考研数学（数学二）模拟试卷563

考研数学(数学二)模拟试卷563

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

1、设f(%)在(-8,+8)内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是()

A、sinf(x)

fozf(t)sintdt

C、Jc/sinldt

D、foz[sint4-f(t)]dt

标准答案：B

知识点解析：f⑴为奇函数出为偶函数，f(l)为偶函数0"⑴出为奇函数，

奇函数与奇函数的积为偶函数.从而可得得B正确.

2、考虑二元函数f(x,y)在点(xo,yo)处的下面四条性质：①连续②可微

③f'x(xo,yo)与f'y(xo,yo)存在④f'x(x,y)与f'y(x,y涟续若用“P=Q”表示

可由性质P推出性质Q,则有().

A、②=③。①

B、④=②o①

C、②n④=①

D、①吨＞②

标准答案：B

知识点解析：若f(x,y)一阶连续可偏导，则f(x,y)在(xo，yo)处可微，若f(x,y)

在(x(),yo)处可微,则f(x,y)在(xo，yo)处连续,选(B).

-t)dt]

lim-----------——

3、设f(x)连续，且x6,则().

A、x=0为极大值点

B、x=0为极小值点

C、(0,f(0))为拐点

D、x=0不是极值点，(0,f(0))也不是拐点

标准答案：B

知识点解析:Sfoxtf(x—t)dt=xJoxf(u)du—foxuf(u)duW-

tf(x-t)dzxjf(u)du-Ja/(u)dwj/(u)du

lim-------------二lim-------------；------------lim'----；---

LQX上7JT4x

1../(x)1

=—11m_.一■=—.

12阳储6，

于是lim£^=2.

因为

f(x)连续，所以f(0)=0,再由极限保号性，存在3>0,当0V1x1V5时，f(x)>

0=f(0),即x=0为f(x)的极小值点,应选(B).

4、

曲线y=卷上的渐近级的条数为

VJT—1

(A)1.(B)2.(C)3.(D)4.

A、

R、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：

分析:因如刍里:=8,故N=-1和力=1是曲线的两条垂直渐近线.

TI"-1

又a=lim—

A一—x

因此,1y工是曲线的一条斜渐近线.同法可求得v=z也是曲线的一条斜渐近线.

I10'

设A=110，则A合同于

00-2

100-

(A)010.

-001.

10O-

(C)0-10.

■0oa

A、

B、

c、

D、

标准答案：c

知识点解析：

分析写出A对应的二次型.并用配方法化成标准形.

/(xi,x2,x3)=xi»2x\xz।xl2x3

2

-(彳I+X2)-2x3

知f的秩为2,正惯性指数为1,(负惯性指数也为1)这和选项中(C)的矩阵一致.故应选(C).

注判别二个实对称阵是否合同,即判别其对应的二次型是否合同,两个二次型合同㈡有相

同的秩和正惯性指数(与标准形中的正、负项项数有关，与数值大小无关，不必再化为规范

形).

6、

设/(%)=产｛伊=)]=1+相且枳%)NO,则伊(%)在其定义域内是

(A)有界函数(B)周期函数

(C)单调增加函数(D)单调减少函数]

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：

【详解】由/(#)得/(WG)=c~3=1+*,又因3(外NO,所以3(的=，ln(1+%)•其定

义域为x20.

显然少(口不是周期函数，排除(B).

又lim^G)=lim/ln(l+x)=+8,因此,夕(%)在其定义域内是无界的，所以不选(A).

由于1n(1+%)以及石是单调增加函数，所以/ln(l+x)为单调增加函数,因此选(C)不是

选(D).

1评注】也可用/ln(l+x)的导数符号来判断/ln(l*x)的单调性：(v4n(l+f)'=：

一一••/->()㈠妾0),所以/n(l+*)在其定义城内是单调增加的.

2/ln(1+x)1+%

7、

设A是n阶矩阵，则下列说法中错误的是().

(A)对任意的x=［xi,X2，….工门丁，都有Ax=0,则必A=O

TT

(B)对任意的x—［xj,X2,xa］，都有xA=。.则必A=O

(C)对任意的x=［耳，4•…，石尸，都有XTAX=0,则必A=O

(D)对任意的x=［xi，/2，…，工”JT，且AT=A,都有x'vAx=0,则必A=O

A、

B、

c、

D、

标准答案：C

知识点解析：

解当火=—A时,对任意的x=Oi,x2「•・，

T

zj，都有(*丁及)T=XTAT(XT)T=x(—A)x=

一/Ax,得XTAX=0.故(C)错误,(请读者自证(A),

(B),(D)是正确的).

8、考虑一元函数f(x)的下列4条性质：①f(x)在⑶b］上连续；②f(x)在⑶b］±

可积；③f(x))在［a,b］上可导：④f(x)在［a,b］上存在原函数.以P=>Q表示由性

质P可推出性质Q,则有()

A、①二〉②二〉③.

