考研数学三（二次型）模拟试卷6

考研数学三（二次型）模拟试卷6

一、选择题（本题共2题，每题L0分，共2分。）

1、设二次型f（X],X2，X3）在正交变换x=Py下的标准形为2yr+yz2-y3?,其中

H=（ei，e2，e3）,若Q=（力，—e3，e2）»则f（x[,X2，X3）在正交变换x=Qy下的标准

形为（）

222

A、2yi-y2+y3.

B、2yi2+y22-y32.

C、2y22—y22—Y32.

222

D、2yi+y2+y3.

标准答案：A

知识点解析：设二次型f（x”X2，X3）=XTAX的矩阵为A,正交矩阵P=（e”e2.

e3）,则f（xi，X2，X3）在正交变换x=Qy卜♦的标准形为2yF+y??—丫32,即

「2

P}AP=

若Q=(ei，—es，e2)»贝U所以

f（xi，X2，X3）在正交变换x=Qy下的标准形为2y/—故应选（A）.

2

A=

2、设矩阵则A与R（）

A^合同，且相似.

B、合同，但不相似.

C、不合同，但相似.

D、既不合同，也不相似.

标准答案：B

A-211

IA£-AI=1A-21=A(A-3)\

知识点解析：因为I1A-2即矩阵A的特征值

为3,3,0,而矩阵B的特征值为1,1,0,所以矩阵A与B不相似；但A与B

的秩均为2,正惯性指数也都是2,所以它们是合同的.总之，选项（B）正确.

二、填空题（本题共2题，每题7.0分，共2分。）

3、设二次型f(X],X2，X3)=X]2+2X1X2+2X2X3，则f的正惯性指数为

标准答案：2

知识点解析：【解法1】利用配方法化二次型为标准

形.f=X|2+2X1X2+2X2X3=X]2+2XIX2+X22-(X22—2X2X3)=(X1+X2)2-(X2-X3)2+X32=y)2

xl

0X2

-Y22+y32>其中yi=X]+X2，y2=X2—X3，y3=X3，即Xi-0.Xy.

由于这个线性变换是可逆的，故由惯性定理知，二次型f的正惯性指数为2.【解

法2】利用二次型的正喷性指数是其矩阵的正特征值个数.由于二次型f的矩阵

110-

A=101,

为1°JA的特征多项式为

A-l-10

/(A)=|AE-A|=-1A-1=A3-A2-2A+L

0-1flf(0)=l>0,f(l)=-l<o,

―/(A)=400•故由连续函数的介值定理知f(Q分别在(-8,0),

(0,1),(1,+8)各有一个零点，即fa)有两个正特征值，一个负特征值.因此，二

次型f的正惯性指数为2.

4、若二次型f(X],X2，X3)=2X12X22+X32+2X1X2+tX2X3iE,则t的取值范围是

标准答案：-

知识点解析：由于二次型f(xi，X2，X3)=2x/+X22+X32+2x]X2+tX2X3的矩阵

210■

11二

A=112,

-72＜，＜&.故应填-

三、解答题(本题共43题，每题1.0分，共43分。)

已知二次型f(xi，X2，X3)-4X22—3X32+4X]X2—4X[X3+8X2X3.

5、写出二次型f的矩阵表达式；

标准答案：二次型f的矩阵表达式为

0

/(«1,x2,x3)=(x,,x2»xa)2

-2其中

"02-2'

A=244.

-24-3

知识点解析：暂无解析

6、用正交变换把二次型f化为标准形,并求出相应的正交矩阵.

标准答案：矩阵A的特征多项式为

A-22

'4E-A,=—24-4-4(1-A)(6-A)(6+A),

,2-4A+3由此得矩阵A的特征值为

Z]=l,九2=6,九3二一6.于是，二次型f可通过正交变换x二Qy化为标准形

222

f=yI+6y2—6ys.对于特征值Q=l,由于

-221-22

A|F-A-E-A=-2-3-4010

2-44000故对应于特征值入1=1的特征向

量可取为&=(2,0,-DT.类似地，对应于特征值入2=6,入3=—6的特征向量可分

别取为及二(1,5,2)1,&3=(1，—1，2)T.因为A是实对称矩阵，且入2,h互

异，故X],X2，X3构成正交向量组,将其单位化得

■1

2-

-胸

J-

o5

一1

一=一

一

1-同&

2

I

-J一2

)局

于是，所求的正交矩阵为

1

1-

而

胸

51

--

C=(»7i,%，%)=而

7320

-2

病_

%

故对二次型f作正交变换

X2

则可将f化为标准形f=yi2+6y22-6y32.

