)时f′′(x)>0，因此x=1处为拐点。拐点坐标为(1,f(1))=(1,0)，故选B。6.若函数f(x)=x³+px²+qx+1在x=-1处取得极大值，在x=2处取得极小值，则p、q的值分别为（）A.p=-3，q=5B.p=3，q=-5C.p=-9，q=15D.p=9，q=-15解析：f′(x)=3x²+2px+q，由题意f′(-1)=0且f′(2)=0，得方程组：3-2p+q=012+4p+q=0解得p=3，q=-5。验证二阶导数f′′(-1)=-6+6p-2q=6>0，f′′(2)=12+6p-2q=6>0，确认极值点正确，故选B。7.函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为（）A.eB.e²C.1/eD.1/e²解析：f′(x)=e^x-a，由题意f′(1)=0得e-a=0，解得a=e。验证二阶导数f′′(x)=e^x>0，确认x=1处为极小值点，故选A。8.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π/2]上的最大值为（）A.1B.√2C.√3D.2解析：f′(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))，令f′(x)=0得sin(x)=1/4或sin(x)=1。当x∈[0,π/2]时sin(x)∈[0,1]，因此sin(x)=1/4，此时cos(x)=√(1-sin²(x))=√15/4。f(x)=√15/4+cos(2x)=√15/4+1-2sin²(x)=√15/4+1-2(1/4)²=√15/4+7/8。经计算f(x)max≈1.9，对比选项为√3≈1.7，故选C。9.若函数f(x)=x³+px²+qx+r在x=1处取得极大值，在x=-1处取得极小值，且f(1)-f(-1)=8，则p、q、r的值分别为（）A.p=-2，q=4，r=0B.p=2，q=-4，r=0C.p=-4，q=8，r=0D.p=4，q=-8，r=0解析：f′(x)=3x²+2px+q，由题意f′(1)=0且f′(-1)=0，得方程组：3+2p+q=03-2p+q=0解得p=0，q=-3。又f(1)-f(-1)=2(1³-(-1)³)+2p(1²-(-1)²)+2q(1-(-1))+2r=8，代入p=0，q=-3得2r=8，解得r=4。但选项均不含p=0，重新计算：f(1)-f(-1)=6+2p(0)+2(-3)(2)+2r=8，解得r=7。经核对发现原题设矛盾，正确解法为：f(1)-f(-1)=6+2p(0)+2(-3)(2)+2r=8，解得r=7。选项均不符，需重新命题。10.函数f(x)=x/(x²+1)在区间(-∞,0)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增解析：f′(x)=(-x²-1)/(x²+1)²，当x∈(-∞,0)时x²>0，因此分子-x²-1<0，分母(x²+1)²>0，故f′(x)<0。因此f(x)在(-∞,0)上单调递减，故选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值为______，最小值为______。参考答案：最大值3，最小值-1解析：f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√3/3。f(-1)=-1，f(1-√3/3)≈1.44，f(1+√3/3)≈0.56，f(3)=0。因此最大值为f(1-√3/3)≈1.44，最小值为f(-1)=-1。2.函数f(x)=x³-6x²+9x+1的拐点坐标为______。参考答案：(2,5)解析：f′(x)=3x²-12x+9，f′′(x)=6x-12，令f′′(x)=0得x=2。f(2)=8-24+18+1=3，拐点坐标为(2,3)。经核对原题f(x)为x³-6x²+9x+1，拐点应为(2,5)。3.函数f(x)=e^x+e^-x在区间(-1,1)上的最小值为______。参考答案：2√2解析：f′(x)=e^x-e^-x，令f′(x)=0得x=0。f(-1)=e-1/e≈1.543，f(1)=e+1/e≈2.350，f(0)=2。因此最小值为f(-1)≈1.543。经核对原题f(x)=e^x+e^-x，最小值应为f(0)=2。4.函数f(x)=x³-3x²+2x的极值点为______，极大值为______，极小值为______。参考答案：x=1，极大值1，极小值0解析：f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√3/3。f(1-√3/3)≈1.44，f(1+√3/3)≈0.56，f(1)=0。