2024考研数学二强化试卷｜权威解析版

2024考研数学二强化试卷｜权威解析版1.设函数$f(x)$在$x=0$处可导，且满足$\lim_{x\to0}\frac{\sinx-f(x)}{x^3}=\frac{1}{6}$，则$f(0)$和$f'(0)$分别为（）A.$f(0)=0,f'(0)=\frac{1}{3}$B.$f(0)=1,f'(0)=\frac{1}{6}$C.$f(0)=0,f'(0)=\frac{1}{2}$D.$f(0)=1,f'(0)=\frac{1}{2}$2.设函数$f(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x},&x\ne0\\0,&x=0\end{cases}$，则$f(x)$在$x=0$处（）A.不连续B.连续但不可导C.可导且$f'(0)=0$D.可导且$f'(0)=1$3.已知函数$y=ln\sqrt{1+x^2}$，则$\frac{d^2y}{dx^2}$在$x=1$处的值为（）A.$\frac{1}{2}$B.$-\frac{1}{2}$C.$1$D.$-1$4.设函数$y=e^x\cosx$，则其三阶导数$y'''$的表达式为（）A.$e^x(\cosx-3\sinx)$B.$e^x(3\cosx-\sinx)$C.$e^x(\cosx+3\sinx)$D.$e^x(\sinx-3\cosx)$5.设函数$y=\arctanx$，则$\inty\lny\,dy$的值为（）A.$\frac{1}{2}(\lny)^2+\frac{1}{2}y^2+C$B.$\frac{1}{2}y^2\lny-\frac{1}{4}y^2+C$C.$y\lny-\frac{1}{2}y^2+C$D.$y^2\lny-\frac{1}{2}y^2+C$6.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$f(x)>0$，则$\int_a^b\sqrt{f(x)}\,dx$的几何意义为（）A.以$y=\sqrt{f(x)}$为曲边，$x=a$到$x=b$为底的曲边梯形面积B.以$y=\sqrt{f(x)}$为曲边，$x=a$到$x=b$为底的曲边三角形面积C.以$y=\sqrt{f(x)}$为曲边，$x=a$到$x=b$为底的旋转体体积D.以$y=\sqrt{f(x)}$为曲边，$x=a$到$x=b$为底的曲边梯形旋转体体积7.微分方程$y''-4y'+4y=0$的通解为（）A.$y=(C_1+C_2x)e^{2x}$B.$y=C_1e^{2x}+C_2e^{-2x}$C.$y=C_1e^{-2x}+C_2xe^{-2x}$D.$y=e^{2x}(C_1+C_2\sinx)$8.设函数$y=\ln(x^2+1)$，则$\int_0^1\frac{dy}{y+1}$的值为（）A.$\ln2$B.$2\ln2$C.$\frac{1}{2}\ln2$D.$-\ln2$9.设函数$f(x)=x^3-3x+2$，则其在区间$[-2,2]$上的最大值和最小值分别为（）A.最大值$8$，最小值$-10$B.最大值$10$，最小值$-8$C.最大值$8$，最小值$-8$D.最大值$10$，最小值$-10$10.设函数$y=\frac{1}{x}$，则$\int_1^{+\infty}\frac{dy}{y^2}$的值为（）A.$1$B.$-1$C.发散D.$0$1.$\lim_{x\to0}\frac{\tanx-\sinx}{x^3}=$_________2.设函数$y=2^x$，则$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=1}=$_________3.$\int_0^1x\sqrt{1+x^2}\,dx=$_________4.微分方程$y'-y=0$的通解为_________5.设函数$f(x)=x^2\lnx$，则$f'(1)=$_________6.$\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}=$_________1.（10分）求极限$\lim_{x\to0}\frac{e^x-\cosx}{x^2}$。2.（10分）设函数$y=x^3-3x^2+2$，求其单调区间、极值点及拐点。3.（10分）计算不定积分$\intx\lnx\,dx$。4.（10分）求解微分方程$y''-3y'+2y=0$。5.（10分）计算定积分$\int_0^1\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx$。6.（10分）设函数$f(x)=\begin{cases}x^2,&x\le1\\ax+b,&x>1\end{cases}$，求$a$和$b$的值，使得$f(x)$在$x=1$处连续且可导。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C解析：由$\lim_{x\to0}\frac{\sinx-f(x)}{x^3}=\frac{1}{6}$，得$f(x)=\sinx-\frac{1}{6}x^3+o(x^3)$，则$f(0)=\sin0-\frac{1}{6}\cdot0^3+o(0^3)=0$，$f'(x)=\cosx-\frac{1}{2}x^2+o(x^2)$，$f'(0)=\cos0-\frac{1}{2}\cdot0^2+o(0^2)=1-\frac{1}{2}\cdot0=1$，但注意到$f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx-f(x)}{x}=1$，故$f'(0)=\frac{1}{2}$。故选C。2.C解析：$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{x}=0$，故$f(x)$在$x=0$处可导，且$f'(0)=0$。故选C。3.A解析：$y=ln\sqrt{1+x^2}=\frac{1}{2}ln(1+x^2)$，$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{1+x^2}=\frac{x}{1+x^2}$，$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{(1+x^2)-x\cdot2x}{(1+x^2)^2}=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$，$\left.\frac{d^2y}{dx^2}\right|_{x=1}=\frac{1-1}{(1+1)^2}=0$。故选A。4.A解析：$y=e^x\cosx$，$y'=(e^x)'cosx+e^x(cosx)'=e^x\cosx-e^x\sinx$，$y''=(e^x\cosx)'-(e^x\sinx)'=e^x(\cosx-\sinx)-e^x(\sinx+\cosx)=e^x(\cosx-3\sinx)$，故选A。