2026年人教版高中数学高三一轮复习函数性质与图象专项训练题

2026年人教版高中数学高三一轮复习函数性质与图象专项训练题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(-1,0)上的单调性为（）A.单调递增且无极值B.单调递减且无极值C.单调递增且有极大值D.单调递减且有极小值解析：f′(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)，当-1<x<0时，f′(x)>0，函数单调递增；当0<x<1时，f′(x)<0，函数单调递减。因此f(x)在(-1,0)上单调递增，且在x=0处取得极大值f(0)=ln1-0=0。故选C。2.函数y=2^x+1/x在定义域内（x≠0）的图象大致为（）A.B.C.D.解析：函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，当x→0^-时，2^x→1，1/x→-∞，函数值趋近于负无穷；当x→0^+时，2^x→1，1/x→+∞，函数值趋近于正无穷。排除B、D选项。当x>1时，2^x>2，1/x<1，2^x+1/x>3，排除A选项。故选C。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A.1B.2C.3D.4解析：f(x)可分段表示为：f(x)={3-x,x<-2{x+3,-2≤x≤1{x-1,x>1当x=-2时，f(-2)=-2+3=1；当x=1时，f(1)=1+3=4。函数在(-∞,-2)上单调递减，(-2,1)上单调递增，(1,+∞)上单调递增。因此最小值为1。故选A。4.函数f(x)=sin(2x)+√3cos(2x)的图象关于直线x=π/6对称，则f(π/3)的值为（）A.1B.√3C.2D.0解析：f(x)=2sin(2x+π/3)，图象关于x=π/6对称，则2×π/6+π/3=kπ+π/2，k∈Z，即f(π/6)=2sin(π/2)=2。f(π/3)=2sin(2×π/3+π/3)=2sinπ=0。故选D。5.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,4]上的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：f′(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-1+3+2=4，f(0)=0^3-0+2=2，f(2)=8-12+2=-2，f(4)=64-48+2=18。f(0)-f(-1)=2-4=-2<0，f(2)-f(0)=-2-2=-4<0，f(4)-f(2)=18-(-2)=20>0。函数在(-1,0)、(0,2)、(2,4)上各有一个零点，共3个。故选C。6.函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为（）A.eB.1/eC.2eD.e^2解析：f′(x)=e^x-a，f(1)=e-a取得极值，则f′(1)=e-a=0，解得a=e。验证：f′(x)=e^x-e，当x<1时，f′(x)<0，函数单调递减；当x>1时，f′(x)>0，函数单调递增。x=1处为极小值点。故选A。7.函数y=cos^2(x+π/4)-sin^2(x+π/4)的周期为（）A.πB.2πC.π/2D.4π解析：y=cos(2x+π/2)=sin(2x)，周期T=2π/2=π。故选A。8.函数f(x)=log_a(x^2-2x+3)在(1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,+∞)D.(0,1)∪(1,2)解析：x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0，定义域为R。f(x)在(1,+∞)上单调递增，则a>1且内函数t=x^2-2x+3在(1,+∞)上单调递增。内函数在(1,+∞)上单调递增，故f(x)在(1,+∞)上单调递增。故选C。9.函数f(x)=|x-1|sin(x)+cos(x)在区间[0,π]上的最大值为（）A.1B.√2C.2D.√3解析：f(x)=|x-1|sin(x)+cos(x)，当x∈[0,1]时，f(x)=1-sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)；当x∈(1,π]时，f(x)=sin(x)-1+cos(x)=√2sin(x+π/4)-1。在[0,π]上，x+π/4∈[π/4,5π/4]，sin(x+π/4)最大值为1，f(x)最大值为√2。故选B。10.函数f(x)=x^2e^(-x)的图象关于点（1,1/e）对称，则f(2)的值为（）A.2/eB.4/e^2C.2/e^2D.4/e解析：若图象关于点(1,1/e)对称，则f(1-x)+f(1+x)=2/e，即(1-x)^2e^(-1+x)+(1+x)^2e^(-1-x)=2/e。令x=1，得4/e^2+4/e^2=2/e，f(2)=4/e^2。故选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x^3-3x^2+2的图象与直线y=x的交点个数为______解：令x^3-3x^2+2=x，即x^3-3x^2-x+2=0，因式分解得(x-1)(x^2-2x-2)=0，解得x=1或x=1±√3。交点个数为3个。2.函数f(x)=2^x-1/x在x→0时的极限为______解：lim(x→0)(2^x-1/x)=lim(x→0)(e^(xln2)-1/x)/(xln2)=lim(x→0)(e^(xln2)-1)/xln2=lim(x→0)e^(xln2)/ln2=1/ln2。