考研数学二（概率论与数理统计）模拟试卷4

考研数学二(概率论与数理统计)模拟

试卷4

一、选择题(本题共9题，每题上。分，共9分。)

1、设随机变量X与Y都服从正态分布，则()

A、X与Y一定独立.

B、(X,Y)服从二维正态分布.

C、X与Y未必独立.

D、X+Y服从一维正态分布.

标准答案：C

知识点解析：事实上，X与Y都服从正态分布，二者在已知条件下得不到它们之

间的必然联系.(X,Y)服从二维正态分布的充分必要条件是aX+bY服从一维正态

分布，其中x,b不同时为0.即使(X,Y)服从二维正态分布，X与Y也未必服从

正态分布，因此选项(B)和(D)都不正确.

2、边缘分布均为正态分布的二维随机变量其联合分布()

A、必为二维正态分布.

B、必为均匀分布.

C、不一定为二维正态分布.

D、由两个边缘分布确定.

标准答案：C

知识点解析：边缘分布可由联合概率分布确定，但联合概率分布需要在诸如独立等

条件下才能由边缘分布确定，因此(D)不正确.例如，如果(X,Y)的概率密度为

f(x,y)=2ir(1+sinxsiny),-oo<x,yV+co.其不服从二维正态分布，但X

和Y都服从标准正态分布.

3、设随机变量X,Y,Z相互独立，且X服从N(l,2),Y服从N(2,2),Z服从

N(3,7),a=P{X<Y},b=P{Y<Z},则()

A、a>b.

B、a<b.

C、a=b.

D、a,b大小不能确定.

标准答案：A

知识点解析：由于X服从N(l,2),Y服从N(2,2),且X与Y相互独立，从而X

一Y服从N(—1,4),同理Y-Z服从N(—1,

a=p|A<ri=Ptx-r<oi=p|^ipl<-l

与一叫号外从而以

4、设相互独立的随机变量Xi和X2的分布函数分别为Fi(x)和F2(X),概率密度分

别为fi(x)和f2(x),则随机变量Y=min(Xi，X〉的概率密度f(x)=()

A、fl(x)fl(x).

B、fi(x)Fj(x)+f2(x)F2(x).

C>fi(x)[l—F2(x)]+f2(x)[l—F|(x)].

D、fi(x)F2(x)+f2(x)Fi(x).

标准答案：C

知识点解析：Y=min(Xi，X2)的分布函数为FY(X)=1一0—F](x)][l—F2(X)],所

,

以fY(x)=FY(x)=fi(x)[l一F2(x)]+f2(x)[l-Fi(x)],因此选(C).

5、设(X,Y)服从二维正态分布，且X与Y不相美，fx(x),fY(y)分别表示X,Y的

概率密度，则在Y=y的条件下，X的条件概率密度fxiY(xIy)为()

A、fx(x).

B、fY(y).(c)fx(x)fY(y).

JjW

C、A(r)1.

D、考查二维正态分布的独立性的判断和应用，如果(X,Y)服从二维正态分布，X

与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关.

标准答案：A

知识点解析：由于X与Y不相关，从而X与Y独立，所以fxiY(xIy)=fx(x).

6、设随机变量X和Y相互独立，且都服从指数分布E(Q,则下列结论正确的是()

A、X+Y服从E(2人).

B、X-Y服从E(2Q.

C、min(X,Y)服从E(2)

D、max(X,Y)服从E(2X).

标准答案：C

知识点解析•：由于X和Y相互独立，且都服从口入)，其分布函数为F(x尸

z>0,

(0,"WO.min(X,Y)的分布函数Fmm(x)=1-[1-F(x)产=1—e^x,x>0即

min(X,Y)服从E(2Q.

7、设随机变量X与Y相互独立]且X在区间(y1)上服从均匀分布，Y的概率分

TT

布为P{Y=0}=P{Y=l}=P{Y=2}=,记Fz(z尸的分布函数，则函数Fz(z)的间断

点的个数为()

个

A、0•

个

B、1•

个

、♦

C2个

D、3•

标准答案：B

知识点解析：因为X在区间(0,1)上服从均匀分布，

0,x<0.

所以X的分布函数为"(幻=卜，0WM1,

1,Ql.

于是尸zQ)=P{HWz}

=p{y=0}p(XY^tIy=o}+P{y=i}P{XY^Z|y=I}+P{y=2}P{XY^ZIy=2}

=1(P{0Wz}+P{XWz}+P{2XWz})

=/【P{°.