B、③=XD=>④.

C、①=>②。④.

D、@=>®=>@.

标准答案：B

知识点解析：因可导必连续.连续函数必存在原函数，故B正确.A是不正确

的.虽然由①(连续)可推出②(可积)，但由②(可积)推不出③(可导).例如f(x)=|x|

在［-1,1］上可积，且〕-/卜由=2卜(*=1,但冈在x=0处不可导.C是不正确

)1・.

/(.!)=

的.由②(可积)推不出④(存在原函数)，例如1一1・,r<0在［-1，1］上

可积，且L/f(x)dx=J-］°(—l)dx+J(/ldx=—x|-i°+xcJ=—1+1=0.但f(x)在［―1,1］

上不存在原函数.因为如果存在原函数F(x),那么只能是F(x)=|x|+C的形式，而此

函数在x=0处不可导，在区间［—1,1］上它没有做原函数的“资格”.D是不正确

的.因为由④(存在原函数)推不出①(函数连续).例如：

I2jsin——cos—•.r卉0.［T2sin—・/卢0•

/(1)=(/F(x)=</

r==0*它存在原函数/=0・

可以验证F'(x)=f(x),旧f(x)在x=0处并不连续，即存在原函数可以不连续.回

二、填空题(本题共6题，每题L0分，共6分。)

9、

已知四次多项式/(x)在z=0处取极大值，在％=土1处取极小值0,且曲线y=

/(x)与x轴所围图形的面积为落则/(x)=.

标准答案：2X4-4X2+2

知识点解析：

详解・・"(外在*=0、±1处有极值，故知

f(x)=ar(x—l)(x+1)=aCx3-x)

于是=a(今—］)+C

由/(x)=a(3x2-1)且/(0)是极大值，知a>0.

又/(iD=0故。=与

由题设借一M+1)也=第

:.a=8于是/(x)=2x4—4x2+2

limf,

10、函数y-lnx在区间［1,n］上满足拉格朗日中值定理的自记为却，贝

lim--=limry-=limx=+<».

标准答案：1-8IML*al/«r”.+8

知识点解析：先由拉格朗日中值定理求出&n的表示式，然后再求极限.解由题设

11、

lim《十春4----h.

京湘答案：3/4

知识点解析：

rX

lim(]+4+…+义)=Jlim(l4-2工+•••+nx)X-J

,・853ou・—8

=glim(x4-x2+•••4-z")^.1=J•---—二搭

3-3(1.1V4

V

12、L(1受心=.

标准答案：一In2

L7T&7业=「.7?^^疝=/亮(*)

_I0_f01.

1+e'_gJ_1+e"”

i_-b『e1,

-hm—■-l丁一7心

杳-I-eJre-1

=0-ln(c*+1)|=-ln2.

知识点解析：

13＞设丫=吐)与y=sin2x在(0,0)处切线相同，其中f(x)可导,则

标准答案：ei

知识点解析：由y=f(x)与y=sin2x在(0,0)处切线相同得f(0)=0,

由JjG一八也=/(u)du得

pj-ji-

lim[cosx+/(x—/)dz]-"lim[COST+/(u)duj

x•<!

C1-4;---14-fg

=lim{[l+(cosx-l+}

,]/<aM>

---------77"—

:

r>.3r

cosx-1+/(w)dw.,.[]]

「(0)=2.四-------------------彳+彳阳,=—彳+彳八°)=彳得

lim[cosx+/(z—£)df]3'

J0

e'sin/—z+1=0.

确定，则里

y=y(i)由

ln(1+u)da

14、设

ln2

标准答案：e

知识点解析：当1=0时，x=l,e'sint—x+l=0两边对［求导，得e

dx__cLr八十日dr

—4-ecost---T-=0,于是丁=e

vsint-也出曲»-o；

y=r'ln(l+〃)da两边对t求导，得字=ln/+2),于是学=ln2.

oatatfwo

dyI

dzIf.oln2

r-odre

dfIrwo

三、解答题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

15、

计算［上口+»/("+：/)］dxd»其中f是连续函数,D为；y=/、)=1及z=—1所国

成的平面区域.

标准答案:

解法1设F是/的原函数，则

原式=，产dr]电+(产回/”+«/)dy

=J产(1——^[FCx2+x6)-F(1+x2)]dz

由于F(x2+16)-F(l+/)为偶函数

，产[FGr2+d)-F(1-f-x2)]^=0

；・原式=J产一")dr=-2Jo]，dx=­y

解法2作图中虚线为辅助线

因为D1关于2轴对称，卬+y2)是3的奇函数，所以0应3+：/)dzdy=0.

又Dz关于y轴对称是x的奇函数，所以。到八x2)dxdy=0.