3.函数y=3sin(2x+π/3)的最小正周期为______解：T=2π/2=π。4.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的值域为______解：f(x)分段为：f(x)={3-x,x<-2{x+3,-2≤x≤1{x-1,x>1当x=-3时，f(-3)=-3+3=0；当x=-2时，f(-2)=-2+3=1；当x=1时，f(1)=1+3=4；当x=3时，f(3)=3-1=2。值域为[0,4]。5.函数f(x)=ln(x+1)-x在x=0处的二阶导数为______解：f′(x)=1/(x+1)-1，f′(0)=0；f′′(x)=-1/(x+1)^2，f′′(0)=-1。6.函数y=2cos^2(x)-sin(2x)的图象关于y轴对称，则x的取值集合为______解：y=cos(2x)+1，需满足2x=kπ，k∈Z，即x=kπ/2，k∈Z。7.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值为______解：f′(x)=3x^2-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-1+3+2=4；f(0)=0；f(2)=-2；f(3)=9-9+2=2。最大值为4。8.函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极小值，则a的取值范围是______解：f′(x)=e^x-a，f(1)=e-a取得极小值，则f′(1)=e-a=0，a=e；且x<1时f′(x)<0，x>1时f′(x)>0。需e-a>0，即a<e。9.函数y=|sin(x)|+|cos(x)|的最小正周期为______解：T=min{2π/|k|,2π/(|k|+1)}，k为sin、cos的周期系数，最小正周期为π/2。10.函数f(x)=x^2e^(-x)在x=2处的切线方程为______解：f′(x)=2xe^(-x)-x^2e^(-x)，f′(2)=4/e^2-4/e^2=0；f(2)=4/e^2。切线方程为y=4/e^2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上至少有三个零点。（）解：f′(x)=3x^2-3，令f′(x)=0得x=±1。f(-2)=-2，f(-1)=2，f(1)=-2，f(2)=2。f(-2)-f(-1)=-4<0，f(-1)-f(1)=-4<0，f(1)-f(2)=-4<0。函数在(-2,-1)、(-1,1)、(1,2)上各有一个零点，共3个。正确。2.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的图象关于直线x=π/4对称。（）解：f(π/4-α)+f(π/4+α)=sin(π/4-α)+cos(π/4-α)+sin(π/4+α)+cos(π/4+α)=√2+√2=2√2≠2sin(π/4)=√2。错误。3.函数f(x)=e^x-ax在x=x_0处取得极大值，则f′(x_0)=0且f′′(x_0)<0。（）解：极大值点需f′(x_0)=0且f′′(x_0)≤0。若f′′(x_0)<0，则必为极大值点。正确。4.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为0。（）解：f(x)分段为：f(x)={3-x,x<-2{x+3,-2≤x≤1{x-1,x>1最小值为f(-2)=1。错误。5.函数f(x)=sin(x)+cos(x)在区间[0,π]上单调递减。（）解：f′(x)=cos(x)-sin(x)，令f′(x)=0得x=π/4。f(0)=√2，f(π/4)=√2，f(π)=-√2。函数在(0,π/4)上单调递减，(π/4,π)上单调递增。错误。6.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2处取得极值。（）解：f′(x)=3x^2-6x，令f′(x)=0得x=0或x=2。f′(x)在x=2两侧同号，不取极值。错误。7.函数f(x)=ln(x+1)-x在x→-1时存在极限。（）解：lim(x→-1)(ln(x+1)-x)=ln0-(-1)=无穷大，极限不存在。错误。8.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的值域为[0,6]。（）解：f(x)分段为：f(x)={3-x,x<-2{x+3,-2≤x≤1{x-1,x>1当x=-3时，f(-3)=-3+3=0；当x=-2时，f(-2)=-2+3=1；当x=1时，f(1)=1+3=4；当x=3时，f(3)=3-1=2。值域为[0,4]。错误。9.函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)的图象关于直线x=π/4对称。（）解：f(π/4-α)+f(π/4+α)=sin(π/2-2α)+cos(π/2-2α)+sin(π/2+2α)+cos(π/2+2α)=√2+√2=2√2≠2sin(π/2)=2。错误。10.函数f(x)=x^2e^(-x)在x=0处的切线方程为y=x。（）解：f′(0)=0，f(0)=1。切线方程为y=1。错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x^3-3x^2+2的单调区间和极值点。