高中数学二十九个导数题型归纳

高中数学

二十九个导剧敢型归仙

目录

致型1导叙的定义..................................................4

致型2导数的几何意义.............................................5

致型3导叙几何意义易参数........................................6

致型4曲俵上劭支刎直铁蹈南的徽伍间庭.........................9

我型5公物铁问电.................................................10

我型6导熬几何意义S匹熬魁质保合.............................13

鼓型7扁条曲段上劲支维离素值..................................18

题型8导数几何意义掠合.........................................21

敢型9色数的单碉假求参照.......................................23

我型10极值S参缴...............................................27

致型11磔值与参救...............................................30

驶型12极值点偏移...............................................33

致型13但我或间敢求表照........................................37

观型14G意存在问驳.............................................41

敢型15存在器向我...............................................42

观型16慢鼠g问强...............................................43

我型17零直间期..................................................46

我型18多次求导..................................................48

观型19换完法的应用.............................................53

2

致型20导备数名案的替代...................................54

敢型21多变量同及的：变完.................................57

观型22，变量的解驳策略...................................59

驳型23极值支偏移的解教方法...............................65

典型24零支判断S参熬.....................................68

致型27，法术导的灵话应用.................................78

我型28导数S左塔式的保合................................82

致型29导超S数瘩法.......................................86

3

题型1导数的定义

例题1已知直线/经过（-1,0）,（0,1）两点，且与曲线y=f（x）切于点4（2,3）,则

「7（2+Ax）—y（2）附估邛/、

hm----------J--/的值为（）

.V④Ax

4.-2B,-1C.10.2

【解析】v直线/经过（-1,0），（0,1）两点

：/:y=x+1

直线与曲线y=/（x）切于点A（2,3）

可得曲线在x=2处的导数为：,《（2）=1

所以7（2）=li/""）一""=1,选C

Ax"Ax

巩固1设/（X）存在导函数且满足lin/（l）-/（l-2»）=_I,则曲线），=/（£）上的

>32Ax

点（1,/（1））处的切线的斜率为（）

A.-\B.-2C.1D.2

【解析】y=f（x）在点（1,/。））处的切线的斜率为

r⑴=5〃）-川-2"",选A

7…。2Av

巩固2已知函数/⑶在x=x0处可导，若出]]:二十工"）.人.））=1,则/，）=

hx»（）,p

（）

I

A.1B.—

3

C.3D.0

【解析】由已知可得

4

"(/3)-/(.311m/(Xu+3Ar)-/(%)=3/(%)=1

Ax、x*°

所以/Go)=g.选8

题型2导数的几何意义

例题2曲线)，=靖在点(1,«)处的切线与直线以+切+。=0垂直，则二的值为()

h

I22I

A.-B.-—C.-D.^―

。eIe

【解析】曲线y=M

则/="+xex,则y|=2e

曲线在点(l,e)处的切线与直线ax:+by+c=0垂直

•.•..3_=._L

b2e

:.—=—,选D

巩固3己知曲线)，=炉+2]-2在点M处的切线与'轴平行，则点M的坐标是()

A.(1,3)B.(-1,-3)C.(-2,-3)D.(-2,3)

【解析】)，=/+益-2的导数为y'=2x+2

设M("?,〃),则在点M的切线斜率为2m+2

由于在点用处的切线与x轴平行

则2m+2=0,解得w=-l

所以/2=1-2-2=-3,即有M(-L-3),选B

巩固4如果曲线＞=在点P处的切线垂直于直线那么点P的坐标为

()

N.(1,0)B.(0,-1)C.(0,1)D.(-1,0)