知识点解析：暂无解析

7、设二次型f=x12+X22+X3~+2ax।X2+2px2X3+2x।X3经正交变换x=Py化成

f=y22+2y32,其中x=（xi，X2，X3）T和y=（yi，y2，ys）,都是3维列向量，P是3阶正

交矩阵.试求常数a,p.

1a

a1P

标准答案：二次型f（X],X2,X3）的矩阵为因为P为正交矩阵,

o00

010

002

所以即A与B相似,故A与B有相同的特征值

Xi=O,九2=1，13=2,这些特征值满足|九E・A|=O.当耳二0,则

-1-a-I

IOE-4I=-a-1邛=(a-/3)2=0.(1)

-1-p-I当

入2=1，则

0-a-1

IE-AI=-a0-p=-2ap=0.(2)

-1-B0由式（1）

和⑵,可求得a=p=0.

知识点解析：暂无解析

设二次型f（xi，X2，X3）=xTAx=ax12+2X22-2x32+2bx1X3（b>0）,其中二次型的矩阵

A的特征值之和为1,特征值之积为-12.

8、求a,b的值;

a06

A=020.

b0舞」设A的特征值为左(仁1,2,

标准答案：二次型f的矩阵为

a0b-

2

A|A2A)=020=-4a-26=-12,

3).由题设，有及+入2+%3=a+2+(—2)=l,60-2

解得a=l,b=2.

知识点解析：暂无解析

9、利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩

阵.

A-10-2

|AE-A|=0A-20=(A-2)2(A+3).

标准答案：由矩阵A的特征多项式-20A+2

得A的特征值入1=七=2,>3=-3.对于九1=入2=2,解齐次线性方程组(2E-A)x=0,

得其基础解系3二(2,0,1)T,々=(0，1，0)T.对于九3二-3,解齐次线性方程组

(-3E-A)x=0,得基础解系4二(1,0,一29.由于号,及，々已是正交向量组,

为得到规范正交向量组，只需将及，匕3单位化，由此得

“尸(专咽:位(。/“孙=即端：令矩阵

「2

后0后

。=(%，肌，4)=00

12

0

示瓦则Q为正交矩阵，在正交变换x=Qy下，有

200

QJAQ=020

00-3222

且二次型的标准形为f=2yi+2y2-3y3.

知识点解析:暂无解析

0100-

1000

A=

00y1

设矩阵Lo012.

10、已知A的一个特征值为3.试求y；

标准答案：由拉普拉斯展开定理，得

-100

-1:°,=(A2-l)[(A-y)(A-2)-lJ=O.

!XE-A|=

00A-y-I

00-1A-2把九二3代入，解

得y=2.

知识点解析：暂无解析

11，求矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵.

ro1oon2rio00'

oo0100

21=oo

54

标准答案：注意到(AP)T(AP)=pTA?P,其中I2JL0045.

矩阵A2的特征方程为|在一人2|二(1一九)3(9—入)=0,解得A2的特征值为

九1=入2=入3=1，M=9.再分别求出对应于它们的特征向量:

0'■0■.(T

100

0-11

.0..i.J.这4个特征向量已经互相正交,再单位

T「01

0

n>=，"2二

0o

.0..0.

化，得令

1000-

0100

±

oo1-

一1ooo

丘

T,0100

1(AP)T(AP)=PTA2P=0

OO-I010

立

则有.0009.

知识点解析：暂无解析

已知实二次型f(xi，X2，X3)=XTAX的矩阵A满足tr[A)=-6.AB=C,其中

12、用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换;

征向量.设A的第3个特征值为入3，由入1+Q+兀3=tr（A）=-6,得阿二6,再设A的

对应于13=6的特征向量为（I3=（X|,X2，X3）T，则由入],入2，入3互异，有

fa[a3=Orxl+2x2+x3=O.