5.B解析：令$u=y$，则$\inty\lny\,dy=\intu\lnu\,du$，令$v=\lnu$，则$u=e^v$，$\intu\lnu\,du=\inte^v\cdotv\,dv=\frac{1}{2}v^2e^v-\int\frac{1}{2}v^2e^v\,dv$，$\intv^2e^v\,dv=v^2e^v-2\intve^v\,dv=v^2e^v-2(ve^v-\inte^v\,dv)=v^2e^v-2ve^v+2e^v$，故$\intu\lnu\,du=\frac{1}{2}v^2e^v-(v^2e^v-2ve^v+2e^v)=\frac{1}{2}v^2e^v-v^2e^v+2ve^v-2e^v=-\frac{1}{2}v^2e^v+2ve^v-2e^v$，代回$u=y$，得$\inty\lny\,dy=-\frac{1}{2}y^2\lny+\frac{1}{2}y^2+C$。故选B。6.A解析：$\int_a^b\sqrt{f(x)}\,dx$表示以$y=\sqrt{f(x)}$为曲边，$x=a$到$x=b$为底的曲边梯形面积。故选A。7.A解析：特征方程为$r^2-4r+4=0$，解得$r_1=r_2=2$，故通解为$y=(C_1+C_2x)e^{2x}$。故选A。8.A解析：$y=\ln(x^2+1)$，则$dy=\frac{2x}{x^2+1}\,dx$，$\int_0^1\frac{dy}{y+1}=\int_0^1\frac{1}{\ln(x^2+1)+1}\,d(\ln(x^2+1))=\int_0^1\frac{1}{\ln(x^2+1)+1}\,d(\ln(x^2+1))=\left[\frac{1}{2}(\ln(x^2+1)+1)^2\right]_0^1=\frac{1}{2}(\ln2+1)^2-\frac{1}{2}\ln^21=\ln2$。故选A。9.C解析：$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$，得$x=\pm1$，$f(-2)=(-2)^3-3(-2)+2=-8+6=8$，$f(-1)=(-1)^3-3(-1)+2=-1+3+2=4$，$f(1)=1^3-3\cdot1+2=1-3+2=0$，$f(2)=2^3-3\cdot2+2=8-6+2=4$，故最大值为$f(-2)=8$，最小值为$f(1)=0$。故选C。10.A解析：$\int_1^{+\infty}\frac{dy}{y^2}=\int_1^{+\infty}y^{-2}\,dy=\left[-\frac{1}{y}\right]_1^{+\infty}=0-(-1)=1$。故选A。二、填空题1.$\frac{1}{2}$解析：$\lim_{x\to0}\frac{\tanx-\sinx}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx(1+\sec^2x)-\sinx}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx(\tan^2x+1-1)}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx\tan^2x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{x\tan^2x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\tan^2x}{x^2}=\lim_{x\to0}(\frac{\tanx}{x})^2=1^2=\frac{1}{2}$。2.$2$解析：$y=2^x$，则$\frac{dy}{dx}=2^x\ln2$，$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=1}=2\ln2$。3.$\frac{1}{3}$解析：令$t=1+x^2$，则$dt=2x\,dx$，$\int_0^1x\sqrt{1+x^2}\,dx=\int_1^2\sqrt{t}\cdot\frac{1}{2}\,dt=\frac{1}{2}\int_1^2t^{\frac{1}{2}}\,dt=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}\bigg|_1^2=\frac{1}{3}(2^3-1^3)=\frac{1}{3}(8-1)=\frac{7}{3}$。4.$y=Ce^x$解析：$y'-y=0$，即$\frac{dy}{dx}=y$，分离变量得$\frac{dy}{y}=dx$，两边积分得$\lny=x+C$，故$y=Ce^x$。5.$1$解析：$f(x)=x^2\lnx$，则$f'(x)=2x\lnx+x$，$f'(1)=2\cdot1\cdot\ln1+1=0+1=1$。6.$\frac{\pi}{2}$解析：$\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}=\int_1^{+\infty}\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\,dx=\int_1^{+\infty}\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\,dx=\left[\text{令}x=\sect\right]\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sect\tant}{\sect\tant}\,dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}}dt=\frac{\pi}{2}$。三、解答题1.解：$\lim_{x\to0}\frac{e^x-\cosx}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{e^x+\sinx}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{e^x+\cosx}{2}=\frac{1+1}{2}=1$。2.解：$y=x^3-3x^2+2$，$y'=3x^2-6x=3x(x-2)$，令$y'=0$，得$x=0$或$x=2$，当$x<0$时，$y'>0$，函数单调增；当$0<x<2$时，$y'<0$，函数单调减；当$x>2$时，$y'>0$，函数单调增；故单调增区间为$(-\infty,0)\cup(2,+\infty)$，单调减区间为$(0,2)$；当$x=0$时，$y''=6x-6=0$，$y''(0)=-6<0$，故$x=0$为极大值点，极大值为$y(0)=2$；当$x=2$时，$y''=6x-6=0$，$y''(2)=6>0$，故$x=2$为极小值点，极小值为$y(2)=-2$；$y''=6x-6$，令$y''=0$，得$x=1$，$y'''=6$，故$x=1$为拐点，拐点为$(1,-2)$。3.解：令$t=x$，则$\intx\lnx\,dx=\intt\lnt\,dt$，令$v=\lnt$，则$t=e^v$，$\intt\lnt\,dt=\inte^v\cdotv\,dv=\frac{1}{2}v^2e^v-\int\frac{1}{2}v^2e^v\,dv$，$\intv^2e^v\,dv=v^2e^v-2\intve^v\,dv=v^2e^v-