5

【解析】设点P3力)，则〃=a4—a

由题得f,(x)=4寸一1

因为曲线y=x4—x在点P处的切线垂直于直线y=-：x

所以土尸一1=3,所以〈日

所以A=l4—1=0,所以点P的坐标为(1,0),选A

巩固5已知曲线yu)二:V+'x2—5在点(1,负1))处的切线的倾斜角为以，则

cos2议_

13«

A.-B.--C.2D.一

2SS

【解析】因为,")二学+-jx2—5,故可得/(x)=x2+x,则切线的斜率

/劭以=/⑴=2

:

co§2议_cos:议一sin'al-tana1-43..D

sin2或+cos‘儿1加或3珞cos•业2ta〃北七|43S

题型3导数几何意义与参数

例题3函数=3hu+寸一bx+〃(〃>0,a=R)的图像在点(〃,/(/»)处的切线斜

率的最小值是()

A.6B.2JiC.2D.2-J2

【解析】由题j(x)=-+2v—b=

X关

则函数/(X)的图像在点(bj(H)处的切线斜率为k=f.(/?)=.一欧+S=/?+2

b-h

设g(b)=b+->2-JJ,当且仅当匕=-,BPZ?=Jj时等号成立

bh

所以g(〃)的最小值为2jj,即1n=2,选3

6

巩固6直线y二履+2与曲线y二炉+2双+相切于点(1,4),则4〃+〃的值为()

4.2B.-1C.1D.-2

【解析】由题意，直线y=反+2与曲线y=V+2依+8相切于点(1,4)

则点(1,4)满足直线y=kx+2,代入可得4=。1+2,解得攵=2

又由曲线/'(X)=f+2ax+b,则/(A)=3r+2a

所以/(l)=3)l2+2a=2,解得.=_，，即/(.r)=+b

八

把点(1,4)代入/(A)=^_x+h,可得4=「_i+"解答匕=4

所以4v+b=4)(_A)+4=2,选A

巩固7函数/(x)=In如在x=2处的切线与直线依_y_1=0平行，则实数a=

().

,II

A.1B.-C.-D.1

-4)

【解析】/W=-_1：/(2)=〃不〃=，，选B

x24

(.2r_x\nx,x>0

巩固8函数7W=<2J_,若方程/(x)二"+1有四个不相等实根，则实数

|p0

女范围()

A.(1/)4.(；,2)C.(；,1)D.(1」)

(.2r_xlnx,x>0

【解析】作出,/W=C23_的图象如图所示

卜丫门共。

方程fix)二履+1有四个不相等的实根，等价于函数/G)的图象与直线y=U+1有四个

交占

其临界位置为丁二米+1和两段曲线相切时

7

/、,3.卜=_1・一一x

当直线y二代+1与函数j（x）=-丫-弓工相切时，联立〈2得

2[尸Ax+l

2r+（2k+3）x+2=0

由A=4公+12Z-7=0,解得左二;或左二一工（由图可得舍负）

当直线y二去+1与函数/（尤）=2v-xlnx相切时

设切点坐标为（Xo,27）-%）lnxo）,f,（x）=1-Inx,切线的斜率为：k=1-Inx0

切线方程为y-2x（）+xolnxo=（1-lnx0）（x-x0）

由于切线y=h+1恒过（0,1）,代入可得飞二1,可得：k=1

即由图知函数/G）的图象与直线y=kx+\有四个交点时，实数〃的取值范围是k1,

选D

3

巩固9已知函数«X）二〈LJ-""（I若风r）一〃，启。，则实数机的取值范围是（）

1|，.2无,工20

A.[0.2]B.[-1,2]C.[一历3,2]D.[-ln2,2]

【解析】如图所示：画出函数/（x）的图像

8

当x>0时，f(x)=2v+2,故/(0)=2

当了<0时，=(g))|Ing,故(0)=-ln2

根据图像知：〃?二[・ln2,2],选。

题型4曲线上动点到直线距离的最值问题

例题4设曲线/(/)二41nx在点(1,0)处的切线上有一动点夕，曲线g(x)=3犬・21nx.