当z<0时.Fz(z)=。；

当0Wz<l8寸，/z(z)=l+z+羽=/+京；

当1Wz<2时，Fz(z)=1+1+=/+专；

当zN2时,&(z)=/(IM+l)=l；

显然.7=0是Fz(7)的间断点,因此选(R).

34

8、设X,Y为连续型随机变量，且PIXY^W'P'XXJ—OI后,则

P{min(X,Y)<0}=()

17^4

(A)亍(B)-.(C)—.(D)—.

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：事件{max(X,Y)K)}的对立事件为{XVO,Y<0),由P{max(X,

41

二-得pIx<oy<o1-

Y)>0)=5*'F.又{XYSO}U{min[X,Y)<0},且{XVO,Y<

X>0.

即")=

0.xWO.

=|*7(z)dx=£\e-n^dx

当y>0时，有4(y)trt

令，=x(l+y),有/,(y)=---(ue-du=；,「

(1+y)2Jo(1+y)

]y>0

当yWO时/(y)=0.即/y(y)=((1+y)2，''

fx(x)=O.S，VW0・(3)当xAO,y

>0时,f(x,y),fx(x).fY(y)，所以X与Y不相互独立.

知识点解析：暂无解析

12、一电子仪器由两部分构成，以X和Y分别表示两部分部件的寿命(单位：干小

rl-e-0”+e05<,xNO,yNO

时)，己知X和Y的联合分布函数为F(x,y)=[仇其他•

(1)问X和Y是否独立；(2)求两部件的寿命都超过100小时的概率a«

标准答案：(1)关于X和Y的边缘分布函数为Fx(x)=F(x,+oo尸

0-r力，Q0Jl-屋。户0.

L八尸式，)=F(+8,y)={

10，x<0-0y<0因为F(x,y)=Fx(x)FY(y)，所

以X和Y是相互独立的.(2)a=P{X>0.i,Y>0.1}=P{X>O.1)P{Y>

0.I)=[l-P{X<0.1)|[1-P{Y<0.l}]=e'0J.

知识点解析：暂妄解析

13、设(X,Y)的概率密度为f(x,y)="，-8<x,y<+oo,求fx(x).

标准答警

注意到「:e^dx=6,所以

/,(«)=广〃x,')dy=yZ(・冬)士”:句，"dy

妹力7")*(，-别卜看"=去"-8<…8.

知识点解析：暂无解析

14、已知随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布N(0,o2),求常数R,使

得概率P{"^SR}=0.5.

标准答案:

X的概率密度为/心):一」若，y的概率密度为人⑺二』-eA.

J2r(rV2TT(T

由于'和y相互独立'从而联合概率密度为/(，,，)=表e-m.

P|y/X2+Y2C/?|=~e-6rdr=I-eS=0.5,

2iraJoJo

解得R=。同②.

知识点解析：考查利用二维正态分布计算事件概率的方法.X和Y相互独立，且

都服从正态分布N(O,a2),可以得到(X,Y)的联合概率密度，在区域J'+lwR上

利用极坐标计算二重积分得到所求事件的概率.

15、设随机变量U在区间［-2,2］上服从均匀分布，令

xf-i.若uw-i,yf-i,若uw1.

若U>-1.31,若U>1.求⑴(X.Y)的联合概率分布；

(2)Z=XY的概率分布.

标准答案：(1)(X,Y)可能取的值为(一1,—1),(-1,1),(1,-1),(1,1),

Px=-i,r=-i|=PIL/C-I|P|［/^I|=y,pjx=-i,y=ii=pit/^-i|p|r/>i|=0.

px=i,r=-ii=PIU>-“PIUWI|=4^PIX=I，Y=U=PIU>T|PIU>U=j

24

(2)Z=xy可能取值为7和1.

=Pix=-i,y=i|+Pix=i.y=-i|=0+。=。.

PJZ=H=pjx=-i,y=-H+p)A=i.y=il=4-+4-=4--

442

知识点解析：暂无解析

16、设随机变量X和Y相互独立，概率密度分别为fx(x)=

h其他，''1o,,WO.求Z=2X+Y的概率密度.