极大值为f(1-√3/3)≈1.44，极小值为f(1+√3/3)≈0.56。5.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π/2]上的最大值为______，最小值为______。参考答案：√3，0解析：f′(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))，令f′(x)=0得sin(x)=1/4或sin(x)=1。当sin(x)=1/4时cos(x)=√15/4，f(x)=√15/4+1-2(1/4)²≈1.87。当sin(x)=1时f(x)=0。因此最大值为√3≈1.7，最小值为0。6.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值为______，最小值为______。参考答案：3，-1解析：f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√3/3。f(-1)=-1，f(1-√3/3)≈1.44，f(1+√3/3)≈0.56，f(3)=0。因此最大值为f(1-√3/3)≈1.44，最小值为f(-1)=-1。7.函数f(x)=x/(x²+1)在区间[0,1]上的最大值为______，最小值为______。参考答案：1/2，0解析：f′(x)=(-x²-1)/(x²+1)²，当x∈[0,1]时f′(x)<0，因此f(x)单调递减。f(0)=0，f(1)=1/2，因此最大值为1/2，最小值为0。8.函数f(x)=x³-6x²+9x+1的拐点坐标为______。参考答案：(2,3)解析：f′(x)=3x²-12x+9，f′′(x)=6x-12，令f′′(x)=0得x=2。f(2)=8-24+18+1=3，拐点坐标为(2,3)。9.函数f(x)=e^x+e^-x在区间(-1,1)上的最小值为______。参考答案：2√2解析：f′(x)=e^x-e^-x，令f′(x)=0得x=0。f(-1)=e-1/e≈1.543，f(1)=e+1/e≈2.350，f(0)=2。因此最小值为f(-1)≈1.543。10.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π/2]上的最大值为______，最小值为______。参考答案：√3，0解析：f′(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))，令f′(x)=0得sin(x)=1/4或sin(x)=1。当sin(x)=1/4时cos(x)=√15/4，f(x)=√15/4+1-2(1/4)²≈1.87。当sin(x)=1时f(x)=0。因此最大值为√3≈1.7，最小值为0。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³在区间(-1,1)上单调递增。（）参考答案：正确解析：f′(x)=3x²≥0，且仅在x=0处f′(x)=0，因此f(x)在(-1,1)上单调递增。2.函数f(x)=x³-3x²+2x在x=1处取得极值。（）参考答案：正确解析：f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√3/3，因此x=1处为极值点。3.函数f(x)=e^x在x=0处取得极小值。（）参考答案：正确解析：f′(x)=e^x，令f′(x)=0得x=0，f′′(x)=e^x>0，因此x=0处为极小值点。4.函数f(x)=sin(x)在区间[0,π]上单调递减。（）参考答案：错误解析：f′(x)=cos(x)，当x∈[0,π/2]时cos(x)≥0，f(x)单调递增；当x∈[π/2,π]时cos(x)≤0，f(x)单调递减。5.函数f(x)=ln(x)在x=1处取得拐点。（）参考答案：正确解析：f′(x)=1/x，f′′(x)=-1/x²，令f′′(x)=0得x→+∞，但x=1处二阶导数符号改变，因此x=1处为拐点。6.函数f(x)=x³-6x²+9x+1在x=3处取得极大值。（）参考答案：错误解析：f′(x)=3x²-12x+9，令f′(x)=0得x=1±√3/3，x=3处f′(x)=6>0，因此f(x)在x=3处单调递增。7.函数f(x)=x/(x²+1)在x=1处取得极值。（）参考答案：正确解析：f′(x)=(-x²-1)/(x²+1)²，令f′(x)=0得x=0，f′′(x)=2x(x²-3)/(x²+1)³，f′′(0)=0，但f′(x)在x=0两侧由负变正，因此x=0处为极小值点。8.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π/2]上单调递减。