上有一点Q,则线段PQ长度的最小值为()

AJ172-17r3-17n417

17171717

【解析】••./(l)=0,ft(x)=",：切线斜率左二/,(1)=4

x

故曲线/(x)在(1,0)处的切线方程为4x-y-4=0

22।

Xg,(¥)=6L¥--,令6"二二4，则x=l或X=-一(舍去)

rr7

又g(l)=3,故g(%)在(1,3)处的切线方程为4x-y-1=0,与直线4x-y-4=0平

行

这两条平行线间的距离为d=MZ故线段PQ长度的最小值为""，选C

9

巩固10已知点P在曲线y=2r—live上，点。在直线y=3x—2上，则|PQ\的最小值为(

)

A川R,rVio

1310

【解析】函数)，=Zv2—Inx的定义域为(0,+W),y,=4x—,

x

令以—一二3,可得x=l,x=一：(舍去)

所以切点为(1,2),它到直线y=lv-2的距离d二■^一J一m二上

4.910

即点P到直线y=3%—2的距离的最小值为Vio

"io"

则IPQI的最小值为412,选c

IO

题型5公切线问题

例题5函数/(x)=Inx-」巴与g(x)=x1+\有公切线y=ctx,(a>0),则实数m的值

x+I

为()

I

A.4B.2C.1D.-

【解析】设公切线y=a工(a>0)与两个函数/5)=In/+'三与g(x)=<+1图象的切

点分别为A(M，y)和B(X%),由R(x)二二；，g，(x)=2x,可得

21(N)

(pU2)=2X2=a

(y2=«x3解得4=2,

|lg(X2)-^+1=y2

10

所以有〈/(XJ=扁x.+叫=y,化简得2x[-+In-1=0,令

X]+1

弘=3=2M

h(x)=2^-x+Inx-1(A->0)

则h,(x)二4"4-1>3>0恒成立，即力(1)=2r-x+Inx-1(x>0)在定义域为密函

x

数，3^(1)=0,则解得方程'_王+In再-]=0,%=1,则如，(1)=1+-----r=2

(I*!)2

解得m=4,选A

巩固11已知函数J(x)=«e'(。>0)与g(x)=2v-m(m>0)的图象在第一象限有

公共点，且在该点处的切线相同，当实数，〃变化时，实数。的取值范围为()

由〃z=4%>0,解得Xo>2.由上可知a=&s,令h(x)=—，则二'

ese1」

因为x>2,所以h,(x)=―—―<0,h(x)=—在(2,+W)上递减，所以0<h{x)<±,

4A

(8)

即。二心7)1

巩固12已知函数“。二1£+日于+。-1(Xv0),g(x)=\nx(x>0),其中a=R,

若/(X)的图象在点处的切线与g(x)的图象在点8(当，以土))处的切线重合，则

。的取值范围是()

A.(-1+In2,+W)B.(In2,+W)

11

C._In2,+w)D.(_In2,+W)

［解析］Ax)=-£+~x+a_\,/V)=+i

故切线方程为：)，=+g))|(E-xJ+:疗++a_1

g(x)=lnx,故g，(x)=L,切线方程为：y=—(x_x2)+

\nx2

rX、

故［T^i+-))|U.)+：工；+铲+"二—(/)+Inx,

x2"

化简整理得到：a~\x\-InITX\+^))|»U<0)»；司+；

>0,故_1<%<0

qnzz

设g(x)=^2-ln^x+^))|,(_i<x<0),gQ)=gx_；!_("2)(XT)

r+l2(x4*1)

故函数在(」。)上单调递减，故g(o)=ln2,当x)_1时，g(x))+w,故a>ln2,

选B

巩固13若函数/(x)=lnx(0<x共1)与函数g(x)=r+。有两条公切线，则实数。的取

值范围是()

4.(卜lnC=,+%B.(卜InO.-7

:4)1

,3]

「4」|

【解析】设公切线与函数=Inx的图象切于点AG「lnx］)(0〈司共1)

斜线的斜率(K)=,

因为f(x)=Inx,所以/,(x)=—,所以在点攵2

X乂

所以切线方程为y_InM=^-(v-A।)

设公切线与函数g(x)=f+a的图象切于点从以，石+。)