标准答案：由于X和Y相互独立，因此(X,Y)的概率密度为

/(%.，)=/“(4)4(，)={1.0"；二>°

Iu,其他•

Z的分布函数为

Fz(z)=P!ZWz|=P\2X+yWz|

=J/(x,y)(kdy

=。fx(x)fY(y)dxdy.

如图3-7和图3-8.当zWO时，有七(z)=O;

当0<z<2时,有

当*2时，有

0(z)=J0de'dy=1-"«'")•

因此,z=2x+y的概率密度为

图3-7图3-8

知识点解析•：本题可以利用X和Y相互独立及它们的概率密度的已知条件，求出

(X,y)的概率密度f(x,y),再求出Z的分布函数Fz(z),从而求得Z的概率密度

fz(z)；也可以直接利用卷积公式求得fz(z),但要注意对z的取值进行正确的分段.

rl,O<x<l,0<y<2x,

17、设(X,Y)概率密度f(x,y)=i。，其他•求Z=2X—Y的概率密度.

标准答案：利用公式fz(z)=J@+8f(x,2x—z)dx.由于

r1,0<x<1,0<z<2x,

f(xf2x-z)=to,其他.

当zWO或ZN2时心(z)=0；当0<z<2时，有

/z(z)=人&=1-y.

因此

fl—,0<z<2,

4(z)=，2'

0,其他.

知识点解析：暂无解析

18、设二维随机变量(X.Y)在区域b={(X,y)I1WXW3,号汇3}上服从均匀分布，

求Z=IX—YI的概率密度fz(z).

(z,y)eDt

标准答案：由已知，(X.Y)的概率密度为f(x,y)=E其他，设Z=|X—

YI的分布函数为Fz(z),则Fz(z)=P{IX-YI<z}.当z<0时，Fz(z)=0,

当0Wz<2时，/zG)=4二

44

~-(2-x),0<z<2,

当zN2时，/z(z)=l，从而/zG)=2'八

0,其他.

知识点解析：暂无解析

19、设随机变量X和Y相互独立，都在(一a,a)上服从均匀分布，求Z=XY的概

率密度。

标准答案：如图3—10所示，因为X和Y相互独立，都在(一a,a)上服从均匀分

/(x,y)=4a

布，所以(X,Y)的联合概率密度为10,其他•设2=乂丫的分

上也好

布函数为Fz(z)=P{XY<z}=当zV—a2时，Fz(z)=0：当z>a2时,

Fz(z)=l；当0gz<a2时，

*)=+金町9+/>£dy)=4■♦方j2,na

1ue

当z=0时,Fz(z)=-y;

当-/这z<0时，&(z)=1-FZ(-z)=-1-+^2(l+21na-ln(-z));

2lna-ln|z|i।2

2a2'1*1'。'

{0,其他.

图3-9

知识点解析：暂无解析

20、设随机变量X和Y相互独立，且X的概率分右为

XI23

P0.40.20.4

Y的概率密度为f(y),求2=*+丫的概率密度fz(z).

标准答案：设Z=X+Y的分布函数为Fz(z),则

Fz(z)=P{Z<z}=P{X+Y<z}=P{X=I}P{X+Y<zIX=1)+P{X=2}P{X+Y<zI

X=2}+P{X=3}P{X+Y<zIX=3)=0.4P{Y<z-l)+0.2P{Ygz—2}+0.4P{Y$z一

3(.设Y的分布函数为FY(y)，则F'々(z)=0.4FY(z-l)+0.2FY(z-2)+0.4Fy(z

-3),从而fz(z尸F'z(z)=0.f(z-1)+0.2f(z—2)+0.4f(z-3).

知识点解析：独立情况下，考查一个离散型，一个连续型随机变量的函数的分布,

用全概率公式来求分布函数，离散型随机变量取各值的事件为完备事件组.

21、设随机变量X和Y相互独立，其分布函数分别为Fx(x尸

0,x<0,

f0,y<0,

1

0这y<l

户1.

,1,,求U=X+Y的概率密度fu(u).

标准答案：显然X可能取值为0和I,由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为

Fu(u)=P{X+Y<M}=P{X=0}P{X+Y<uIX=O}+P{X=1}P{X+Y<uIx=l)=

；p|ywMywu-i1=4-尸丫(“)+3斗(u-i)「，,，

444kz4>v蹴率密度为fu(u)二

1n.

y(〃)♦和叱1)=<；"2,

4

0,其他.

知识点解析：X的分布函数为阶梯函数，