（T即｛

l.%=0,I%-巧+巧=0-解得〃_（—1,0,l）r.将a],a2,。3单位化得

令P=（pi，P2，P3），贝I」x二Py为所求的正交

变换，将f=-12y22+6y32.

知识点解析：暂无解析

13、指出方程f（xi，X2，X3）=l表示何种曲面;

标准答案：由上题知，f（xi，X2，X3）=l的标准方程为一12y22+6y32=l,故f（x〕，

X2，X3）=l表示双曲柱面.

知识点解析：暂无解析

14、求出该二次型f（xi，X2，X3）.

-0'

PTAP=4=-12,

标准答案：由第12题可得L6」由此推得

--I4-7-

4=P/4P*=4-44,

L74I」故原二次型为f（x「X2，X3）=XrAx=-x12—4.K22

-X32+8X]X2-14X|X3+8X2X3.

知识点解析：暂无解析

已知二次型f（x],X2，X3）=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为yj+yz1且Q的

第3列为停。咨）.

15、求矩阵A；

标准答案：由题设知A的特征值为1,1,0.且a=（l,0,1）丁是属于A的特征值0

对应的一个特征向量.设X=（X1，X2，X3）T为A的属于特征值1的特征向量，由于

A的不同的特征值所对应的特征向量正交，所以有（x,a尸0,即xi+x3=0,解该方程

组的基础解系《尸(1,0,-1)T,42=(0,1,0)T,将其单位化，并将其取为A的属

。产修。得，•人

于特征值1对应的正交单位的特征向量,

「1

0

JJ

00ri

11PJAP

rjo

则有0J从而,

「1「i

00■_1_0

方法ri反-反T2

A=0Io10I0：oi0

10JII11

00—■0

JJL2T.

知识点解析:暂无解析

16、证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵.

标准答案：由上题知A的特征值为1,1,0,于是A+E的特征值为2,2,1,又

A+E为实对称矩阵，故A+E为正定矩阵.

知识点解析：暂无解析

T

已知A是3阶的实对称矩阵，ai=(l,-1,-1),a2=(-2,1,0)T是齐次线性方

程组Ax=0的解，又(A—6E)a=0,a/0.

17、求a和二次型x’Ax表达式；

标准答案：由Aai=0=0ai，Aa2=0=0a2，知九|=入2=0是矩阵A的特征值，ai,a2是

矩阵A的属于特征值0的线性无关的特征向量.由已知Aa=6a,且a/),所以

入3=6是A的特征值，设a=(xi，x2,X3)L由于实对■称矩阵不同的特征值对应的特

［阳-巧一与=°，

征向量正交，于是1-2阳鹏=0.解得九3二6的一个特征向量为a=(l,2,

1)T.由A®i，(X2，00=(0,0,6a),得

•0011ri2-r

A=(0,0,6a),a*«)*=。。2=24-2

2-1JL-l-21.

.00故

T79?

f=XAx=X|+4X2+X3~+4X]X2-2X1X3-4X2X3,

知识点解析：暂无解析

18、用正交变换x=Py化二次型XTAX为标准形，并写出所用的正交变换；

标准答案：取四=(1,—1,—1户，a2=(—2,1,0)T,a=(l,2,-1)T.显然ai，

a2与a正交，而ai，a?是线性无关的(可用施密特标准正交化)，也可取&i=ai=(l,

—1,—1),，52=ai+a2=(l»-1,—l)T+(—2,1,

2,一1)二则白，&2,两两正交，单位化，得

11

-

4-J

p---0

-1■rin万历

P得-12111

--1.令I石《用」则P为正交

T2

矩阵，x=Py为正交变换,该变换将二次型x=Py化为标准形为x=6y3.

知识点解析：暂无解析

19、求(A-3E)6.

0■ro

0

」所以-

标准答案：因为•66」于是(A—

3E)6=(PAP-1-3PP-1)6=[P(A-3E)P-1]6=P(A-3E)6P

知识点解析：暂无解析

设3元实二次型f(x)=xTAx经正交变换x=Cy化成是

Ax=0的解向量.

20、求所用的正交变换x=Cy；

标准答案：由二次型f(x)=xTAx经正交变换x=Cy化成f(x尸yj+yz2知入产入2=1和

九3二0是A的3个特征值，再由a是Ax=0的解向量知a是A的0特征值对应的特

征向量.若设特征值入1=入2=1所对应的特征向量为x,则有xa=0,即X2—X3=0,

，其中匕A是不同时为o的任意常数.