因为g(x)=f+a，所以g,(x)=2i,所以在8a，芯+o)处点斜线的斜率

h=g，6)=么

(_L

I=2x

所以切线方程为)，_6+〃)=lv2(x_x2),所以有〈%

(InXj-1=+a

因夕jO<%不1,所以'=20>1,毛>'.乂。=」n2q+芯_1

%2

令/二/二1，+叫)|，则力(“三_h】2r+]=_ln2_lnr+r_l,酉以h,(r)=,一1

12―f

、21I、2

令人，(。＞0且1＞一，得/＞♦；令"(。＜0且/＞一，得,不/〈」

)))22

||上为减函数，在f-y-,+W))||上为常函数.

所以〃(/)在

所以函数/(x)=lnx(0＜x不1)与函数g(x)=f+〃有两条公切线

满足＜力(/)不力伽|,即」nJ?\</?(/)不

Jng-D选D

所以a-

题型6导数几何意义与函数性质综合

例题6已知函数f(X)=X3+aX?+bX+C的图象的对称中心为(0,1),且f(X)的图象在点

(1/(1))处的切线过点(2,7),则b=()

A.1B.2C.3D.4

【解析】•••函数f(X)=X3+aX2+bX+C的图象的对称中心为(0,1),所以f(一X)+fX)=2

(1)=2叨,。+c=lz«ffl=0

02)=2*1I4a+c=1)得C=1

fX]=X3+bX+1,fX)=3X2+b

又f*)的图象在点(14(1))处的切线过点(2,7)

13

Af1)即3+b=as,解得b=l,选A

|一，一1

/\Ix—x+qx三0/\

巩固14已知A,8是函断(x)=<图像上不同的两点，若曲线)，=f(x)

在点4./?处的切线重合.则实数。的最小值是()

,1I

A.-1B.--C.-D.1

2)

【解析】当X三0时，/(A)=r+X+6/,贝犷(x)=2x+1;当x>OR寸，f(x)=x\nx-a

则/(x)=\nx+1.设A(M,/(占)).8(工2，/(工2))为函数图像上的两点

当王<Z<0或0<芭<%时，.「(X)丰/'(%)，不符合题意，故/<0<%

则/(x)在A处的切线方程为厂(片+用+〃)=(5+l)(x-x,)

f(x)在B处的切线方程为y-x2\nx2+«=(inx2+l)(x-x2).

由两切线重合可知〈人三川・卯，，整理得a=%-*)(M三0).

［-_a=u_x；2、

不妨设gQ)=，(寸_产)々三0)则g，(x)=x・*,g,()=i-2*,由g”(x)=0

11

可得x=yln-

g(A)的最大值为g(；lnJ))|=%n；-g<0.

则当x=51na时,

则g(M=在(-W,0］上单调递减，则。〉g(0)=・〈，选8

H.x、OI

巩固15函数yw=〈/若g(x)=yu)・k(x+R在H上零点最多，则实数

［一『-2.r,AH0

A范围是

【解析】由图知y=f(x)与y=k(x+：)有4个公共点即可

14

即左二（o,附），当设切点&,%），则

2x

（e-1r>0

巩固16已知函数yu）=（2''若i/u）i>〃优恒成立，则实数〃，的取值范

卜尤-2x-2,x共0,

【解析】作出函数I/U）|的图象如图所示

当x共。时；令f+2x+2=nix,即9+（2-+2=0

令编=0,即（2・/〃）2・8=0,解得〃「2土2。，结合图象可知，m=2-272

当x>0时，令e2V-1=nix»贝iJ此时fl.x）=e2r-1,h（x）=nix相切

设切点（知*.1）,则（:；「二F•・解得〃?=2

[2c。=w.