解：f′(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f′(x)=0得x=0或x=2。当x<0时，f′(x)>0，函数单调递增；当0<x<2时，f′(x)<0，函数单调递减；当x>2时，f′(x)>0，函数单调递增。单调递增区间为(-∞,0)∪(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)。x=0处取得极大值，x=2处取得极小值。2.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取值范围。解：f(x)分段为：f(x)={3-x,x<-2{x+3,-2≤x≤1{x-1,x>1当x=-2时，f(-2)=-2+3=1；当x=1时，f(1)=1+3=4；当x=3时，f(3)=3-1=2。最小值为1，取值范围为[1,4]。3.求函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期。解：f(x)=√2sin(2x+π/4)，周期T=2π/2=π。4.求函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值时a的值。解：f′(x)=e^x-a，f(1)=e-a取得极值，则f′(1)=e-a=0，解得a=e。5.求函数f(x)=x^3-3x^2+2的零点个数。解：f′(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-1+3+2=4，f(0)=0，f(2)=-2，f(3)=9-9+2=2。f(0)-f(-1)=0-4=-4<0，f(2)-f(0)=-2-0=-2<0，f(3)-f(2)=2-(-2)=4>0。函数在(-1,0)、(0,2)、(2,3)上各有一个零点，共3个。6.求函数f(x)=ln(x+1)-x在x=0处的导数和二阶导数。解：f′(x)=1/(x+1)-1，f′(0)=0；f′′(x)=-1/(x+1)^2，f′′(0)=-1。7.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最大值。解：f(x)分段为：f(x)={3-x,x<-2{x+3,-2≤x≤1{x-1,x>1当x=-3时，f(-3)=-3+3=0；当x=-2时，f(-2)=-2+3=1；当x=1时，f(1)=1+3=4；当x=3时，f(3)=3-1=2。最大值为4。8.求函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)在区间[0,π/2]上的值域。解：f(x)=√2sin(2x+π/4)，当x∈[0,π/2]时，2x+π/4∈[π/4,5π/4]，sin(2x+π/4)∈[-√2/2,1]。值域为[-1,√2]。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求函数在区间[-2,3]上的最大值和最小值。解：f′(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(-2)=-8+12+2=6，f(0)=0，f(2)=-8+12+2=-2，f(3)=27-27+2=2。最大值为6，最小值为-2。2.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求函数在区间[-3,3]上的值域。解：f(x)分段为：f(x)={3-x,x<-2{x+3,-2≤x≤1{x-1,x>1当x=-3时，f(-3)=-3+3=0；当x=-2时，f(-2)=-2+3=1；当x=1时，f(1)=1+3=4；当x=3时，f(3)=3-1=2。值域为[0,4]。3.已知函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)，求函数的最小正周期。解：f(x)=√2sin(2x+π/4)，周期T=2π/2=π。4.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极小值，求a的值。解：f′(x)=e^x-a，f(1)=e-a取得极小值，则f′(1)=e-a=0，解得a=e。5.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求函数的单调区间。解：f′(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f′(x)=0得x=0或x=2。当x<0时，f′(x)>0，函数单调递增；当0<x<2时，f′(x)<0，函数单调递减；当x>2时，f′(x)>0，函数单调递增。单调递增区间为(-∞,0)∪(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)。6.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，求函数在x=0处的导数。解：f′(x)=1/(x+1)-1，f′(0)=0。7.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求函数的最小值及取值范围。解：f(x)分段为：f(x)={3-x,x<-2{x+3,-2≤x≤1{x-1,x>1当x=-2时，f(-2)=-2+3=1；当x=1时，f(1)=1+3=4；当x=3时，f(3)=3-1=2。最小值为1，取值范围为[1,4]。8.已知函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)，求函数在区间[0,π/2]上的值域。