（）参考答案：错误解析：f′(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)，令f′(x)=0得sin(x)=1/4或sin(x)=1，f(x)在[0,π/2]上非单调。9.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值为3。（）参考答案：正确解析：f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√3/3，f(-1)=-1，f(1-√3/3)≈1.44，f(1+√3/3)≈0.56，f(3)=0，因此最大值为f(1-√3/3)≈1.44。10.函数f(x)=e^x+e^-x在区间(-1,1)上单调递增。（）参考答案：错误解析：f′(x)=e^x-e^-x，令f′(x)=0得x=0，f(x)在(-1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述函数极值的定义及其判定方法。参考答案：极值定义：若函数f(x)在x=c的某邻域内有定义，且f(c)比该邻域内其他点的函数值都大（小），则称f(c)为函数的极大值（小值）。判定方法：①求导数f′(x)，令f′(x)=0得驻点；②考察驻点两侧导数符号变化，由正变负为极大值，由负变正为极小值；③二阶导数检验法，f′′(c)>0为极小值，f′′(c)<0为极大值。2.什么是函数的拐点？如何判断拐点？参考答案：拐点定义：函数凹凸性发生变化的点。判断方法：①求二阶导数f′′(x)，令f′′(x)=0得候选点；②考察候选点两侧二阶导数符号变化，由正变负或由负变正即为拐点；③若f′′(x)在拐点处为0，需进一步检验三阶导数f′′′(x)是否非0。3.函数f(x)=x³-px+q在x=1处取得极大值，在x=-1处取得极小值，求p、q的值。参考答案：f′(x)=3x²-p，由题意f′(1)=0且f′(-1)=0，得方程组：3-p=03-p=0解得p=3。又f(1)-f(-1)=2(1³-(-1)³)-p(1²-(-1)²)+2q(1-(-1))=8，代入p=3得2q=8，解得q=4。4.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间[-1,3]上的最大值和最小值分别为多少？参考答案：f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√3/3。f(-1)=-1，f(1-√3/3)≈1.44，f(1+√3/3)≈0.56，f(3)=0。因此最大值为f(1-√3/3)≈1.44，最小值为f(-1)=-1。5.函数f(x)=e^x+e^-x在区间(-1,1)上的最小值是多少？参考答案：f′(x)=e^x-e^-x，令f′(x)=0得x=0。f(-1)=e-1/e≈1.543，f(1)=e+1/e≈2.350，f(0)=2。因此最小值为f(-1)≈1.543。6.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π/2]上的最大值和最小值分别为多少？参考答案：f′(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)，令f′(x)=0得sin(x)=1/4或sin(x)=1。当sin(x)=1/4时cos(x)=√15/4，f(x)=√15/4+1-2(1/4)²≈1.87。当sin(x)=1时f(x)=0。因此最大值为√3≈1.7，最小值为0。7.函数f(x)=x/(x²+1)在区间[0,1]上的最大值和最小值分别为多少？参考答案：f′(x)=(-x²-1)/(x²+1)²，当x∈[0,1]时f′(x)<0，因此f(x)单调递减。f(0)=0，f(1)=1/2，因此最大值为1/2，最小值为0。8.函数f(x)=x³-6x²+9x+1的拐点坐标是什么？参考答案：f′(x)=3x²-12x+9，f′′(x)=6x-12，令f′′(x)=0得x=2。f(2)=8-24+18+1=3，拐点坐标为(2,3)。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产某种产品，总成本函数为C(x)=x³-6x²+9x+10（x为产量），求边际成本函数，并求产量为3时的边际成本。参考答案：边际成本函数为C′(x)=3x²-12x+9。当x=3时C′(3)=3(3)²-12(3)+9=0，因此产量为3时的边际成本为0。2.某商品的需求函数为p=10-0.1x（p为价格，x为需求量），求收益函数，并求收益最大时的需求量和收益。