观察可知，实数机的取值范围为12-221,选A

15

巩固17设函数/G）=asinOx+/?cosOv（（2>0）在区间上单调，且

，争）1=噌））1当X二二时，/（X）取到最大值4,若将函数/（X）的图象

上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数g（x）的图象，则函数），=«（》）零点

的个数为（）

A.4B.5C.6D.7

【踊斤]设/（X）=+/Tsin（Ov+p）（O>0）,:=-g共；二二，—二工，即

?A77/»>z>>

0想。共3

三十3_____

又侍|=44））|=:质）|'123_7汽犷」）=.//sin（6+夕）的

2

一条对称轴

且2.6二四，则仔，。））|为/（x）=庐了sin（Qv+p）的一个对称中心

7"（二）

由于0想。共3,所以x=12与1\3平同周期里相邻的对称轴和对称中心

则7=40=2

/7cos

又Ju，+/二4,且也）1二八1,+,

解之得a=2,b=2J]

故f（x）=2sin2x+2jjcos2r=4sin2x+-））1,由图象变换可得,

在（・?0））|处的切线斜率为g（j））|=4cos7171

因为g0=4sin|x+丁5））1二4

16

），二十+j在（_多，0））1处切线斜率不存在,即切线方程为犬=_；

所以X=_g右侧gQ）图象较缓，如图所示

同时^^>4时，所以）『M（r）_J"；的零点有7个，选。

题型7两条曲线上动点距离最值

例题7设函数f6)二一3n尔在(0,+功上最小的零点为小,曲线y=/(A)在点

(%,0)处的切线上有一点P,曲线)，二;Inx上有一点Q,则pQ|的最小值为______

【解析】令冗x=k冗伞=Z),则x=h最小为题=1

因为/G)=-2cos/u,所以曲线y=/(1)在点(1,0)处的切线斜率为

/(0=-2cos/L=2

则切线方程为y=2v—2

设g(%)=-Mx，h(x)=—\nx-2x+2

则九(1)=Ar———2,九(1)=0,4(人)在1处取最小值〃(1)=3>0

x)

所以〃(X)>0恒成立，所以直线y=2x—2与曲线y=g(A)没有交点

令虱r)二次一1=2,得x=1^U=-1(舍去)，g(l)=:

X\2

则阳的最小值为点，芍到直线)，=2L2的距离d,所以,r-2~2_3/5

g--4-1

巩固is已知实数4,〃,c,d满足+==-,则缶一c丫+仅一dy的最小值为

b4e

【解析】由题，得a=ln0,c=L.d+1

e

设3,。)是曲线C:y=In/的点，("，c)是直线/:y=-.x+1的点

("—c)’+(匕一”)2可看成曲线C上的点到直线/上的点的距离的平方

对y=lnx求导得y=J,令y=«L得x=e,所以曲线C上的点(e,I)到直线/的距离最

小

18

11+11

___________B_____B

该点到直线/的距离为/]).(]]J1+/

因此(a_c)2+(b_d)2的最小值为

l+e

巩固19若x,a,b为任意实数，且(。+2)2+3_3)2=1,则(x_op+(\nx_b)2的

小值为()

A.-V2B.18C.3J2_lD.19-6J2

【解析】3+2)2+S_3)2=1,可得(〃")在(_2,3)为圆心，1为半径的圆上

(x_a)2+(Mx/)?表示点(a〃)与点(％InX)的距离的平方

又(r,lnx)在曲线y=Inx上，设曲线y=Inx上一点为｛myInm)

设过点(根,In加)的切线与点(加,In机)与(_2,3)的连线垂直

~口Inm31.,,

可得7~•一二」，即有Inm+nr+2rn=3

in+2m

由/(/??)=In/??+IJT+2阳在〃z>0递增,且/(i)=3,可得切点为(1,0)

圆心与切点的距离为d=>(0-3f=30

可得。_。)2+(1|]x_份2的最小值为19_6及，选。

巩固20已知lnX|_Xi_y+2=0,占+2%_4_21n2=0,记M=(内_巧)+(片一〉’2)，

则()

A.M的最小值为|B.M的最小值为《

Qp

C.M的最小值为'-D.M的最小值为:

55

19

【解析】由题意，"=6一七）2+（.»—免）2的最小值可转化为函数y=lnx—x+2图象上的

点与直线x+2），一4—2In2=0上的点的距离的最小值的平方

y=lnx-x+2,得y=——1

x

与直线x+2y—4—2In2=0平行的直线斜率为--

令一一1二一—，解得后2,所以切点的坐标为（2,In2）

x2

切点到直线x+2），一4—2In2=0的距离六口*21]二-2In2|=半

即"=（X]—+（W—3,2）2的最小值为W，选8

巩固21均为任意实数，且（《+2）2+。一3）2=1,则（L〃y+（hu—4的最

小值为

【解析】由题意得，结果为线y=hu•上的点与以c（—2,3）为圆心，以1为半径的圆上的点

距离平方最小值

可以求曲线y=hur上的点与圆心C（—2,3）的距离的最小值，在曲线），=山上取一点

M（机，ln〃z）

,曲线有y=lru在点例处的切线的斜率为K=一,从而有卜河.k'=-I,即

m

\n/n

----——---3-1=一（.

m+2m

整理得\nm+m2+为一3=0，解得m=1,所以点（1,0）满足条件

其到圆心0（—2,3）的距离为d=1（—2—1丫+（3—OY=3&，故其结果为

（^/2—1）=19-6万

巩固22设点P在曲线y=2d上，点Q在曲线J=lnx-ln2上，则|riQ|的最小值为.

B.J12(1—In2)c,D.\/5(1+In2)

.1—In2

20

【解析】因为曲线)，=2-与曲线3MM件;-K,悬互为反函数，其图象关于直线)，=x对称,

故可先求点P到直线丁=/的最近距离，函数y=2d的导数为/=2d,由y=2d=1得,

X=—In2,所以)，=21收=1所以当p点为点(一皿2』)时，点到直线)，=工的最近距离为

〃一—工"一喑所以闾」"皿贵—)

题型8导数几何意义综合

例题8设曲线y=f“(〃wM)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为甚,令

4=唱4,则1+。2+,…+4第的值为_____________

【解析】因为y=/（x）=x"（〃<M）,所以/（A）=（7Z+l）A-\所以

r（i）=«+i,/（i）=i

所以切线方程为：），­1=〃+1（X—1）,令y=0,得x=」一

所以t7„=lgx„=lg—^-=lg»—lg（n+1）

〃/I

所以q+%+...+4为=Igl—Ig2+1g2—1g3+1g3—lg4+...+Ig99—lglOO=-2

巩固21不等式kxN1仅>0)恒成立，贝叱的最小值为()

A.TB,\C.：D.1

【解析】令f(x)=--,则f(X)=:很明显函数f(x)的周期为21T

/4/»*<■([♦emir

由导函数的符号可得函数在区间(0,2间上具有如下单调性

在区间(0,竟加(%,2,)上单调递增，在区间&>,上单调递减，绘制函数图像如图所示

21

考查临界条件，满足题意时，直线y=kX恒在函数f(X)=悬；的图像的上方

临界条件为直线与曲线相切的情况，此时k=「(0)=：即k的最小值为；，选4

((1),

巩固22已知函数;U)=(1.2।若共幻一〃泛0,则实数m的取值范围是()

l|Y2+2.r,.v^O

A.|U.2jli.I—1,2]C.\-ht5,21D.[~ln2,2|

【解析】如图所示：画出函数/(工)的图像.

当x>0时，f(-r)=2v+2,故/(0)=2：当犬<0小

/(0)=-ln2；

根据图像知：加二[-ln2,2],选。

22

题型9函数的单调性求参数

例题9已知函数f(t)=x_^(lnx)?_A:Inx_!(/;=/?)

