计算机科学-浙江大学线性代数课后习题答案-第四章 线性空间与线性变换

第四章线性空间和线性变换

习题4.1

2.记住此结论。

习题4.2

10.证明：设4也，…，4w:使得，14+1"+-+L血=0,则有

/,«,+-%+-++"£+12&+…+*%-［+.)%=0。

因为，线性无关，所以。=，2=-=g=，£+…+4TET+ts=°。所

以"=‘2=,■='0=0。

习题4.3

3.证明:设向量组⑴、(II)的极大无关组分别为(III)、(IV)o则有⑴与(III)等价，(II)与(IV)

等价。所以(HI)能用⑴线性表示，(H)能用(IV)线性表示。因为⑴能用(II)线性表示，所以

(IH)能用(IV)线性表示。因为(ni)线性无关，所以(HI)中所含向量的个数((IV)中所含向

量的个数，即秩⑴4秩(II)。

4.证明：由题设易知向量组夕可由e，…,%_］,见线性表示，下面只需证明出

可由四,ar_x,ft线性表示即可o

因为力可由线性表示，所以存在数k1,…,k…k,使得

-=&Ci+…+尤._1。1+女。，。因为夕不能经囚，…,a—线性表示，所以匕.二0。

所以%=-1-(匕。|+…+〃一］。一1一夕)，即火可由4,〃线性表示。

k,

5.证明：因为Ci「・・，2，耳，/线性相关，所以存在不全为零的数片，…化7,

使得占%+…+左一］&一］+/+，。下面分情况对乙，是否为零进

行讨论(四种情况)。略。

6.证明：⑴因为%,%，出线性无关，所以巴，。3必线形无关，又因为四，%,%线

性相关，所以%能经%，％线性表示，并且表示方法唯一.

⑵若巴能经%，。2,%线性表示，不妨设表达式为%=攵乌+左2%+右内，根据

（1）必能经。2，%线性表示，不妨设表达式为四=4%+，2%，把囚带入到

a4=k}ax+k2a2+km中得

a4=k、Qa+f,aJ+k、a、+k。、=（4++（3+&）%

即有%-（缩+与）。2一（也+&）%=。，从而得到。2,%，%线性相关，这与题

意中a2,a、,%线性无关矛盾！所以％不能经%,%，阳线性表示.

习题4.4

12111211

23320-10

3.解；由［4

-10-110022

-2113000-3

可得秩（［%4%%］）=4,这四个向量线性无关,所以该向量组是P4中的一组

基.

1211:7

0-110:0

因为回%%%a]

0011:3

00014

X=6,

工2二一1，

所以方程组aa4］X=a的解为＜

23七=一|,

x4=4.

所以向量a在该基下的坐标为［6,-1,—1,w。

II01110I

4.解：⑴由

a2a、:a[]=010■>00

I0130o11

X=2,

可知[4a2a3]X=a；的解为</=7，所以。：=2。[-%+%.

工3二1•

同样可计算得-2a2,3。3・所以从基（I）到基（II）的过渡矩

211

阵为M=-11-2

113

2

2111

5252

⑵Xr=M-]X=-11-21，所以坐标为—士，工-

3333

1133

2

3

20561013

13360134

8.解：因为，所以秩（《,%，4，％）=4,所以

-1121000

10130001

可作为尸的一组基.

设向量a=[a,b,c,则它在常用基下的坐标为[〃，b,c,d]r.则有

aa

bb

%%%]=a,即要求（[四%4%]-£）=0.

cc

dd

2056

1336r

求解方程组（I一£)X=。得解为X=伏,k,k,-行，所以所求

-112

10I3

的向量a=伏，k,k,一灯（上为任意值）.

习题4.5

I,2.思路：验证3条。

5.思路：即证与等价。

习题4.6

2.思路：即说明这是解空间的一组基。

4.思路：注意要指出齐次线性方程组的基础解系只含有一个向量。

7.证明：⑴因为=所以秩（4）+秩（3）。，由于秩（8）二〃，所以秩（A）WO,

由此秩（A）=0,即得4=0.

（2）由题意知=所以（A-E）区=O,利用（1）可知A—E=O,因此A=E.

9.证明：先证必要性，根据等价标准形可知存在矩阵《词,5,“，秩（/?）=秩（S）=l,使

A=RS.令4,生,,4为R的阳个分量，4，—,…，么为S的〃个分量,则因为秩

（/?）=秩（5）=1所以《,生，…，4和4也，…也都不全为零.同时因为4=心即得

%=%3=1,2,…，m;j=1,2,…，〃）成立.

再证充分性，根据题意存在加个不全为零的数4,%，，%及n个不全为零的数

4也,…也使%=a®（i=1,2,—,m;j=1,2,—,n）.只需令

B玉,丹，,,，。"/，也，如…，切,则［%］”二席.因为

秩（「%］）&秩（B）K1,又由于…，《”和4，4，，”都不全为零，所以

i—J-J/wxn

7"中必有一非零元素，因此秩（「%］）＞0,据此可得秩（「4］）=1.