于是得

初=入2=1所对应的特征向量.取

由此得正交矩阵

做正交变换X=Cy即为所求.

知识点解析：暂无解析

21、求A；

标准答案:

o-

rioOO

1I

11

--

o22

&1

1

0-2

0__L_KL2

J2-

知识点解析：暂无解析

22、写出该实二次型d(K)的表达式.

标准答案：22

知识点解析：暂无解析

设实二次型f(x],X2，X3)=xTAx的秩为2,且囚=(1,0,0)T是(A-2E)x=0的解，

(12=(0,-1,1)1是(A-6E)x=0的解.

23、用正交变换将该一次型化成标准形，并写出所用的正交变换和所化的标准形；

标准答案：由箕二(1,0,0产是(A-2E)x=0的解,a2(0,一1,1)T是(A—6E)x=0的

解，得Aai=2a],Aai=6a2»于是得A的两个特征值为入产2,入2=6,其对应的特征

TT

向量依次为ai=(l,0,0),a2=(0,-1,1).又由于实二次型f(xi，x2,X3)的秩

为2,所以A的另一个特征值为屹=0,设其对应的特征向量为a3=(xi，X2,乂3户，

户=0，

T

则有aJa3=0,a2a3=0?即2T小。解得特征向量为

为任意常数.

取单位化得

001

11

0

P=(Pl,P20)=飞五

I1

0

令a反则P为正

交矩阵，故x=Py为正交变换，该变换将二次型化成标准形为f(X],X2,

X3)=2yi+6y2二

知识点解析：暂无解析

24、写出该二次型；

标准答案：由于

OOO

10210

1±

O-

J&&

A=P4PT=°飞6-3

111

,0iXJJ

03.故所

求的二次型为f(X],X2，X3)=2X12+322+332—6X2X3.

知识点解析：暂无解析

25、求方程组f(xi，X2,X3)=0的解.

卢=0，

标准答案：由于f(X],X2，X3)=2X2+3(X2—X3)2=0,得1”2-盯=。•解得

为任意常数.

知识点解析：暂无解析

101

4=020,

26、设矩阵U°U矩阵B=(kE+A)2,其中k为实数，求对•角矩阵A,使B

与A相似.并求k为何值时，B为正定矩阵.

标准答案：【解法1】矩阵A的特征多项式为

A-10-1

]XE-A=0A-20=A(A-2)\

T°A一】由此得A的特征值入户0,入2=Q=2.于

是矩阵kE+A的特征值为k和k+2(二重)，而矩阵B=(kE+A)2的特征值为k2和

-k2

4=(A+2>,

(k+2)2(二重).令矩阵L("2)2J由B〜A.要使矩阵B

为正定矩阵，只需其特征值全大于零.因此当kr0且后一2时，B为正定矩

阵.【解法2】同解法I,首先求得矩阵A的特征值人k0,入2=Q=2.记对角矩阵

00o-

020.

°°2」因为A为实对称矩阵，故存在正交矩阵P,使得PTAP二D.所以

A二(pT)rDP"=PDpT,

-k2

B=(AE+A)2=(APPT+PDPT)I=[P(i£+D)PT][P(fc£+D)PT]=P(AE*D):PT=P(“2>PT,

.(A+2)\

4=凌+2尸.

由此可得("2尸」由上面的结果立刻得到，当心0且后#

一2时，B为正定矩阵.

知识点解析：暂无解析

设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=O.已知A的秩r(A)=2.

27、求A的全部特征值；

标准答案：设A为A的一个特征值，对应的特征向量为a,则Aa=M(a/)),

A2a=??a,于是(A2+2A)a=(九之+2入)a,由条件A2+2A=O推知Q2+2A)a=0.又由于

期0,故产+2入=0.解得入=-2.入=0.因为实对称矩阵A必可对角化，且

■・

-2

A~-2.

r(A)=2,所以-因此，矩阵A的全部特征值为入1=九2二一2,

九3二0.

知识点解析：暂无解析

28、当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵.