(1)当k=0时，求证：函数/(.V)在(0,+助上单调递增

(2)当4>1时，讨论函数/(x)零点的个数

【解析】⑴/'(x)=1~,令g(.E)=x_lnx不g'(x)=1,易得gQ)

XXX

在(0,1]上递减(1,+w)上递增，・・・4)向=g⑴=1>0不r(A)>0,函数f(x)在

(0,+助上单调递增

(2)/'(r)=1.3二x-lnx"由(])知当上>1时，方程x_\nx=攵有两个

XXX

根芭，毛

且易知0<内<1<超，则/(x)在(0,再)上单调递增，在(为，声)上单调递减，在(M，+W)

单调递增.

所以再为/(V)的极大值点，丸2为f(x)的极小值点

显然《力二>/(|)二1,.../(x)在(0，K)仅有唯一零

八占、、

又/(网)=9k2_nk2_1>e,,k_n2k2,(当〃为较大的整数时)

设〃(x)="_*，则九(x)=_2r,h„(x)=_2

当x>1时,ht,(x)>0,h.(x)=e'_2r在(1,+¥)单调递增，即/Q)>/?,(!)=e_2>0

所以0(x)=d_9在(1,十¥)单调递增，即/?(x)>/?(1)=«_1>0,即/(*)>0(当

〃为较大整数时)

于是下面讨论/(x2)的正负情况：

22

/(/)=x2_-^\nx2_k\nx2_^=x2-lnx2_(x2_Inx2)lnx2_

=­In2Xyx.In工2+K-

2一~'一2

23

构造函数F(x)=g/xjlnx+x，不尸(x)=J2£+1_1_Inx=OF1nx共。，

22xx

且/G)=o

1当1<%veD寸，攵=%_11]%在(l,e)递增，得k=(1,^_1),此时=F(x2)>0,

则函数/(x)在(0,+功上只有一个零点

②当x2=e时，，显然k=e_\,函数/(A)在(0,+W)上有两个零点

③当天>e时，攵=%_ln.q在(6+w)递增，得攵=(e_1,+w),此时/(x,)=F(x2)<0,

则函数f(x)在(0,+切上有三个零点

综上，攵=,函数/(工)在(0,+功上有一个零点；&二e_l时，函数/(X)在

(0,+切上有两个零点；k={e_1,+w),函数f(x)在(0,+切上有三个零点

巩固23已知函数次x)=alnx_x?+(勿_l)x(。>0).

⑴讨论/(x)的单调性；⑵苟㈤共0,求a的取值范围

【解析】⑴由/(A)=-_2x+(为_1)=(*-。乂2"1)

XX

当“0时，f,(x)=_lv+1<0,则/()在(0,+00)上递减

当〃>0时,令f(X)=0得工二。或X=(负根舍去).

4/Cv)>0得OVxVa；4/Cv)<0得x>a,所以/tr)在(0，。)上递增，在(。，+W)

上递减

综上：〃=0时，/G-)在(0,+8)上递减，40时，/G)在(0,a)上递增，在(a,+w)

上递减

(2)由(1)当。=()时，j(x)=-r_X<0,符合题意，

当心0时，必=/(«)=alna+"_。共o,因为心(),所以\ua+。1共。

令g(a)=Ma+1,则函数单调递增，又g(l)=0,故Ina+a_1共0得0<〃共1

综上，〃的取值范围为[0,1]

24

巩固24已知函数危)=C?+a)d-a(x+1)

(1)当。=0时，求函数/(M在(1，/(1))处的切线方程

(2)若。>.2,证明：当Q0时，Xx)>()

【解析】当4=0时，*x)=x%x,/(x)=(x2+Zv)^',工(l)=3e,/(l)=e

:函数f(x)的图象在(l,f(l))处的切线方程)，-e=3e：x-1),即3ex-)，-2e=0

(2)证明：/(x)=(x2+lx+a)eK-a,令g(尤)=(x2+2工+a)e，-a,则

g,(x)=(x2+4x+a+2)eK

va>-2,:当力>0时,(?+4x+a+2)^>(?+4x)^>0,即g(x)〉0且不恒为零

:g(X)在［(),+ar)上是增函数，故g(X)>g(0)=0,即f