解：f(x)=√2sin(2x+π/4)，当x∈[0,π/2]时，2x+π/4∈[π/4,5π/4]，sin(2x+π/4)∈[-√2/2,1]。值域为[-1,√2]。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.C3.C4.D5.C6.A7.A8.C9.B10.B解析：2.f′(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)，当-1<x<0时，f′(x)>0，函数单调递增；当0<x<1时，f′(x)<0，函数单调递减。因此f(x)在(-1,0)上单调递增，且在x=0处取得极大值f(0)=ln1-0=0。故选C。3.函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，当x→0^-时，2^x→1，1/x→-∞，函数值趋近于负无穷；当x→0^+时，2^x→1，1/x→+∞，函数值趋近于正无穷。排除B、D选项。当x>1时，2^x>2，1/x<1，2^x+1/x>3，排除A选项。故选C。4.f(x)可分段表示为：f(x)={3-x,x<-2{x+3,-2≤x≤1{x-1,x>1当x=-2时，f(-2)=-2+3=1；当x=1时，f(1)=1+3=4。函数在(-∞,-2)上单调递减，(-2,1)上单调递增，(1,+∞)上单调递增。因此最小值为1。故选A。5.f(x)=2sin(2x)+√3cos(2x)=2sin(2x+π/3)，图象关于x=π/6对称，则2×π/6+π/3=kπ+π/2，k∈Z，即f(π/6)=2sin(π/2)=2。f(π/3)=2sin(2×π/3+π/3)=2sinπ=0。故选D。6.f′(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-1+3+2=4，f(0)=0^3-0+2=2，f(2)=8-12+2=-2，f(4)=64-48+2=18。f(0)-f(-1)=2-4=-2<0，f(2)-f(0)=-2-2=-4<0，f(4)-f(2)=18-(-2)=20>0。函数在(-1,0)、(0,2)、(2,4)上各有一个零点，共3个。故选C。7.f′(x)=e^x-a，f(1)=e-a取得极值，则f′(1)=e-a=0，解得a=e。验证：f′(x)=e^x-e，当x<1时，f′(x)<0，函数单调递减；当x>1时，f′(x)>0，函数单调递增。x=1处为极小值点。故选A。8.f(x)=x^3-3x^2+2，f′(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-1+3+2=4；f(0)=0；f(2)=-2；f(3)=9-9+2=2。最大值为4。9.f(x)=log_a(x^2-2x+3)在(1,+∞)上单调递增，则a>1且内函数t=x^2-2x+3>0，定义域为R。内函数t在(1,+∞)上单调递增，故f(x)在(1,+∞)上单调递增。故选C。10.f(x)=|x-1|sin(x)+cos(x)，当x∈[0,1]时，f(x)=1-sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)；当x∈(1,π]时，f(x)=sin(x)-1+cos(x)=√2sin(x+π/4)-1。在[0,π]上，x+π/4∈[π/4,5π/4]，sin(x+π/4)最大值为1，f(x)最大值为√2。故选B。11.f(x)=x^2e^(-x)的图象关于点（1,1/e）对称，则f(1-x)+f(1+x)=2/e，即(1-x)^2e^(-1+x)+(1+x)^2e^(-1-x)=2/e。令x=1，得4/e^2+4/e^2=2/e，f(2)=4/e^2。故选B。二、填空题1.32.1/ln23.π4.[0,4]5.-16.{kπ/2|k∈Z}7.48.a<e9.π/210.y=4/e^2三、判断题1.√22.×23.√24.×25.×26.×27.×28.×29.×30.×四、简答题1.解：f′(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f′(x)=0得x=0或x=2。当x<0时，f′(x)>0，函数单调递增；当0<x<2时，f′(x)<0，函数单调递减；当x>2时，f′(x)>0，函数单调递增。单调递增区间为(-∞,0)∪(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)。x=0处取得极大值，x=2处取得极小值。2.解：f(x)分段为：f(x)={3-x,x<-2{x+3,-2≤x≤1{x-1,x>1当x=-2时，f(-2)=-2+3=1；当x=1时，f(1)=1+3=4；当x=3时，f(3)=3-1=2。最小值为1，取值范围为[1,4]。3.解：f(x)=√2sin(2x+π/4)，周期T=2π/2=π。4.解：f′(x)=e^x-a，f(1)=e-a取得极值，则f′(1)=e-a=0，解得a=e。5.解：f′(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f′(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-1+3+2=4，f(0)=0，f(2)=-2，f(3)=9-9+2=2。f(0)-f(-1)=0-4=-4<0，f(2)-f(0)=-2-0=-2<0，f(3)-f(2)=2-(-2)=4>0。函数在(-1,0)、(0,2)、(2,3)上各有一个零点，共3个。6.解：f′(x)=1/(x+1)-1，f