3

故原式=jjrdxdy=［产回zdy=1_x(l—x)dx=--1-

知识点解析：暂无解析

16、

11a--1-

设矩阵4=1a1，P=1，已知线性方程组Ax=B有解但不

-a11---2-

唯一.试求：

(I)。的值；

(n)正交矩阵。，使QTAQ为对角矩阵.

标准答案：

【解】（I）对方程组的增广矩阵作初等行变换

11a：1

0o-l1-a0

.00-(a-l)(a+2)!-(a+2).

因为方程组有无穷多解，所以r（A）=",）＜3,所以a=-2.

A-1-12

(fl)lAE-AI=-1A+2-1=A(A+3)(A-3),

2-1A-1

所以A的特征值为：A”3,入2=0,43=-3.

当九二3时，由（3E-A）x=0可得属于特征值兀=3的特征向量4;（1,

o,-DT；

当A2=0时，由（0E-A）x=0可得属于特征值入2=0的特征向量.=（1，

1,DT；

当A,二-3时，由（-3E-A）x=0可得属于特征值1=-3的特征向瓜

a3=（1,-2,1），.

因为矩阵A为实对称矩阵，乂因为实对称矩阵的特征值不同时，其特征向Gt

已经正交，故只需单位化.

1111

々73示尸

02

令。=（仇，鱼，鱼）i一三，则可得QNQ=0

vo

111

示

知识点解析：暂无解析

2©+3g一马=0，

设四元齐次线性方程组I为皿+况+，日产。,另一个四元齐次线性方程组।的一个

1r

基础解系为：a1=(2,-l,a+2,l)\曲=(一l,2,4,a+8).

①求方程组I的一个基础解系,

②当a为何值时,方程组I与I有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共

解.

标准答案：

【解析】①对I的系数矩阵作初等变换:

-23-1O'i2i-r

A=

-121-1--013-2-

由r(A)=2知1的基础解系含4-2个线性无关的解向量.取工3,h为自由变量，得I的

一个基础解系为

A=(5,-3,1,0)T,良=(-3,2,O,1)T.

②设n是方程组I与n的非零公共解,则

♦=—+&&=Ml+I*2,

其中h与厩不全为。"1与h不全为0.

5瓦-3&-2，I+Z2=O,

—3鬲+2&+/]—2乙=0,

即方程组口：有非零解，令II的系数矩阵为B,

•一（。+2））—4/尸0,

电一/】一（。+8），2=0

5一3-210—a—2一4

一321一201一1-a-8

B

0a-2—400一3a-32a+2

01-1—a—8--005a+5-3a-3.

当且仅当a4-1=0时，r(B)=2<4,方程组H有非零解，此时方程组I的同解方程组是

^1—A—4/?=0,

于是

h-n，

，=出+4Z2)A+3+74)ft=Z1(A+A)+Z2(4ft+7ft)

TT

=/1(2,—1J,1)+Zz(-1,2,4,7)G与。不全为零).

知识点解析：暂无解析

18、

设函数人工)在[0,0上连续，在(0,“)内可导，且py(l)coMdx=rytr)sirurdr=O.试证:存在E6

J。Jo

(Or),使，(0=0.

标准答案：

分析:欲证£6(0,n),使r(e)=0.关键是要证明在(0,“)内/(X)有两个以上的零点，于是由罗

尔定理知，存在WG使，技)・0・

证:因sinz>O,HW(Or),又由题设

/(x)sinzdz=0.

若在(O,x)内人力恒正,/(x)sirurdr>0.

若在(0,Q内/(x)恒负•则「ytOsirwdz<0.

故在(0,Q内/(x)不可能恒正或恒负，因而人力在(0,“)内必有零点.

下面证明/(x)在(0,“)内零点不唯一.

设a€(0r)是fGr)的唯一零点，则对于*Ha.zW(O,n),有sintr-a)/G)必恒正或恒负(否则人公

必另有零点)，即有］：/(幻sin(z-a)dzHO,但由题设知

jKf(x)sin(x—a)dz=(sinzcosa-cosxsina)dr

=cosaj^/(x)sinzdz-sinaj'(z)coszdr

=0.

此与［^(工加小(“一公&工°矛盾・这就说明/(x)在(0,心内零点的个数不止一个.于是由罗尔定理知，在

/<x)的两个库点之间必存在SW(0,»,使/«)・0.

知识点解析：暂无解析

limV*6+u*♦/+6x)e':]--j

19、确定常数a与b的值，使得…

标准答案：这是求8—8型极限，先转化为求6型极

/=*===lim［4。+a*'■(*'+—♦6x)e'^j

**―(

-1)-[(1♦，♦・c']c7..2

hmlim正？lim—

限.I二P其中I«04Pr-o.(2

(1♦/+fc/2)-c*

(D时，(…力一1lim现只须再求里

)7.J方法一

卜26-e1

li.j2什"lim------

bt

«o*3r