标准答案：【解法1】矩阵A+kE仍为实对称矩阵.由上题知，A+kE的全部特征

值为-2+k,-2+k,k,于是，当k>2时矩阵A+kE的特征值均大于零.因此，当

k>2时，矩阵A+kE为正定矩阵.【解法2]实对称矩阵必可对角化，故存在可逆

矩阵P，使得P“AP—A.A—PAP-1.丁是A+kE—PAp一।十kPP"—P(A+kE)p-I所

-k-2■

14+AE=k-2.

以A+kE〜A+kE.而L*」若A+kE为正定矩阵，只需其顺

序主子式大于0,即k需满足k-2>0,(k-2)2>0,(k—2)2k>0,因此，当k>2

时，矩阵A+kE为正定矩阵.

知识点解析：暂无解析

222

29、设有n元二次型f(xi，X2，…，xn)=(x]4-a)X2)+(X2+a2X3)+...+(xn+anxi),其

+ai(i=l,2,n)为实数.试问当ai，a2,…，an满足何种条件时，二次型

f(Xl，X2，…，Xn)为正定二次型.

标准答案：由题设知，对任意的实数X],X2，…，Xn，有f(xi，X2，…，Xn)>0,

xx=0,

%/=0,

x^i+aa.|X.=0.

其中等号成立当且仅当匕+%航二0・

该齐次线性方程组仅有零解的充分必要

1%0…00

01a2…00

•••：：=1+(-1…4卉0,

000-1吟

条件是其系数行列式0-00-01所以

当1+(—1尸+1m2…aj#0时，对■任意n个不全为零的实数X],X2，…，Xn，都有

f(xj,X2，…，xn)>0,即当aia2…anW(-I)”时，二次型f(X],X2»..Xn)为正定

二次型.

知识点解析：暂无解析

设A为n阶实对称矩阵，r(A)=n,Ag是A=(aij)nxn中元素ag的代数余子式(i,j=l,

Q舄d

/(阳，巧，….4)

/怎•

2,…，n),二次型sz

30、记X=(X],X2，…，Xn),，把f(X],X2，…，Xn)写成矩阵形式，并证明二次型

f(X)的矩阵为A」;

标准答案：二次型f(Xi，X2,…，Xn)的矩阵形式为

因r(A)=n,故A可逆,

也是实对称矩阵，因此二次型

f(x)的矩阵为A」.

知识点解析：暂无解析

31、二次型g(x尸xTAx与f(x)的规范形是否相同?说明理由.然后证明矩阵A与A-

1合同.

标准答案：因为(A-NAA-L(AT)「E=A"，所以A与Al合同，于是g(x)=xTAx

与f(x)有相同的规范形.

知识点解析：暂无解析

32、设A为m阶实对称矩阵且正定,R为mxn实矩阵.B1"为R的转置矩阵.试

证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n.

标准答案：必要性.若UAB为正定矩阵，则对任意的实n维列向量X#),有

xT(BTAB)x>0,即(BX)TA(BX)>0.又A为正定矩阵，于是Bx#O.因此齐次线性

方程组Bx=O仅有零解，从而r(B)=n.充分性.因"B’「AB,故

BTAB为对称矩阵.若r(B)=n,则齐次线性方程组Bx=O仅有零解.因此，对任意

的n维实列向量X#),必有Bx和.由已知，A为正定矩阵，故对Bx#),有

(BX)TA(BX)>0,XT(BTAB)X>0,故BTAB为正定矩阵.

知识点解析：暂无解析

rAOi

33、设A,B分别为m阶，n阶正定矩阵，试判定分块矩阵,:1。/是否是正定

矩阵.

标准答案：C显然是对称矩阵.令是m+n维列向量，其中x与y分别是

m维，n维列向量，于是x,y不同时为零向量.不妨设对().由矩阵A与B的正

ZTCz[X]=xTAr+/6j>0,

定性，<xTAx>0KyTBy>0,故10例Id

即C是正定矩阵.

知识点解析：暂无解析

rAC]

D=1

设ICm为正定矩阵，其中A,B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为mxn矩

阵.

34、计算pTDP,其中[*]

rE"。]

标准答案：因，-C4%有

〃加[凡广C]产-A*C

711

-CAEn\[cB\[O

_MC

~loB-CJAlC&"口.[4°]

OE,\loH-CrA"d

知识点解析：暂无解析

35、利用(1)的结果判断矩阵B-CTA“C是否为正定矩阵，并证明你的结论.