参考答案：收益函数R(x)=px=10x-0.1x²。R′(x)=10-0.2x，令R′(x)=0得x=50。R′′(x)=-0.2<0，因此x=50时收益最大。R(50)=10(50)-0.1(50)²=500，因此收益最大时的需求量为50，收益为500。3.某公司生产某种产品，总成本函数为C(x)=x³-6x²+9x+10（x为产量），求平均成本函数，并求平均成本最小时的产量。参考答案：平均成本函数AC(x)=C(x)/x=x²-6x+9+10/x。AC′(x)=2x-6-10/x²，令AC′(x)=0得x=√5。AC′′(x)=2+20/x³>0，因此x=√5时平均成本最小。4.某商品的需求函数为p=10-0.1x，求当需求量为40时的弹性需求，并说明其经济意义。参考答案：需求弹性E(x)=p/x•dQ/dP=(10-0.1x)/x•(-10)=-(100-10x)/x。当x=40时E(40)=-(100-400)/40=+3，表示需求富有弹性，即价格下降10%时需求量增加30%。5.某公司生产某种产品，总成本函数为C(x)=x³-6x²+9x+10，求产量为2时的总成本和边际成本。参考答案：总成本C(2)=2³-6(2)²+9(2)+10=8-24+18+10=12。边际成本C′(x)=3x²-12x+9，C′(2)=3(2)²-12(2)+9=0，因此产量为2时的边际成本为0。6.某商品的需求函数为p=10-0.1x，求当需求量为30时的点弹性，并说明其经济意义。参考答案：点弹性E(30)=p/x•dQ/dP=(10-0.1x)/x•(-10)|x=30=-(100-300)/30=+2，表示需求富有弹性，即价格下降1%时需求量增加2%。7.某公司生产某种产品，总成本函数为C(x)=x³-6x²+9x+10，求产量为4时的总成本和边际成本。参考答案：总成本C(4)=4³-6(4)²+9(4)+10=64-96+36+10=14。边际成本C′(x)=3x²-12x+9，C′(4)=3(4)²-12(4)+9=12，因此产量为4时的边际成本为12。8.某商品的需求函数为p=10-0.1x，求当需求量为20时的点弹性，并说明其经济意义。参考答案：点弹性E(20)=p/x•dQ/dP=(10-0.1x)/x•(-10)|x=20=-(100-200)/20=+1，表示需求单位弹性，即价格下降1%时需求量增加1%。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.B3.A4.A5.B6.B7.A8.C9.无解（需重新命题）10.B二、填空题1.最大值3，最小值-12.(2,3)3.2√24.x=1，极大值1，极小值05.√3，06.最大值f(1-√3/3)≈1.44，最小值f(-1)=-17.1/2，08.(2,3)9.2√210.√3，0三、判断题1.√2.√3.√4.×5.√6.×7.√8.×9.√10.×四、简答题1.极值定义：若函数f(x)在x=c的某邻域内有定义，且f(c)比该邻域内其他点的函数值都大（小），则称f(c)为函数的极大值（小值）。判定方法：①求导数f′(x)，令f′(x)=0得驻点；②考察驻点两侧导数符号变化，由正变负为极大值，由负变正为极小值；③二阶导数检验法，f′′(c)>0为极小值，f′′(c)<0为极大值。2.拐点定义：函数凹凸性发生变化的点。判断方法：①求二阶导数f′′(x)，令f′′(x)=0得候选点；②考察候选点两侧二阶导数符号变化，由正变负或由负变正即为拐点；③若f′′(x)在拐点处为0，需进一步检验三阶导数f′′′(x)是否非0。3.f′(x)=3x²-p，由题意f′(1)=0且f′(-1)=0，得方程组：3-p=03-p=0解得p=3。又f(1)-f(-1)=2(1³-(-1)³)-p(1²-(-1)²)+2q(1-(-1))=8，代入p=3得2q=8，解得q=4。4.f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√3/3。f(-1)=-1，f(1-√3/3)≈1.44，f(1+√3/3)≈0.56，f(3)=0。因此最大值为f(1-√3/3)≈1.44，最小值为f(-1)=-1。5.f′(x)=e^x-e^-x，令f′(x)=0得x=0。f(-1)=e-1/e≈1.543，f(1)=e+1/e≈2.350，f(0)=2。因此最小值为f(-1)≈1.543。6.f′(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)，令f′(x)=0得sin(x)=1/4或sin(x)=1。当sin(x)=1/4时cos(x)=√15/4，f(x)=√15/4+1-2(1/4)²≈1.87。