-JJmx/iL"」〃?x〃LyJmxn

10.证明：⑴由于秩（A）=n,所以|A*0,而AA*=M|E,在等式两边同乘后可得

（工A）A*=E，据此可知A'是可逆的，所以秋（A'）=n.

Ml

（2）秩（A）VnT时，根据矩阵秩的定义可知A的所有〃-1阶子式都为0,而4的元

素就是A的所有〃一1阶子式，所以A”的元素都是0,即不=。，所以秩（4）=0.

（3）当秩（A）=n-1时，A不是满秩的，所以⑶=0.又因为裕*=|4但，所以

44*一。.据此可知秩（A）*秩而秩（A）=nT,所以秩同时由

于秩（人）=联1,根据矩阵秩的定义可知人至少有一个〃-1阶子式不为零，而4的元

素就是A的所有"-1阶子式，所以A”中至少有一个元素不为零.由此可知秩

（^）＞1,所以秩（A*）=L

-E01「E-B

14.思路：利用分块矩阵〃—＞"。

0ABA0

习题4.8

6.证明:因为尸与囚,”均正交，所以（夕,4）=0,i=l,2,…,〃2.

m川m

因此（夕,、>，《）='?，（A生）=0,所以夕与必•%，…，%，的线性组合»回都正

/=1/=1；=1

交.

7.解：设［=［和%，%3，七丫，根据题意a为单位向量可知X；+¥+¥+¥=1♦⑴

3%)"+x2-x3+x4=0,

同时a与都正交，据此可得｛（a,a2）=x［-x2-x3+x4=0,从而可解得

（a,%）=2西+々+刍+35=0.

（其中/为任意取值）.又因为条件（1）可知/=±/=,

V26

兀4=

所以a=［司,x?,占，七『=±1,-3「

(%，)3，%）（«，%）3，%)0（）

(%四)（%,%）（%%）(%，%)o0o

11.解：⑴因为所以

(%%)（%。2）（%，%）(%,4)oo

(四,/)（%，%）（%，％）(%,%)

是肥的一组标准正交基.

（2）由（1）知11ali=Ji%+2a2+3a3+44,a、+2a?+3a3+4a/=\^0;

因为。在。1，。2。3，。4下的坐标为［L2,3,4］r,而£在%,%，。3，《»下的坐标

为［（氏⑷,—（£,%），（£,%）/二［&，&o,0『，

所以（a,夕）=（［1,2,3,4］r,［V2,五,0,0p=3>/2.

'21-11-31「11一101一

15.解：因为——>,所以方程组的一个基础

0-1

解系为

%=[0,I,I,0,0],a2=[-l,1,0,1,0],%=[4,-5,0,0,1]

先进行正交化得到/=«=[(),1,1,0,o]f；

(%，㈤

Pl=a2A=1,0

3㈤

766

=_(%，/)口

”的5-5-5-

33(4,⑷"L)

再进行单位化得到%=含=J=[°,1，1，°，

所以％,%，%即为所求的标准正交基.

习题4.H

2.证明：(1)因为AX=O的解均为3X=O的解，所以AX=O的基础解系中的解也都

是3X=。的解，所以3X=O的基础解系中所含的向量的个数不少于4X=O的基

础解系中所含向量的个数.而AX=O的基础解系中所含的向量的个数为〃-秩(8),

AX=O的基础解系中所含向量的个数为〃-秩(4),因此〃-秩(8)2〃-秩(A),所以秩阳)2

秩(8).

(2)因为AX=O与8X=O同解，所以AX=O的基础解系也就是砍=。的基础

解系，所以两者的基础解系所含向量个数相同，因此〃-秩(B尸〃-秩(4),即有秩①尸秩

(B).

(3)因为秩缶)=秩(8),所以〃-秩(8)=止秩(A),据此可知AX=O和3X=O的基础解

系所含向量的个数相同.因为AX=O的解均为BX=O的解，所以AX=O的某一基

础解系。,刍,…,f=力秩(A))也都是3X=O的解，如果AX=O与3X=O不同

解，则3X=O的解中存在一个解〃不是AX=O的解，则〃一定不能被刍

线性表示，所以。,力线性无关，这样8X=O的解中至少含有1+1个解线性

无关，即BX=O的基础解系所含向量的个数大于等于1+1,这与AX=O和BX=O

的基础解系所含向量的个数相同矛盾.所以AX=O与3X=O不同解的假设是不成

立的，因此4X=O与BX=O同解.

1112显然满足秩(A尸秩(B),但是1’是AX=O

(4)设4=,B=

oj[o0

0x2=-}.

的一个解，但是不是BX=O的解•.所以不能导出A