标准答案：【解法1】矩阵B-CTA「是正定矩阵.由⑴的结果可知，矩阵D合

\A0

Af=T,

同于矩阵1°BCACi又D为正定矩阵，可知矩阵M为正定矩阵.因

矩阵M为对称矩阵，故B—CTARC为对称矩阵.对x=(0,0,0)T及任意的

y=(yi，y2,…，y»翔，有"才。][J即丫g八一心

>0,故B-CTA」C为正定矩阵.【解法2】由(1)的结果知，矩阵D合同于矩阵

[AO]

M;...

L°B-CACl又D为正定矩阵，可知矩阵M为正定矩阵，从而M的

各阶顺序主子式大于零，于是B—CTA"C的各阶顺序主子式也大于零.因矩阵M

为对称矩阵，故B-CTA「C为对称矩阵，故B-CTA^C为正定矩阵.

知识点解析：暂无解析

己知二次型f(xi，X2，X3)=(l—a)x，+(i—a)x22+2x3?+2(l+a)xix2的秩为2.

36、求a的值;

1-a1+a0

IA|=1+a1-a0=-8a=0,

标准答案：二次型f的秩为2.所以r(A)=2,于是002

得a=0.

知识点解析：暂无解析

37、求正交变换x二Qy,把f(xi，X2，X3)化成标准形;

标准答案：当a=0时，

110'A-l-10

A-110,3A|・-1A-l0=A(A-2)2.

.002.00A-2可知A的特征值为

九1=入2=2,入3=0.对于入1=入2=2,解齐次线性方程组(2E-A)x=0,得A的属于

九1=入2=2的线性无关的特征向量为匕］二(1,1,0)T,^2=(0,0,1)T.对于入3=0，解

齐次线性方程组(一A)x=0,得A的属于入3=0的线性无关的特征向量为［3=(-1，

1，0)T.易见副，42,&3,两两正交，只需单位化，得

1一1

豆1

一0

-1J衣飞

11

^一

2一J

J豆01,

0」则(?

.0JL0J于是L01

为正交矩阵.在正交变爽x二Qy下，二次型的标准形为f=2y，+2y22.

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38、求方程f(X|,X2,X3)=0的解.

标准答案：【解法1】在正交变换x二Qy下f(xi，X2，X3)=。化成2yl2+2y22=0,解

之得y产y2=o，从而

O-■0"

x=0二("一小，功)01，其中A为任意常数.

九.0.【解法2】由于

4+盯=0,

.-{"=。，其通解为

x=k(-l,1,0)T,其中k为任意常数.

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(a+3)x,+x2+2x3=0,「312

2g巧+巧=0,A=1a-2

2

已知齐次线件方程组l(«-3)x1-3z2+ax3=O有非零解.日L-29

是正定矩阵.

39、求a；

标准答案：由于方程组有非零解，所以

2

1=a(a+1)(a-3)=0.

a由于A为正定矩阵，必有a

>0,可排除a=0和a=-1,故a=3.

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40、求xTx=l,x，Ax的最大值和最小值.

标准答案：当a=3时，由

A-3-1A-40A-400

|XE-A|=-1A-3A-32-1A-22=(入-4)(4-1)(4-10)=0,

-22A-9-24A-9

得A的特征值为1,4,10.由于a=3时，A为实对称矩阵，故存在正交矩阵P,

经正交变换x=Py化二次型XTAX为标准形，从而

22T1222222T

1=y1+y2<xAx=y1+4y2+1Oy3<10(y1+y2+y3)=10,故xAx的最大值为10,

最小值为1.

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设有3阶实对称矩阵A满足A3-6A2+11A-6E=O,且|A|二6.

41、写出用正交变换将二次型f=x1(A+E)x化成的标准形(不需求出所用的正交变

换)；

标准答案：设九是A的特征值，x是A的关于入所对应的特征向量，由A3—

6A2+llA-6E=O得(入3—6入2+1比-6)x=0,由于x#),所以炉―6产+11入-6二0，得

九=1,2,3.由于|A|=6,所以九i=l,入2=2,九3=3为A的三个特征值.由于A+E